二维随机变量期望公式_测度与概率—2.3节 期望与积分

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2.3 期望—积分

2.3.1 期望

2.3.1.1 简单随机变量的期望

定义1 若

为简单随机变量（也叫阶梯随机变量，就是取有限个值的可测函数），定义一个正线性泛函

，称为

的

期望或

关于

的

积分，记为

或

或

.

命题1 当

且

，则有

证明：一个常用的分解方法，证明细节不表
借助

我们有

，剩下的内容并不难，可自行推导。

性质1

是简单随机变量

（1）

是常数

（2）

（3）

（4）

（5）

2.3.1.2 非负随机变量的期望

（I）定义

任意

非负随机变量可以被一列 递增的 简单随机变量近似得到。

设

表示非负

简单随机变量全体，那么

便是非负

随机变量全体。

定理1 给定非负

随机变量

，存在简单随机变量

使得对所有

有

.

证明：

，令

这里将1到

每段(长度为1)都分成了

份，共

份

首先证明

时随机变量序列极限的存在性：

其中

上面这些看起来较为花眼，简单来说，展开以后，偶数项的系数缩小为奇数项的系数，然后将奇偶项（1和2，3和4）的示性函数的区间两两合并，就有了最后的这个结果。本质上就是划分的越细就越大一点，和黎曼积分一样。

上面就是一些简单的放缩系数和合并示性函数的区间，不难但琐碎
综上，

因此，对

，随机变量

都是递增的，进而

存在（当然可能是

）。

接下来证明

：首先，如果

，那么我们可以有

，在

。如果

，那么当

足够大，我们有

我们观察到存在

使得

，那么我们取左端点，即令

那么我们就有

证完就会发现，这条定理就是给我们说，任意非负随机变量，可以选择其划分的左端点的和对应的简单随机变量来近似。（这话表述不严谨，了解思想即可）

定义1

是

上的随机变量

（1）

的期望

，其中

是简单非负随机变量且

.

（2）

在事件

上的期望为

（3）若

是

上的随机变量，定义

.

证明（1）：

是非负随机变量，

,（我们需要找个

能收敛到

，s.t.

，但这种

有很多，我们需要证明它们都能收敛到

）

因此接下来要证：对于

，有

.

接下来我们只要证明：若

，则

。就可以证得上一步，进而证明了最上面那一步。

设

(取小)，有

先对

取极限，再对

取极限，得到

即

.证毕

（II）代数运算

定理2

是随机变量

（1）

（2）

（3）

.

（4）如果

，那么

（5）如果

，那么

（6）

（III）极限相关运算

接下来的定理对于证明期望的单调连续性是至关重要的。

此外，Levi引理、Fatou引理、控制收敛定理是积分三大极限定理，三者等价，可相互证明。

引理1

是非负递增的

简单随机变量序列，则

是非负随机变量，且

证明：若对每个

，当

时，

，其中

是非负简单随机变量，令

，则

也是非负简单随机变量，

是递增的。我们有

之所以有这个关系是因为

是最小上界，因此

在中间。进而有

接下来对公式（1），先令

，得到

，再令

，得到

，即

。

同样的方式处理公式（2）.得到

上式中的

可以写成

，进而我们得到了

这里可能就有疑问了，既然可以写

，那为啥不直接得到

，费这么大功夫证啥？之所以这样，是因为并非所有的数列都存在极限，但上下极限一定存在极限，因此我们要借助

.

上面这个引理我们常会用到，因为我们会常用到简单随机变量序列。接下来两个定理是针对非负随机变量的。

定理3 （Fatou引理）若

为随机变量序列，

为可积随机变量，则

（1）若

则

也记为

。另外在很多教材上，并没有

这一条，写的是

和我们这里的写法是一个意思，下同

（2）若

则

也记为

借助引理1我们可以轻松证得Levi引理，进而轻松证得Fatou引理，但我们并不这样做。

证明（1）：首先我们看一下

的情况，

对每个

，令

，所以有

补充一点：

存在简单随机变量序列

使得

固定

，

，对每个

，定义

，它是可测的。因为

，然后

，因此

进而

因为

是任意的，因此我们有

，令

，得到

.证毕

（2）的证明与（1）类似，略

定理4 （单调收敛定理MCT）令

是非负随机变量，有

（1）

（2）

证明：（1）

，因此

可得

证明（2）：假设

，因为有

所以

命题2 Fatou引理

单调收敛定理(MCT)

证明：

单调收敛定理的证明那里已经用到Fatou引理

假定

，首先我们有

，对两端求期望

因为有

，因此上式左边是非增的。对上式两端取

并应用单调收敛定理可得

2.3.1.3 广义随机变量的期望

定义2

对于期望，有

，其中若

，则称

是

可积的。若

是可积的，则有

较为一般地，若

中至少有一个取有限值，则称

为

准可积的。

有界随机变量或简单随机变量都是可积的，非负随机变量必是准可积的。

定理5

是可积随机变量，有

（1）

也是可积随机变量，且

（2）

（3）

定理6（Lebesgue控制收敛定理） 如果随机变量序列

，对所有

有

，

可积

证明：首先，根据条件，我们有

因此

，因此

是可积的。

然后，

，进而有

因此

还有

因此

结合上面两个不等式，我们得到

，这便得到了

这个定理给出了积分运算和极限运算可以交换顺序的条件。控制收敛定理说明了，如果几乎必然（a.s.）收敛的随机变量序列中的每个随机变量都能被同个勒贝格可积的随机变量“控制”（即在每一点，序列中的每个随机变量的绝对值都小于“控制随机变量”），那么随机变量序列的极限的勒贝格积分等于随机变量序列中每个随机变量的勒贝格积分的极限。

2.3.2 积分

测度空间上的积分在概念上与期望是一样的。相同的定义方式，性质也几乎相同。

定义3

是

上的

可测函数，

关于

的积分表示为：

（1）若

，就有

（2）若

，定义

其中

是简单函数

.

和期望那里一样，上面是随机变量，这里是可测函数

这里的性质和期望那里是一样的，证明就不写了。

命题3 以下所有函数都是

上的

可测函数

（绝对值积分）

是有限的当且仅当

是有限的。

（线性性质）

（

可加性）若

，有

（单调性）若

，有

（Fatou引理）若

有

（单调收敛定理）若

有

（控制收敛定理）若

，有