推荐系统: 问题、算法与研究思路

推荐系统最常见的应用就是商品推荐, 网购的兴起使得这个方向备受关注. 本文描述推荐系统的基础知识与个人想法. 注意事项:

1. 相关的基础知识、示例, 读者自行到 CSDN 或知乎查找学习.
2. 这里的符号系统, 只保证内部的完备性. 如果要写论文, 应遵守参考资料的习惯.
3. 看贴要回, 请在下方留言.

0. 符号表

本节给出符号表, 便于后面查阅.

表 1. 符号表

符号	含义
$n$	用户数
$m$	项目数
$\mathbf{R}$	评分表
$\Omega (\mathbf{R})$	$\mathbf{R}$ 中非零元素对应的位置集合.
$\neg \Omega (\mathbf{R})$	$\mathbf{R}$ 中零元素对应的位置集合.

1. 数据

推荐系统有一些基础数据与附加信息.

1.1 基础数据

令用户数量为 $n$, 产品数量为 $m$. 基础数据为一个二维表 $\mathbf{R}=(r_{ij}{)}_{n\times m}$. 分两种情况讨论:

1. 如果仅知道用户是否浏览过商品, $r_{ij}$ 的取值范围为 $\{0,1\}$. $r_{ij}=0$ 表示浏览过, $r_{ij}$ 表示未浏览过. 浏览也可称为隐式评分 implicit rating, 因为浏览表示感兴趣. 这时称 $R$ 为浏览矩阵.
2. 如果用户要给购买的商品过分, $r_{ij}$ 的取值范围一般为 $\{0,1,2,3,4,5\}$. $r_{ij}=0$ 表示没购买, 1 分表示最不喜欢, 5 分表示最喜欢, 该评分为显示评分 (explicit rating). 这时称 $R$ 为评分矩阵.

1.2 用户与商品信息

用户有自身信息, 如: 性别、国籍、信仰、年龄、职业等等.
商品有自身信息, 以电影为例, 包括: 出品时间、导演、主演、类型 (爱情片、动画片、喜剧片、悬疑片等，可多选)、片长等等.
以饭店为例, 有位置 (城市、街道)、营业时间、类别 (川菜、粤菜、鲁菜)

1.3 评论信息

用户不仅要给商品打分, 还会写一些评论. 这些评论可能比分数提供更丰富的语义信息.

1.4 其它信息

没想清楚, 以后补充.

2. 问题

推荐系统的核心问题是: 每个未知数据 (如 1.1 节所述, 它们都用 0 来表示) 的实际值应该是多少?
从机器学习的角度, 每个具体问题应说明其场景, 以及输入、输出、优化目标、约束条件. 由于推荐系统数据的特殊性, 以下由简到难进行分析.

2.1 基于用户与商品信息的推荐

问题 2.1.1 基于用户、商品信息的评分预测
输入: 评分矩阵 $\mathbf{R}$, 用户信息表 $\mathbf{X}=[{\mathbf{x}}_1,\dots ,{\mathbf{x}}_n{]}^{\mathrm{T}}=[x_{ij}{]}_{n\times d_u}$, 商品信息表 $\mathbf{T}=[{\mathbf{t}}_1,\dots ,{\mathbf{t}}_m{]}^{\mathrm{T}}=[t_{ij}{]}_{m\times d_t}$, 其中 $d_u$ 是用户的属性数, $d_t$ 是商品属性数.
输出: 函数 $f:R^{d_u}\times R^{d_t}\to R$.
优化目标: $\min {\sum }_{(i,j)\in \Omega }(f({\mathbf{x}}_i,{\mathbf{t}}_j)-r_{ij}{)}^2$.

