动态规划-DP-——股票问题

股票问题（简单DP）

摘要

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本文主要介绍了和DP相关的股票问题，分析比较简单，容易理解，适合刚接触DP的朋友们学习。

股票Ⅰ

题面

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假设您有一个数组，第i个元素是第i天给定股票的价格。

如果只允许您最多完成一笔交易（即买入和卖出一股股票），请设计一种算法以找到最大的利润(卖出的价格-买入的价格)。

请注意，您不能在买股票之前卖出股票。

输入

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多组输入数据

每组数据第一行一个数n，(1≤n≤10⁵)

接下来一行n个数表示股票的价格(1≤a_i≤10⁹)

输出

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每组数据一行一个数。

输入样例

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5
1 2 3 4 5

输出样例

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4

AC代码

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#include
#include
using namespace std;
int max(int n,int m){
	if(n>=m) return n;
	return m;
}
int main(){
	int n,a[100005]={};
	long long buy,sell;
	while(~scanf("%d",&n)){
		buy1=-1000000001,sell1=0;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			scanf("%d",&a[i]);
		}
		for(int i=1;i<=n;i++){
			buy=max(buy,-a[i]);
			sell=max(sell,buy+a[i]);
		}
		printf("%lld\n",sell);
	}
}

分析

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我们直接从DP的角度开始分析这个问题，首先看清题意，只能买入和卖出一股股票，并且卖出必须在买入之后完成。那么我们每一天的选择就是买或者不买或者卖，也就是有两种状态买buy和卖sell，而买入股票对应的就是花钱，我们最开始的钱为0，买入后就变会损失也就是-a[i]，并且当天的总收益就为-a[i]，也就是buy的值，卖出后则为收益也就是+a[i]，并且当天的总收益就为buy+a[i]。所以我们就考虑当天买和之前买了(即与之前buy里的值进行比较)哪个收益更高，同时当天卖和之前已经卖了(即与之前sell里的值进行比较)哪个收益更高即可完成。

转移方程

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• buy = max(buy, -a[i])
• sell = max(sell, buy+a[i])

HINT

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首先观察数据范围发现最终结果是可能超int的，所以对buy和sell的定义应为long long，然后是buy的初始值应该设置为负值而不是0，因为第一次买入的时候此时总收益就为负值。

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股票Ⅱ

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题面

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假设您有一个数组，第i个元素是第i天给定股票的价格。

设计算法以找到最大的利润。您可以根据需要完成尽可能多的交易。

请注意，无法同时进行多项交易（即必须先出售股票才能再次购买）

输入

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多组输入数据

每组数据第一行一个数n，(1≤n≤10⁵)

接下来一行n个数表示股票的价格(1≤a_i≤10⁹)

输出

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每组数据一行一个数

输入样例

---

5
1 2 3 4 5

输出样例

---

4

AC代码

---

#include
#include
using namespace std;
int max(int n,int m){
	if(n>=m) return n;
	return m;
}
int main(){
	int n,a[100005]={};
	long long buy,sell;
	while(~scanf("%d",&n)){
		buy=-1000000001,sell=0;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			scanf("%d",&a[i]);
		}
		for(int i=1;i<=n;i++){
			buy=max(buy,sell-a[i]);
			sell=max(sell,buy+a[i]);
		}
		printf("%lld\n",sell);
	}
}

分析

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我们直接从上一问的思路继续分析，本题是要求利润最大并且可以完成任意多的交易(即可以买了又卖卖了再买)，那我们还是同样分析，买了之后当天的总收益为sell-a[i](因为之前是处于卖了之后的状态所以用sell来减)，然后卖了之后当天的总收益为buy-a[i](因为之前是处于买了之后的状态所以用buy来减)，然后我们考虑每一天的情况即可。

转移方程

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• buy = max(buy, sell-a[i])

• sell = max(sell, buy+a[i])

HINT

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还是一样需要注意数据类型的选择和buy的初始赋值，然后是sell最初值置0才能保证第一次买后总收益的正确性。

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股票Ⅲ

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题面

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假设您有一个数组，第i个元素是第i天给定股票的价格。

设计算法以找到最大的利润。您最多可以完成两次交易。

请注意，无法同时进行多项交易（即必须先出售股票才能再次购买）

输入

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多组输入数据

每组数据第一行一个数n，(1≤n≤10⁵)

接下来一行n个数表示股票的价格(1≤a_i≤10⁹)

