动态规划入门-01背包问题

动态规划入门-01背包问题

问题描述

假设你有个最大载重量为$300kg$的背包，有4个物品。它们的重量分别为$123kg,88kg,93kg,100kg$，价值分别为$$10,$19,$8,$20$。

请问背包内最大可以放入多少价值的物品？

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问题求解

这个问题被称为01背包问题，是典型的动态规划例题。

确定状态

确定选择

定义dp数组

确定边界条件

寻找状态转移

求解答案

这里的价值是我们要优化的目标值，物品数目和重量为两个状态，所以依据这两个状态可以定义二维dp数组。

对于每个物品，我们有两种选择，即放入背包或者不放入背包。

我们设数组f[n][w]代表前n个物品在w容量的背包里可以放入的最大价值。

当没有物品或者背包容量为0时，价值显然是0：
$$f[0][w]=f[n][0]=0$$
我们求解的是背包内的物品价值最大化，则状态转移为：
$$f[i][j]=\{\begin{array}{ll}f[i-1][j]& ,w[i]>j\\ max(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+v[i])& ,w[i]\le j\end{array}$$

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代码实现

Java

public class mian {
	static int maxVal(int[] w,int[] v,int maxw) {
		int n = w.length;
		int[][] f = new int[n][maxw+1];
		for (int i = 1; i < n; i++) {
			for (int j = 1; j <= maxw; j++) {
				if (j < w[i]) {
					f[i][j] = f[i-1][j];
				} else {
					f[i][j] = Math.max(f[i-1][j-w[i]] + v[i],f[i-1][j]);
				}
			}
		}
		return f[n-1][maxw];
	}
	public static void main(String[] args) {
		int[] w = {123, 88, 93, 100};
		int[] v = {10, 19, 8, 20};
		int maxw = 300;
		System.out.println(maxVal(w,v,maxw)); // 47
	}
}