基2FFT的matlab实现

提示：文章写完后，目录可以自动生成，如何生成可参考右边的帮助文档

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前言

提示：这里可以添加本文要记录的大概内容：

   在学习各种基FFT之前，先来简单了解一下matlab的fft()函数是怎么做的。
   MATLAB提供了一个称为fft的函数用于计算一个向量x的DFT。调用X= fft(x,N)就计算出N点的DFT。如果向量x的长度小于N,那么就将x补零。如果把参数N略去,那么DFT的长度就是x的长度。如果x是一个矩阵,那么fft(x,N)计算x中每-列的N点的 DFT。
    这个fft是用机器语言写成的,而不是用MATLAB命令(也就是不是作为一个.m文件来用的),因此执行起来非常快。并且它是作为一种混合基算法写成的。如果N是2的某个幂,那么就能使用一个高速的基-2FFT算法。如果N不是2的某个幂,那么就将N分解为若干素因子并用一个较慢的混合基FFT算法。最后,如果N就是某个素数,那么fft函数就蜕化为原始的DFT算法。

提示：以下是本篇文章正文内容，下面案例可供参考

一、基2 FFT

基2 FFT的数学公式就不推导了，无论是教材上还是网上都有，直接把数据流图和结论放在这里，然后说明matlab的实现步骤。


如上图所示为频率抽取的数据流图和递推公式，下面来说明如何根据公式和数据流图来实现FFT。

二、使用步骤

下面说一下我自己的理解，不知道严谨与否，但是能做出来

1.分解

首先要明白的是，基2的FFT是将N点的DFT分成多个2点的蝶形运算，2点就是最小的单元，所以如果是一个2点的DFT，那么就不用分解，一个蝶形运算也简单，如下图所示


这就是1级数据流图
规定箭头向上为“+”，箭头向下为“-”
那如果是4点的DFT呢？那就需要先分解一下，像下面这样

那么对后面的2*2的矩阵，是先对行做运算 还是 先对列做运算，其实都行，这里的区别就是看是时间抽取还是频率抽取
如果是先对行做，那就是时间抽取
如果是先对列做，那就是频率抽取
这里就按频率抽取来吧，先对每一列做2点蝶形运算，再对行做2点蝶形运算，那么就是先x(1)和x(3)做，再x(2)和x(4)做；然后做行，x(1)和x(2)做，x(3)和x(4)做，画成数据流图就是下面这样

这就是2级蝶形运算的数据流图。注意，做完后要对数据进行逆序排序
用公式表示就是下面这样

那如果是8点的DFT呢？同样先分解，下面这样

一样，先对列做2点蝶形运算，分别是1 5 2 6 3 7 4 8。但是对行做的时候，就是做4点DFT，那就可以继续分解，像下面这样

那么就和刚才的4点DFT一样了，先做列，再做行。
做列，1 3 2 4 5 7 6 8
做行，1 2 3 4 5 6 7 8
数据流图就是第一部分的那个

这就是3级的数据流图，公式表示就不写了
上面图中的是从x(0)开始到x(7)，一样的，做完后要注意逆序排序一下
很明显，这是一个迭代的过程。

2.旋转因子

分解的过程说完了，接下来说一下每一级的旋转因子怎么求。这就要看第一部分的那个公式了，如下图

在分解过程中，有根据数据流图来写公式，其实就和上图中的表达式一样。公式(2-1-13)中的两个公式就表示数据流图中向上的箭头和向下的箭头。
数据流图中的旋转因子，就是公式(2-1-13)中，下面那个式子中的那个W^n，如下图所示红框中的那个

公式(2-1-14)就是数据流图最右侧一列结果的通式。

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代码

代码可以参考这个
https://download.csdn.net/download/qq_42757190/85110588
里面有基2、基4、基2^2的matlab代码

这个我也是刚刚学，如果有不对的地方，也请大家指正。