说明:

1. 本问题强行把三个表合成了一个决策表, 对象个数为 $|\Omega |$, 条件属性个数为 $d_u+d_i$, 决策属性取值为 $[1,5]$, 即 1 至 5 的实数. 因此为一个经典的回归问题.
2. 为简便起见, 假设用户信息、商品信息的基础数据均为实型.
3. 优化目标为最小化训练集上的 MSE, 也可以按 MAE 的方式来写.
4. 学习到的函数 $f$ 既可用于已有用户和商品, 也可用于新用户和新商品, 因此这类推荐适合于冷启动 (cold start recommendation).
5. 为获得相应的评价指标, 需要将原始的数据集分为训练、测试集, 即将原始评分矩阵的某些非 0 元素拿出来. 这样, 评分矩阵的数据有三种情况: a) 训练集中非 0 元素 (学习器知道); b) 测试集中非 0 元素 (裁判员知道); c) 一直为 0 的元素 (没人知道).

问题 2.1.2 基于用户、商品信息与隐式评分的推荐
输入: 浏览矩阵 $\mathbf{R}$, 用户信息表 $\mathbf{X}=[x_{ij}{]}_{n\times d_u}$, 商品信息表 $\mathbf{T}=[t_{ij}{]}_{m\times d_t}$, 其中 $d_u$ 是用户的属性数, $d_t$ 是商品属性数.
输出: 函数 $f:R^{d_u}\times R^{d_t}\to \{0,1\}$.
优化目标: $\min {\sum }_{(i,j)\in [1..n]\times [1..m]}(f({\mathbf{x}}_i,{\mathbf{t}}_j)-r_{ij}{)}^2$

说明:

1. 现在变成了一个二分类问题.
2. 优化目标为最小化误差 (最大化分类精度). 由于是二分类, 这里使用平方还是绝对值都等价.
3. 优化目标计算时, 考虑了所有可能用户、项目组合, 共 $[1..n]\times [1..m]$ 种. 然而, 除了为 $1$ 的值, 其它的值是否正确根本无从考证.
4. 为获得相应的评价指标, 需要将原始的数据集分为训练、测试集, 即将原始评分矩阵的某些 1 元素拿出来. 这样, 评分矩阵的数据有三种情况: a) 训练集中 1 元素 (学习器知道); b) 测试集中 1 元素 (裁判员知道); c) 一直为 0 的元素 (没人知道).

2.2 基于评分矩阵的评分预测

问题 2.2.1 评分预测
输入: 评分矩阵 $\mathbf{R}=[r_{ij}{]}_{n\times m}$.
输出: 子矩阵 $\mathbf{U}=[{\mathbf{u}}_1,\dots ,{\mathbf{u}}_n{]}^{\mathrm{T}}=[u_{ij}{]}_{n\times k}$, $\mathbf{V}=[{\mathbf{u}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_m{]}^{\mathrm{T}}=[v_{ij}{]}_{m\times k}$.
优化目标: $\min {\sum }_{(i,j)\in \Omega }({\mathbf{u}}_i{\mathbf{v}}_j^{\mathrm{T}}-r_{ij}{)}^2$.

说明:

1. 除了矩阵分解, 我暂时找不到其它模型来描述评分预测. 基于邻域的方法 (lazy learning) 没有模型, 所以无法描述这种预测.
2. 评价指标的计算与 问题 2.1.1 相同.

问题 2.2.2 考虑用户评论的评分预测
在 问题 2.2.1 的基础上, 考虑用户评论.

2.3 基于浏览矩阵的推荐

问题 2.1.1 基于浏览矩阵的推荐
输入: 浏览矩阵 $\mathbf{R}=[r_{ij}{]}_{n\times m}$.
输出: 子矩阵 $\mathbf{U}$ 与 $\mathbf{V}$, 阈值 $\alpha$.
优化目标: $\min {\sum }_{(i,j)\in [1..n]\times [1..m]}(I({\mathbf{u}}_i{\mathbf{v}}_j^{\mathbf{T}}-\alpha )-r_{ij}{)}^2$.

说明:

1. $I$ 为指示函数, 如果 $x>=0$, 则 $I(x)=1$; 否则 $I(x)=0$.
2. 评价指标的计算与 问题 2.1.2 相同.

