线性空间----【1】n维向量的线性相关

一，n维向量的线性相关

1，简介

设P为域，n是正整数，P中n个元素构成的有序组(a1，a2，…，an)称为P上的n维向量
n维向量可以写成行行式称为行向量
α=(a1,a2,a3,a4…,an)

n维向量也可以写成列行式称为列向量

P上全体n维向量构成的集合记为P^n，
P^n中两个n维向量相等是指它们的相应分量完全相同

• 这里α称为n维向量(简称向量)
• 第i(i=1,2,3,4…n)个数ai称为α的第i个分量
• n个分量都为实数的向量称为实向量
• 若α为行向量则α的转置为列向量
• 将分量全为0的向量(0,0,0…0)称为零向量并记为0
• 将若干个维数相同的向量所组成的集合称为向量组
• 将向量组中一部分向量组成的向量组称为原向量组的部分组
• 按列分块的向量组称为列向量组
• 按行分块的向量组称为行向量组

2，公式:

• 1,α+β=β+α
• 2,(α+β)+γ=α+(β+γ)
• 3,对于任意的 α∈P^n均有α+0=α
• 4,对于任意的α∈P^n均存在负向量-α,使得α+(-α)=0
• 5,1α=α
• 6,数乘结合律:kh(α)=k(hα)
• 7,(k+l)α=kα+lα
• 8,k(α+β)=kα+kβ
  其中α，β，γ∈P^n，k,h,l∈R

3，线性组合，线性表出，表出系数

设β,α1,α2,α3…αn∈P^n
如果存在数k1,k2,k3…kn∈R
使得β=k1α1+k2α2+k3α3…+knαn
则称向量β是向量组α1,α2,α3…αn的线性组合，或者说向量β由向量组α1,α2,α3…αn 线性表出
而k1,k2,k3…kn则为表出系数或者组合系数

4，向量组之间等价

设有两个向量组
（Ⅰ）：α1，α2，……，αm；
（Ⅱ）：β1，β2，……，βm；
如果（Ⅰ）中每个向量都可以由向量组（Ⅱ）线性表示，则称（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表示；如果（Ⅰ）与（Ⅱ）可以相互线性表示，则称（Ⅰ）与（Ⅱ）等价，记为（Ⅰ）≌（Ⅱ）。

• 反身性:任何向量组Ⅰ：α1，α2，……，αm均与本身等价，例（α1，α2，……，αm）≌（α1，α2，……，αm）
• 对称性:如果向量组Ⅰ:α1，α2，……，αm与向量组Ⅱ:β1，β2，……，βm等价，那么向量组Ⅱ与向量组Ⅰ也等价，例（α1，α2，……，αm）≌（β1，β2，……，βm），（β1，β2，……，βm）≌（α1，α2，……，αm）
• 传递性:例（α1，α2，……，αm）≌（β1，β2，……，βm），（β1，β2，……，βm）≌（γm，γm，…，γm），则（α1，α2，……，αm）≌（γm，γm，…，γm）

5，线性相关与线性无关的判别

(1),线性相关:存在一组不全为0的数k1,k2,k3…kn使得k1α1+k2α2+k3α3…+knαn=0
(2),线性无关:找不到一组不全为0的k1…kn值成立也就是说k1…kn必全为0

• 定义1:向量组中的两向量成比例（线性相关）
  例:-1*(1 2)+1/2*(2 4)+0*(5 19)+0*(-1 99)=0
• 定义2:含零向量的任意向量组必线性相关
• 定义3:一个零向量必线性相关
  例:1*0=0
• 定义4:一个非零向量必线性无关，α不等于0，kα=0,=>k=0
• 定义5:一个向量线性相关的充要条件，α=0；
• 定义6:如果向量组Ⅰ:α1,α2,α3,…αn的一部分线性相关则这个向量组Ⅰ就线性相关
• 定义7:向量组Ⅰ:α1,α2,α3,…αn（n>=2）线性相关的充要条件是向量组Ⅰ中至少有一个向量可以由其余的向量线性表出
• 定义8:向量组Ⅰ:α1,α2,α3,…αn的一个部分线性相关，那么这个向量组Ⅰ线性相关
• 定义9:向量组Ⅰ:α1,α2,α3,…αn线性无关，那么这个向量组Ⅰ的任意一个部分线性无关
• 定义10:当向量组所含向量的个数多于向量的维数时，该向量组一定线性相关；
• 定义11:n个n维向量组成的行列式D不等于0的充分必要条件是向量组线性无关，D等于0的充分必要条件为方程组线性相关
• 定义12:等价的线性无关的向量组含向量个数相同
• 定义13:如果向量组α1,α2,α3,…αn线性无关，而向量组α1,α2,α3…αn,β,则β可以由向量组α1,α2,α3,…αn**线性表出，并且表示法唯一