输出

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每组数据一行一个数

输入样例

---

5
1 2 3 4 5

输出样例

---

4

AC代码

---

#include
#include
using namespace std;
int max(int n,int m){
	if(n>=m) return n;
	return m;
}
int main(){
	int n,a[100005]={};
	long long buy1,sell1,buy2,sell2;
	while(~scanf("%d",&n)){
		buy1=-1000000001,sell1=0,buy2=-1000000001,sell2=0;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			scanf("%d",&a[i]);
		}
		for(int i=1;i<=n;i++){
			buy1=max(buy1,-a[i]);
			sell1=max(sell1,buy1+a[i]);	
			buy2=max(buy2,sell1-a[i]);
			sell2=max(sell2,buy2+a[i]);
		}
		printf("%lld\n",sell2);
	}
}

分析

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我们还是延续思路继续分析，本题是要求利润最大并且只能完成两次交易，那我们还是同样分析，因为有两次交易，所以需要4个变量来存，第一次买了之后当天的总收益为-a[i](因为相当于之前没有卖出)，然后第一次卖了之后当天的总收益为buy1-a[i](因为之前是处于第一次买了之后的状态所以用buy1来减)，然后第二次买了之后当天的总收益为sell1-a[i](因为相当于之前有一次卖出)，然后第二次卖了之后当天的总收益为buy2-a[i](因为之前是处于第二次买了之后的状态所以用buy2来减)，然后我们考虑每一天的情况即可。

转移方程

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• buy1=max(buy1,-a[i]);
• sell1=max(sell1,buy1+a[i]);
• buy2=max(buy2,sell1-a[i]);
• sell2=max(sell2,buy2+a[i]);

HINT

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还是一样需要注意数据类型的选择和sell1、buy1、buy2的初始赋值，然后是sell1最初值置0才能保证第一次买后总收益的正确性。然后是对方程的理解，是怎么样实现的。

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股票Ⅳ

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题面

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假设您有一个数组，第i个元素是第i天给定股票的价格。

设计算法以找到最大的利润。您最多可以完成k次交易。

请注意，无法同时进行多项交易（即必须先出售股票才能再次购买）

输入

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多组输入数据

每组数据第一行两个数n,k，(1≤n,k≤10³)

接下来一行n个数表示股票的价格(1≤a_i≤10⁹)

输出

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每组数据一行一个数

输入样例

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5 2
1 2 3 4 5

输出样例

---

4

AC代码

---

#include
#include
using namespace std;
int max(int n,int m){
	if(n>=m) return n;
	return m;
}
int main(){
	int n,k,a[100005]={};
	long long buy[1005],sell[1005];
	while(~scanf("%d%d",&n,&k)){
		for(int i=1;i<=n;i++){
			scanf("%d",&a[i]);
		}
		for(int i=1;i<=k;i++){
			buy[i]=-1000000001;
			sell[i]=0;
		}
		for(int i=1;i<=n;i++){
			buy[1]=max(buy[1],-a[i]);
			sell[1]=max(sell[1],buy[1]+a[i]);
			for(int j=2;j<=k;j++){
				buy[j]=max(buy[j],sell[j-1]-a[i]);
				sell[j]=max(sell[j],buy[j]+a[i]);
			}
		}
		printf("%lld\n",sell[k]);
	}
}

分析

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我们还是相同思路继续分析，本题是要求利润最大并且只能完成k次交易，因为有k次交易，所以需要2k个变量来存，即用两个数组来存即可，第一次买了之后当天的总收益为-a[i](因为相当于之前没有卖出)，然后第一次卖了之后当天的总收益为buy[1]-a[i](因为之前是处于第一次买了之后的状态所以用buy[1]来减)，然后第二次买了之后当天的总收益为sell[1]-a[i](因为相当于之前有一次卖出)，然后第二次卖了之后当天的总收益为buy[2]-a[i](因为之前是处于第二次买了之后的状态所以用buy[2]]来减)，然后用一个从2-k的循环来实现此过程即可。

转移方程

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• buy[j]=max(buy[j], sell[j-1]-a[i])
• sell[j]=max(sell[j], buy[j]+a[i])

HINT

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还是一样需要注意数据类型的选择和buy[],sell[]的初始赋值，然后是上文的AC代码的循环其实不用把buy[1]、sell[1]单独拿出来讨论的，只是更方便理解。

题目来源

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北航OJ

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