2.4 推荐系统的魔法边界

机器学习通常面临的是不确定性问题, 不能保证 100% 准确. 在分类问题中, 最小误差被称为 Bayes 误差. 参见: https://zhuanlan.zhihu.com/p/114609537. 例如, 整个论域中, 长发的 90% 是女人, 短头发的 80% 是男人. 长发和短发各占 50%. 如果只知道是否长发来建立分类器, 有如下几种:
A. 长发 $\Rightarrow$ 女人; 短发 $\Rightarrow$ 男人. 误差 (1 - 90%) * 50% + (1 - 80%) * 50% = 15%.
B. 长发 $\Rightarrow$ 女人; 短发 $\Rightarrow$ 女人. 误差 45%.
C. 长发 $\Rightarrow$ 男人; 短发 $\Rightarrow$ 男人. 误差 55%.
D. 长发 $\Rightarrow$ 男人; 短发 $\Rightarrow$ 女人. 误差 85%.

获得 长发 => 男人 这样的规则是可能的. 例如: 随机采样 7 人, 其中 3 人长发, 4 人短发. 长发的 3 人中, 2 个为男人. 这时, 根据采样 (训练集) 来看, 长发的应为男人.
训练集与测试集分布不一致, 是机器学习普遍面临的问题.

在推荐系统中, 则称之为魔法边界 (magic barrier).
问题 2.4.1 魔法边界评估
输入: 训练矩阵 ${\mathbf{R}}^t=(r_{ij}^t{)}_{n\times m}$.
输出: 魔法边界估计值 (应指定 MAE 或 RSME).

说明: 这并非一个典型的机器学习问题, 所以并没有优化目标. 在实际中如何判断这个 magic barrier 是否靠谱呢? 如果找到一个算法, 它的 MAE 比 magic barrier 的值还低, 就说明这个 magic barrier 有问题. 如果当前最优算法的 MAE 比 magic barrier 的值高, 但高得很有限, 就可能间接说明 magic barrier 是靠谱的.

2.5 代价敏感推荐

问题 2.5.1 误分类代价敏感的推荐
输入: 训练矩阵 (浏览数据) ${\mathbf{R}}^t=(r_{ij}^t{)}_{n\times m}$, 完备矩阵 $\mathbf{R}=(r_{ij}{)}_{n\times m}$, 误分类代价矩阵 $M=(m_{ij}{)}_{2\times 2}$.
输出: 预测矩阵 ${\mathbf{R}}^{\prime }=(r_{ij}^{\prime }{)}_{n\times m}$.
优化目标: 最小化平均误分类代价
$$\min cost({\mathbf{R}}^t,{\mathbf{R}}^{\prime },\mathbf{R})=\frac{{\sum }_{k,l\in \{0,1\}}{m}_{kl}|\{(i,j)\in \neg \Omega ({\mathbf{R}}^t)|r_{ij}^{\prime }=k,r_{ij}=l\}|}{|\neg \Omega ({\mathbf{R}}^t)|}\text{\hspace{1em}(4)}$$

说明:

1. $m_{01}$ 表示未向用户推荐他喜欢的商品所付出的代价 (未起到促销作用); $m_{10}$ 表示向用户推荐了他不喜欢的商品所付出的代价 (推荐系统的信誉受损).
2. 一般情况下假设 $m_{00}=m_{11}=0$. (4) 式可以应对这两个值非 0 的情况. 有没有感觉特别简洁?

问题 2.5.2 三支推荐
输入: 训练矩阵 (浏览数据) ${\mathbf{R}}^t=(r_{ij}^t{)}_{n\times m}$, 完备矩阵 $\mathbf{R}=(r_{ij}{)}_{n\times m}$, 分类代价矩阵 $M=(m_{ij}{)}_{3\times 2}$.
输出: 预测矩阵 ${\mathbf{R}}^{\prime }=(r_{ij}^{\prime }{)}_{n\times m}$.
优化目标: 最小化平均误分类代价
$$\min cost({\mathbf{R}}^t,{\mathbf{R}}^{\prime },\mathbf{R})=\frac{{\sum }_{k\in \{0,1,2\},l\in \{0,1\}}{m}_{kl}|\{(i,j)\in \neg \Omega ({\mathbf{R}}^t)|r_{ij}^{\prime }=k,r_{ij}=l\}|}{|\neg \Omega ({\mathbf{R}}^t)|}\text{\hspace{1em}(5)}$$

