决策树算法之 AdaBoost

AdaBoost 是一种更高级的「森林」类型的决策树，和随机森林比起来，它有以下三个特点

1. AdaBoost 的每棵树都只有一个根节点和两个叶子节点，实际上叫树桩（stump）可能会更合适
2. AdaBoost 的每个树桩的权重是不同的，而随机森林中的每棵树的权重是相同的
3. 前一个树桩的错误数据会影响后一个树桩的生成，意味着后面的树桩是前面树桩的补足。这种思想也被称为 Boost，除 AdaBoost 外，GBDT 和 XGBoost 也是这样的思想（很明显它们中都有 Boost）。

AdaBoost 的生成步骤

假设我们有以下训练数据，我们想通过「胸口疼痛」、「血管堵塞」和「体重」这三个特征来训练一个心脏病预测模型：

胸口疼痛	血管堵塞	体重	患心脏病
Yes	Yes	205	Yes
No	Yes	180	Yes
Yes	No	210	Yes
Yes	Yes	167	Yes
No	Yes	156	No
No	Yes	125	No
Yes	No	168	No
Yes	Yes	172	No

首先，我们需要为每个样本附上一个相同的权重，因为只有 8 条数据，所以每个样本的权重均为 1/8，如下

胸口疼痛	血管堵塞	体重	患心脏病	样本权重
Yes	Yes	205	Yes	1/8
No	Yes	180	Yes	1/8
Yes	No	210	Yes	1/8
Yes	Yes	167	Yes	1/8
No	Yes	156	No	1/8
No	Yes	125	No	1/8
Yes	No	168	No	1/8
Yes	Yes	172	No	1/8

接下来，我们利用基尼不纯度在这 3 个特征中找一个最合适的作为树根，经过计算，当「体重 >176」 时，基尼不纯度最小，则第一个树桩的节点为「体重 >176」，如下图所示：

产生出一个树桩后，我们把该树桩判断错误的样本拿出来，将它们的权重相加，便得出该树桩的总误差，上述树桩只有一个错误样本：

胸口疼痛	血管堵塞	体重	患心脏病	样本权重
Yes	Yes	167	Yes	1/8

则该树桩的总误差（Total Error）即这条错误样本的权重——0.125。通过总误差，我们便可以计算出该树桩的 Weight：
$$Weigh{t}_{stump}=\frac{1}{2}\log (\frac{1-TotalError}{TotalError})$$
该公式的曲线如下图所示，可以看到，误差的取值范围在 0 到 1 之间，随着误差越大，树桩的 Weight 越小，上例中，我们的误差为 0.125，所对应的 Weight 为 0.973，也就是图中蓝色点所处的位置：

一棵树桩产生出来后，接着就要产生第二棵，前面说了，后一棵树的生成依赖于前一棵树的误差，具体的，我们会根据这个误差来调整每个样本的权重，这样，后面的树就可以根据样本的新权重来训练了，更进一步，前一棵树中错误的样本，我们希望在下一棵树的训练中，提高这些样本的权重，同时降低正确样本的权重，这样下一棵树便会更倾向于把这类样本处理好，起到了对前面树的补足作用。

整体误差和树的 Weight 成负相关关系，Weight 越高代表置信度越高，这时错误的样本相对于 Weight 低的树来说，样本权重要调的更高，而正确的样本的权重要调的更低，错误样本权重和正确样本权重的调整分别如下面左图和右图所示：

对于本例来说，第一个树桩的 Weight 为 0.973，则错误样本的权重根据左图公式，将调整为 $0.125\times 2.646=0.33$，同理，正确样本的权重根据右图公式，将调整为 $0.125\times 0.378=0.05$，归一化后，最终所有样本的权重调整如下：

序号	旧样本权重	新样本权重	归一化后
1	1/8	0.05	0.07
2	1/8	0.05	0.07
3	1/8	0.05	0.07
4	1/8	0.33	0.49
5	1/8	0.05	0.07
6	1/8	0.05	0.07
7	1/8	0.05	0.07
8	1/8	0.05	0.07

接下来，我们需要根据新的特征权重来训练树桩，其中的一种办法是根据权重来抽样，即在每抽一条数据之前，产生一个 0-1 的随机数，根据随机数来决定抽哪条数据。以上面的数据举例，当随机数落在 [0, 0.07) 范围内时，则抽出第 1 条样本，落在 [0.07, 0.14) 范围内时，则抽出第 2 条样本，以此类推。

抽样完成后，我们重新对这些样本赋予等值的权重，如下：

胸口疼痛	血管堵塞	体重	患心脏病	样本权重
No	Yes	156	No	1/8
Yes	Yes	167	Yes	1/8
No	Yes	125	No	1/8
Yes	Yes	167	Yes	1/8
Yes	Yes	167	Yes	1/8
Yes	Yes	172	No	1/8
Yes	Yes	205	Yes	1/8
Yes	Yes	167	Yes	1/8

可见第 4 条样本被重复抽出来了多次（它的样本权重最高），使用这批数据训练后，新的树桩会更倾向于把这条样本分类正确，因为在训练时，重复的样本会受到更大的惩罚。

接下来的步骤和最开始的一样，重复上面的过程就可以了。

AdaBoost 的预测

在构建完 AdaBoost 后，我们该如何做预测呢？预测过程和随机森林类似，都是用每棵树的结果来投票，差别在于这里采用的是加权投票。例如我们有条数据，每棵树对该数据的预测结果如下：

树序号	树 Weight	预测结果
1	0.97	1
2	0.34	0
…	…	…
100	0.46	1

聚合后，把相同预测结果的 Weight 相加，如下

预测结果	树 Weight 之和
1	43.7
0	20.1

取 Weight 较大者，所以该条数据的预测结果为 1.

总结

本文我们一起学习了 AdaBoost 的构建过程，AdaBoost 和随机森林比起来，有 3 个特点：

1. 每棵树只有一个根节点和两个叶子节点
2. 后一棵树由前一棵树的误差决定
3. 每棵树都有不同的权重，预测时会根据权重来聚合预测结果

参考：AdaBoost, Clearly Explained

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