矩阵简单介绍

一、矩阵的定义

由$m\times n$个数$a_{ij},i=1,2....,m,j=1,2...,n$排成的m行n列的数表，称m行n列矩阵，$m\times$n阶矩阵。

二、向量与矩阵关系

1. 在数组的角度看，向量是一维数组，是标量的数组；矩阵是二维数组，是向量的数组。
2. 给定一个矩阵，可以看作由行向量构成，也可以看作由列向量组成。
3. 向量是一种特殊的矩阵，n$\times$ 1 阶矩阵可以称为一个n维列向量；1$\times$n阶矩阵也称为一个n维行向量。

三、矩阵与数据

在机器学习中，样本集合（数据集）常用矩阵表示，每行数据称为一个样本（数据对象），每列表达样本的一个特征（属性）。

四、矩阵表示线性方程组

描述参数、变量和常量之间的线性关系的线性系统常用线性方程组表示，未知量均为一次项的方程组称为线性方程组。
例如：某个线性系统用如下的线性方程组表示：
$$\{\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+...+a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+...+a_{2n}{x}_n=b_2\\ .\\ .\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+...+a_{mn}{x}_n=b_m\end{array}$$

1. 方程组的左侧的系数：用一个m$\times$n阶矩阵A表示，每行表示一个方程，每列代表在不同方程中不同未知数的系数。
2. 未知数$x$：用$n\times 1$阶矩阵X表示。
3. 方程右侧的值：用$m\times 1$阶矩阵B表示。

A为系数矩阵，X为未知数矩阵，B为常数矩阵。分三步得出此线性方程组$\text{AX=B}$。其中：
$$\text{A}=\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& ...& a_{2n}\\ ...& ...& ...& ...\\ a_{m1}& a_{m2}& ...& a_{mn}\end{array}\right]\end{array},\text{X}=\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ...\\ x_n\end{array}\right]\end{array},\text{B}=\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ...\\ b_n\end{array}\right]\end{array}$$
把 A 和 B 组合为增广矩阵：
$$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}& b_1\\ a_{21}& a_{22}& ...& a_{2n}& b_2\\ ...& ...& ...& ...& ....\\ a_{m1}& a_{m2}& ...& a_{mn}& b_m\end{array}\right]\end{array}$$

五、矩阵在数字图像中的表示

矩阵的行对于图像的高（单位为像素），矩阵的列对应像素的宽（单位像素），矩阵元素对应图像的像素。采用矩阵存储数字图像，符合二维矩阵的行列特性，也便于通过矩阵理论和矩阵算法对数字图像进行分析和处理。