说明:

1. 推荐系统的行为现在有三种: 0 表示不推荐, 1 表示推荐, 2 表示发优惠券 (promotion). 这是本问题的特点. 它也是对现实系统更好的建模.
2. (5) 式与 (4) 式仅有 $k$ 的取值范围不同.
3. 代价敏感推荐本质上是对优化目标的泛化, 它与其它的问题扩展是正交的. 换言的, 只要是推荐问题, 都可以有其代价敏感版本.

问题 2.5.3 基于回归的三支推荐
综合 问题 2.2.2 与 问题 2.4.2 即可.

2.6 交互式推荐

实际的推荐系统都是交互式的: 系统向用户推荐一系列项目, 如 20 个; 用户选择其中的一些来购买, 或翻到下一页; 系统再根据用户的行为来改进推荐列表. 这就好像用户在与系统对话, 因此交互式推荐在英文中为 conversational recommendation.
场景描述:
对每个用户
Step 1. 登录系统;
Step 2. Repeat
Step 2.1 获得系统推荐的一组项目 (固定为 $N$ 个);
Step 2.2 用户在其中选择喜欢的所有项目;
until 喜欢的项目为 $0$ 个.
问题 2.6.1 交互式推荐
输入: 完备矩阵 $\mathbf{R}=(r_{ij}{)}_{n\times m}$.
输出: 推荐列表构成的预测矩阵 ${\mathbf{R}}^{\prime }=(r_{ij}^{\prime }{)}_{n\times m}$.
优化目标: 最大化准确率
$$\max acc({\mathbf{R}}^t,{\mathbf{R}}^{\prime },\mathbf{R})=\frac{|\{(i,j)\in \neg \Omega ({\mathbf{R}}^t)|r_{ij}^{\prime }=r_{ij}\}|}{|\neg \Omega ({\mathbf{R}}^t)|}\text{\hspace{1em}(6)}$$
说明:

1. 在对 $u_i$ 进行推荐的时候, $\mathbf{R}$ 第 $i$ 行的数据对于推荐系统而言是未知的. 只能随着交互过程逐渐揭晓, 且仅可获得推荐列表的项目评分. 这样才能模拟现实中的推荐过程.
2. 交互推荐强调的是一种场景, 可以与 问题 2.2.2, 问题 2.5.2 等结合, 产生新的问题.

2.7 去噪

数据噪音在每个领域都存在, 所以去噪也是个机器学习永恒的话题.
有两种评价去噪效果的方式:
a) 将原始评分数据当成是干净的, 随机加入噪音 (修改数据), 计算去噪后数据与原始数据的差距. 具体计算参见 (2) 式与 (3) 式.
b) 将原始数据随机分成训练集与测试集, 训练集中去除噪音获得修正后训练集. 用训练集与修正后训练集分别获得推荐模型 (用已有的算法), 并在测试集中获得预测效果. 效果提升越明显, 则表示去噪效果越好.
优劣对比:
方式 a) 的优势在于直接获得去噪效果; 缺点是需要干净的数据. 如果原始数据本身不是干净的, 就尴尬了. 有些工作让同一个人对同一个项目多次打分, 并将其平均分当作是干净数据, 这种做法有一定道理, 但对于人类来说, 做重复工作就会很烦.
方式 b) 的优势在于不需要干净数据, 更加客观; 缺点在于测试集也是有噪音的.

3. 经典的算法

这里描述一些经典的算法. 它们也是很难被超越的.

