兩隨機變數乘積的期望值

以下推導參考Distribution of the product of two random variables - Expectation of product of random variables。

$$\begin{array}{rlrl}E(XY)& =E(E(XY\mid Y))& & \text{law of total expectation}\\ & =E(Y\cdot E[X\mid Y])& & \text{外層給定Y=y,所以Y對內層期望值來說為常數}\end{array}$$

這條式子不論$X$和$Y$是否獨立都成立。

其中law of total expectation的介紹和證明可以參考law of total expectation。

在$X$和$Y$獨立的情況下，有：
$$E[X\mid Y]=E[X]$$
將它代入上式得：
$$\begin{array}{rlrl}E(XY)& =E(Y\cdot E[X\mid Y])& & \\ & =E(Y\cdot E[X])& & X\text{的期望值並不受}Y\text{影響}\\ & =E(X)E(Y)& & \text{把}E(X)\text{這個常數從}E\text{裡搬出來}\end{array}$$