线性代数 | (4) n维向量

前面我们学习了行列式和矩阵，主要研究了:行列式的计算，包括:2，3阶行列式的计算，n阶行列式的计算；关于矩阵，主要包括：矩阵的线性运算，矩阵的乘法运算，矩阵的转置运算， 矩阵的秩，矩阵可逆的条件及逆阵的求法，分块矩阵及矩阵方程。 初等变换-----最重要和最经常使用的工具。梯形阵， 初等矩阵。

目录

1. n维向量及其线性运算

2. 向量组的线性相关

3. 相关性判定定理

4. 相关性判定定理的证明

5. 向量组的极大无关组和秩

6. 向量组极大无关组与秩的求法

7. 向量空间

8. 向量组的正交性

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1. n维向量及其线性运算

• 定义1

由数组成的有序数组，称为n维向量，简称为向量。向量通常用斜体希腊字母等表示。

• 定义2

,数值称为向量的长度或范数或模,记为。

 

• n维向量的线性运算

• 线性组合

• 向量组等价

2. 向量组的线性相关

• 定义

让非零向量的系数为0，零向量的系数不为0，存在一组不全为0的数可以使得,所以线性相关。

• 讨论向量组的相关性

系数行列式=0，线性相关：

系数行列式0，说明有唯一零解，线性无关:

 

3. 相关性判定定理

• 定理1

下面证明唯一性：

• 定理3

在一个向量组中，若有一个部分向量组线性相关， 则整个向量组也必定线性相关，反之不成立。

推论：一个线性无关的向量组的任何非空的部分向量组都 线性无关。

• 定理4

 

我们已经用三种方法做过上面这个题了：

1）用定义证明，若组合系数不全为0，则线性相关。

2）其中的一个向量，可以用剩余的向量线性表示，则线性相关。

3）将向量组排成矩阵（转换为梯形阵），由矩阵的秩决定。

推论：

• 定理5

4. 相关性判定定理的证明

• 定理4的证明

前m-1行，每一行乘以,加到最后一行。

,m个向量中的部分向量(r+1)线性相关，那么m个向量也线性相关。 

• 定理5的证明

 

 

5. 向量组的极大无关组和秩

• 极大无关组

• 向量组的秩

 

• 向量组的等价

 

6. 向量组极大无关组与秩的求法

• 向量组秩的求法

• 极大无关组的求法

列摆行变换（把向量组摆成矩阵的各个列）

注意一定要列摆行变换，得到矩阵的秩就是向量组的秩。

我们已经看到:用矩阵可以解决向量组的问题，实际上，用向量组也可以解决矩阵的问题。

证明： 

如果一个向量组中的每个向量可以由另一个向量组表示，那么该向量组的秩小于等于另一个向量组的秩。

• 练习

B的列向量线性无关 等价于 B的列向量组的秩为n 等价于 矩阵B的秩为n（列摆行变换）。

                 

                                                   

7. 向量空间

• 向量空间及其子空间

• 向量空间的基与维数

 

• 向量在基下的坐标

矩阵方程法：

待定系数法：

 

8. 向量组的正交性

• 向量的内积

• 向量的夹角

                                             

• 向量的正交性

正交向量组一定线性无关向量组，反之不成立。

• 向量组的正交规范化

• 正交矩阵

下面证明列向量组的情形：