3.1 基于相似性的算法

相似性是物理世界的一个本源: 相似的东西在未知的方面也相似. 例如, 两个人的各项体检指标都相似 (体温 37.5 vs. 37.6, 血压 112 vs. 113, 等等), 则其中一个感冒, 另一个也很可能感冒.

3.1.1 $k$NN 基本方案: 针对浏览用户的推荐

$k$NN 是最常用的基于相似性的方法, 其思想是使用 $k$ 个相似对象 (即邻居) 为当前实例提供参考. 它是推荐系统的一种基准方法.
具体而言, 要想知道某位用户喜欢什么, 可以分析相似用户喜欢什么. 以 问题 2.2.1 为例, 可分解为三个子问题:
a) 如何计算用户相似性?
这是 kNN 的核心问题.
以输入数据 ${\mathbf{R}}^t$ 为例, 每个用户的浏览记录都是一个长度为 $m$ 的向量. 两个用户的相似度通常根据相应两个向量来计算. 令两个向量为 ${\mathbf{v}}_i,{\mathbf{v}}_j\in \{0,1{\}}^m$, cosine 相似度为
$$cos({\mathbf{v}}_i,{\mathbf{v}}_j)=\frac{{\mathbf{v}}_i\cdot {\mathbf{v}}_j}{\Vert {\mathbf{v}}_i\Vert \times \Vert {\mathbf{v}}_j\Vert }\text{\hspace{1em}(7)}$$
Jaccard 相似度为
$$Jaccard({\mathbf{v}}_i,{\mathbf{v}}_j)=\frac{|\{1\le k\le m\}|v_{ik}=1,v_{jk}=1\}|}{|\{1\le k\le m\}|v_{ik}=1\text{ or }{v}_{jk}=1\}|}\text{\hspace{1em}(8)}$$
其中, $v_{ik}$ 为 ${\mathbf{v}}_i$ 的第 $k$ 个分量. 很多文献也用集合的并、交来表示, 道理是一样的.
b) 如何设置合适的 $k$?
做实验吧. $k$ 越大越稳定, $k$ 越小针对性越强. 给定了 $k$ 值和相似度计算方式, 邻居的确定也是一个问题. 参见 kNN 的数学表达式.
c) 如何选择推荐项目?
投票. 当前邻居没浏览过的项目, 按邻居浏览量递减排序 (最大值为 $k$, 表示所有邻居都看过; 最小值为 $0$). 从前往后选即可.

如果要解决 问题 2.2.2, 只需要将邻居用户对该项目的评分取均值即可 (注意, 0 不要考虑). 从这里可以看出, kNN 的适应性相当强.

3.1.2 用二部图来计算相似性

用户集合的每个元素、项目集合的每个元素都作为一个节点. 如果用户浏览了项目, 则在它们之间画一条边. 这样就构成了二部图. 通过传递函数, 可以计算任意两个用户、任意两个项目之间的相似性.
论文:
Shang MS, Jin CH, Zhou T, Zhang YC (2009) Collaborative fil-tering based on multi-channel diffusion. Phys A Stat Mech Appl 388(23):4867–4871

3.1.3 用形式概念来确定邻居

形式概念是一个对 $⟨U,T⟩$, 其中 $U$ 为一个用户集合, $T$ 为一个项集合. 该概念表示同时浏览 $T$ 中项目的用户在且仅在 $U$ 里面.
已有的方法通过建立概念格来进行推荐.

3.1.4 user-based vs. item-based

3.1.1 节中, 计算的是用户相似度, 这被称为 user-based recommendation. 是否通过计算项目的相似度来进行推荐呢? 答案是肯定的, 而且 item-based recommendation 的效果通常比前者要好. 这多少有点让人意外, 但我们让数据说话, 它就告诉了我们这个事实.
从矩阵的角度, 将 $\mathbf{R}$ 转置一下, 用户与项目的位置就互换了. 因此, user-based 还是 item-based 都可以使用同一个算法.

论文:
Linden, G., et al. “Amazon.Com Recommendations: Item-to-Item Collaborative Filtering.” IEEE Internet Computing, vol. 7, no. 1, 2003, pp. 76–80.

