矩阵简单介绍

文章目录

  • 一、矩阵的定义
  • 二、向量与矩阵关系
  • 三、矩阵与数据
  • 四、矩阵表示线性方程组
  • 五、矩阵在数字图像中的表示

一、矩阵的定义

m × n m \times n m×n个数 a i j , i = 1 , 2.... , m , j = 1 , 2... , n a_{ij},i=1,2....,m,j=1,2...,n aij,i=1,2....,m,j=1,2...,n排成的m行n列的数表,称m行n列矩阵 m × m\times m×n阶矩阵

二、向量与矩阵关系

  1. 在数组的角度看,向量是一维数组,是标量的数组;矩阵是二维数组,是向量的数组。
  2. 给定一个矩阵,可以看作由行向量构成,也可以看作由列向量组成。
  3. 向量是一种特殊的矩阵,n × \times × 1 阶矩阵可以称为一个n维列向量;1 × \times ×n阶矩阵也称为一个n维行向量。

三、矩阵与数据

在机器学习中,样本集合(数据集)常用矩阵表示,每行数据称为一个样本(数据对象),每列表达样本的一个特征(属性)。

四、矩阵表示线性方程组

描述参数、变量和常量之间的线性关系的线性系统常用线性方程组表示,未知量均为一次项的方程组称为线性方程组
例如:某个线性系统用如下的线性方程组表示:
{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2 n x n = b 2 . . a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + . . . + a m n x n = b m {\left \{ \begin{array}{ccc} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + ...+ a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + ...+ a_{2n}x_n = b_2 \\ .\\ .\\ a_{m1} x_{1} + a_{m2} x_{2} + ...+ a_{mn}x_n = b_m \end{array} \right. } a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2..am1x1+am2x2+...+amnxn=bm

  1. 方程组的左侧的系数:用一个m × \times ×n阶矩阵A表示,每行表示一个方程,每列代表在不同方程中不同未知数的系数。
  2. 未知数 x x x:用 n × 1 n\times1 n×1阶矩阵X表示。
  3. 方程右侧的值:用 m × 1 m\times1 m×1阶矩阵B表示。

A为系数矩阵,X为未知数矩阵,B为常数矩阵。分三步得出此线性方程组 AX=B \textbf{AX=B} AX=B。其中:
A = [ a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 n . . . . . . . . . . . . a m 1 a m 2 . . . a m n ] , X = [ x 1 x 2 . . . x n ] , B = [ b 1 b 2 . . . b n ] \textbf{A}= {\begin{gathered} \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\ ... &... &... &... \\ a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn} \end{bmatrix} \end{gathered}} , \textbf{X}= {\begin{gathered} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ ... \\ x_n \end{bmatrix} \end{gathered}} , \textbf{B}= {\begin{gathered} \begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ ... \\ b_n \end{bmatrix} \end{gathered}} A=a11a21...am1a12a22...am2............a1na2n...amn,X=x1x2...xn,B=b1b2...bn
AB 组合为增广矩阵:
[ a 11 a 12 . . . a 1 n b 1 a 21 a 22 . . . a 2 n b 2 . . . . . . . . . . . . . . . . a m 1 a m 2 . . . a m n b m ] {\begin{gathered} \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n} &b_1\\ a_{21}&a_{22}&...&a_{2n} &b_2\\ ... &... &... &... &....\\ a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}&b_m \end{bmatrix} \end{gathered}} a11a21...am1a12a22...am2............a1na2n...amnb1b2....bm

五、矩阵在数字图像中的表示

矩阵的行对于图像的高(单位为像素),矩阵的列对应像素的宽(单位像素),矩阵元素对应图像的像素。采用矩阵存储数字图像,符合二维矩阵的行列特性,也便于通过矩阵理论和矩阵算法对数字图像进行分析和处理。

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