3.2 矩阵分解

矩阵分解是一种神奇的操作. 它本身是数学上的一个问题, 即缺失值填补, 用于推荐系统简直不要太适合.
点击 推荐系统代码分析 2: 矩阵分解 查看源代码及分析.

3.2.1 基本方案

考虑 问题 2.2.1, 我们要根据 ${\mathbf{R}}^t$ 来计算 ${\mathbf{R}}^{\prime }$. 我们转而求两个矩阵 $\mathbf{U}=({\mathbf{u}}_1,\dots ,{\mathbf{u}}_n{)}^{\mathrm{T}}=(u_{ij}{)}_{n\times k}$ 和 $\mathbf{V}=({\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_m{)}^{\mathrm{T}}=(v_{ij}{)}_{m\times k}$, 其中 $k\ll \min \{m,n\}$. 并使用如下优化目标:
$$\min error=\sum _{(i,j)\in \Omega ({\mathbf{R}}^t)}|{\mathbf{u}}_i{\mathbf{v}}_j^{\mathrm{T}}-r_{ij}|\text{\hspace{1em}(9)}$$
${\mathbf{R}}^{\prime }=\mathbf{U}{\mathbf{V}}^{\mathrm{T}}$.

说明:

1. 式 (9) 仅最小化在训练集中的误差, 这是机器学习的一般方式. 测试集上的误差只能做为算法效果的评价指标, 而训练集中的误差用于获得预测模型. (2) 式已经说清楚了.
2. 从物理意义 (强行解释) 上, ${\mathbf{u}}_i$ 可以看作第 $i$ 个用户的特征向量, ${\mathbf{v}}_j$ 可以看作第 $j$ 个项目的特征向量. 因此, ${\mathbf{u}}_i{\mathbf{v}}_j^{\mathrm{T}}$ 就是相应用户对项目的评分预测. 如果在训练集上拟合得好, 我们就相信在测试数据上也预测得好.
3. 评分矩阵一般很稀疏, 即 0 占了绝大多数 (可能 99%). 因为用户只会购买所有商品的一小部分.
4. 这里我们习惯于使用转置的方式来描述 $\mathbf{V}$ 和 ${\mathbf{v}}_i$.
5. 没有除以 $|\Omega ({\mathbf{R}}^t)|$, 反正不影响结果.

3.2.2 加正则项

过拟合 (overfitting) 是机器学习的一个核心困难. 很多算法对训练集拟合得好, 但测试集却预测得不好. 这就好比一个学生平时成绩好, 但考试成绩不好.
加正则项是应对过拟合的一种常用方式.

$$\min error=\sum _{(i,j)\in \Omega ({\mathbf{R}}^t)}({\mathbf{u}}_i{\mathbf{v}}_j^{\mathrm{T}}-r_{ij}{)}^2+\lambda (\Vert \mathbf{U}{\Vert }_2^2+\Vert \mathbf{V}{\Vert }_2^2)\text{\hspace{1em}(10)}$$
其中, $\Vert \mathbf{U}{\Vert }_2^2={\sum }_{1\le i\le n,1\le j\le k}{u}_{ij}^2$ 为 2 范数, $\Vert \mathbf{V}{\Vert }_2^2$ 同理. 加上正则项的意思是: 使得 $\mathbf{U}$ 和 $\mathbf{V}$ 的元素绝对值更小, 避免过拟合.
我使用一个 (不恰当的) 例子来理解过拟合: 为了称一个质量为 4g 的物品, 我们有两种方案:
A. 使用质量为 1007g 和 1003g 的砝码, 它们放在天平两端, 这时把物品放在 1003g 砝码这边, 完美拟合. 但是, 为了拟合 6g, 7g 的物品, 这两个砝码就做不到. 换言之, 它们对 4g 物品进行了过拟合.
B. 使用质量 2g 与 5g 的砝码. 它们不能完美拟合 4g 物品, 但它们对于 2g 到 7g 的物品都有较好的拟合能力.
从这个例子可以看出, 我们还是用质量小的砝码好点.

3.2.3 概率矩阵分解

使用概率与最大似然对矩阵分解进行了改进, 就获得了好得多的效果.
论文:
Mnih, Andriy, and Ruslan R. Salakhutdinov. “Probabilistic Matrix Factorization.” Advances in Neural Information Processing Systems 20, vol. 20, 2007, pp. 1257–1264.

4. 我们的工作

本节尽量按照第 2 节相同的节奏来介绍我们的工作.

4.1 基于浏览矩阵的推荐

在 3.1.2 节所描述方案的基础上, 每个通道单独计算.
论文:
Heng-Ru Zhang, Fan Min, Zhi-Heng Zhang, Song Wang, Efficient collaborative filtering recommendations with multi-channel feature vectors. International Journal of Machine Learning & Cybernetics. (2019)1165–1172.
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4.2 基于相似性的评分预测

4.2.1 新的距离度量

郑梅想到一个简单到爆的距离度量: 两个用户 (项目) 的距离, 就是其平均分的差值 (0 不参与计算). 我听到她的想法时, 根本不敢相信, 并举出如下例子:
${\mathbf{x}}_1=(0,3,5,0,2,3)$ 的平均分为 $13/4$; ${\mathbf{x}}_2=(5,0,2,2,0,4)$ 的平均分为 $13/4$, 他们的距离为 $|13/4-13/4|=0$.
可以发现: 这两个用户的购买物品集合相差很大, 相同物品的评分差异也很大, 其距离居然为 0.
郑梅坚持说自己的实验结果不错, 于是我花了半小时自己把代码实现了一遍. 不是我写得快, 而是代码量太少. 果然她是对的! 所以呢, 机器学习不管什么反例, 效果好就行. 后来我强行解释了一波: 两个学生参考高考, 录取的时候只看总分 (等价于平均分), 而并没考虑其偏科情况.
说明:

1. 可以先将每个用户的平均分进行预计算, 这时候距离计算的时间复杂度就是 $O(1)$ 而不是 $O(m)$.
2. 我们不仅考虑了 $k$NN 方案, 还考虑了半径方案, 两个用户 (物品) 被认为是相似, 当且仅当其 M-distance 不超过给定的阈值 (如 $ϵ=0.3$).
   论文:
   Mei Zheng, Fan Min, Heng-Ru Zhang, Wen-Bin Chen, Fast recommendations with the M-distance, IEEE Access 4 (2016) 1464–1468.
   点击下载
   代码见 推荐系统代码分析 1: 基于相似度的评分预测.

孙爽博和董新玲想到了将两种距离度量进行结合的方法, 效果也不错.
论文:
Shuang-Bo Sun, Zhi-Heng Zhang, Xin-Ling Dong, Heng-Ru Zhang, Tong-Jun Li, Lin Zhang, Fan Min, Integrating Triangle and Jaccard similarities for recommendation, PLOS ONE 12 (8) (2017) 1–16.

4.2.2 评论带来的信息

沈蓉萍比较独立, 是能够自己想出 idea 的少数学生之一. 她毕业后到西南交通大学继续读博士.
评论对评分有印证作用. 如果评分低评论却好, 证明是手滑了.
论文:
Rong-Ping Shen, Heng-Ru Zhang, Hong Yu, Fan Min. Sentiment based matrix factorization with reliability for recommendation. Expert Systems with Applications. (2019) 249-258.

4.3 基于用户与商品信息的推荐

4.5 节的第一篇论文也属于本方向. 由于那边更重要, 就不在这里描述了.

4.4 推荐系统的魔法边界

2015 年出差参加学术会议, 在飞机上我和 Henry 谈到了这篇论文的可能性, 他觉得很神奇: 这玩艺儿也能评估? 然后他就把论文写出来并发表了. 投稿的道路很漫长, 因为搞这个问题的人很少, 审稿人总想问: 这个算法的精度如何呀? 拜托, 我们不是想做推荐算法, 而是评估数据的质量.
在正态分布假设下, 做了三个模型: 第一个模型假设用户的评分都服从相同的正态分布. 第二个模型假设不同的评分级别有不同的适当标准差设置. 第三个将用户分成不同的组, 并假设标准差的设置与评级级别和用户组有关.
论文:
Heng-Ru Zhang, Fan Min, Yan-Xue Wu, Zhuo-Lin Fu, Lei Gao. Magic barrier estimation models for recommended systems under normal distribution. Applied Intelligence. (2018-12) 4678-4693.
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当前我们的进一步工作在 Applied Soft Computing (现在是一区) 上卡住了, 修改稿上传了半年没动静. 唉.

4.5 代价敏感推荐

三支推荐是我们提出来的. 由于首次把三支决策理论与推荐系统应用结合, 所以受到比较多的关注. 两篇论文都为 ESI 高被引, 而且都被引 100 次以上.
第一个工作针对的是浏览矩阵和用户、项目信息. 由于可用的属性比较少, 我们建了随机森林进行分类.
论文:
Heng-Ru Zhang, Fan Min, Three-way recommender systems based on random forests, Knowledge-Based Systems 91 (2016) 275–286.
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第二个工作针对的是评分矩阵, 讨论了推荐阈值的问题: 在训练集上最优的阈值, 在测试集上也几乎是最优的. 这是真个好消息.
论文:
Heng-Ru Zhang, Fan Min, Bing Shi, Regression-based three-way recommendation, Information Sciences 378 (2017) 444–461.
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4.6 交互式推荐

Henry 早期作品. 期刊一般, 但引用也不错, google scholar 显示有 35 次.
论文:
Heng-Ru Zhang, Fan Min, Xu He, Yuan-Yuan Xu, A hybrid recommender system based on user-recommender interaction, Mathematical Problems in Engineering 2015 (2015) 1–11.

我们将自适应学习的方式用于交互推荐. 其实这篇论文投 IEEE Access 挺可惜的 (这个期刊收稿太多声誉变差), 但硕士生要毕业, 时间太紧没办法.
论文:
Qi Huang, Yuan-Yuan Xu, Yong Chen, Heng-Ru Zhang, Fan Min. An Adaptive Mechanism for Recommendation Algorithm Ensemble. IEEE Access. (2019-01)10331-10342.
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5. 进一步工作思路

本节列出一些工作思路. 你可以认为很有价值, 也可以认为很不靠谱, 反正两者是相近的.

5.7 去噪与样本选择

Title: Self-paced matrix factorization for recommendation
说明: 与去噪相反, 从简单数据开始进行拟合, 逐步增加.
Step 1. 生成两个子矩阵 $\mathbf{U}$ 和 $\mathbf{V}$, 它们比较简单 (平滑), 且仅需要对少量数据进行良好的拟合;
Step 2. 将拟合得比较好的数据挑出来 (简单样本);
Step 3. 使用当前的简单样本更新$\mathbf{U}$ 和 $\mathbf{V}$, 增加其复杂性, 且增加拟合的能力;
Step 4. if (简单样本集合足够大) 结束; else goto Step 2;

如何控制模型复杂度, 这些关键细节就不透露了.

Title: Matrix factorization with limited loss for recommendation
说明: 现在的损失函数, 大多用 1 范数、2 范数之类. 其中, 2 范数对少量预测效果比较差的点惩罚更大. 可以设计其它的损失函数, 例如, 有限损失函数.
优点:
a) 预测效果很差的样本 (评分) 并不能对模型造成很大的影响;
b) 并不需要去除或改变样本.
如何选择损失函数, 这些关键细节就不透露了.

6. 作业

所有作业均写到 CSDN, 交链接即可.
6.1 画一个思维导图, 描述你对推荐系统的理解.
6.2 找到并运行推荐系统代码, 进行结果分析.
6.3 描述你自己的新想法.
6.4 描述你对本贴的疑问 (也可在本贴留言).

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未完待续