python 马尔科夫链_简单易学的机器学习算法—马尔可夫链蒙特卡罗方法MCMC

对于一般的分布的采样，在很多的编程语言中都有实现，如最基本的满足均匀分布的随机数，但是对于复杂的分布，要想对其采样，却没有实现好的函数，在这里，可以使用马尔可夫链蒙特卡罗(Markov

Chain Monte Carlo,

MCMC)方法，其中Metropolis-Hastings采样和Gibbs采样是MCMC中使用较为广泛的两种形式。

MCMC的基础理论为马尔可夫过程，在MCMC算法中，为了在一个指定的分布上采样，根据马尔可夫过程，首先从任一状态出发，模拟马尔可夫过程，不断进行状态转移，最终收敛到平稳分布。

一、马尔可夫链

1、马尔可夫链

设Xt表示随机变量X在离散时间t时刻的取值。若该变量随时间变化的转移概率仅仅依赖于它的当前取值，即

也就是说状态转移的概率只依赖于前一个状态。称这个变量为马尔可夫变量，其中，s0,s1,⋯,si,sj∈Ω为随机变量X可能的状态。这个性质称为马尔可夫性质，具有马尔可夫性质的随机过程称为马尔可夫过程。

马尔可夫链指的是在一段时间内随机变量X的取值序列(X0,X1,⋯,Xm)，它们满足如上的马尔可夫性质。

2、转移概率

马尔可夫链是通过对应的转移概率定义的，转移概率指的是随机变量从一个时刻到下一个时刻，从状态si转移到另一个状态sj的概率，即：

记

表示随机变量X在时刻t的取值为sk的概率，则随机变量X在时刻t 1的取值为si的概率为：

假设状态的数目为n，则有：

3、马尔可夫链的平稳分布

对于马尔可夫链，需要注意以下的两点：

1、周期性：即经过有限次的状态转移，又回到了自身；

2、不可约：即两个状态之间相互转移；

如果一个马尔可夫过程既没有周期性，又不可约，则称为各态遍历的。

对于一个各态遍历的马尔可夫过程，无论初始值π(0)取何值，随着转移次数的增多，随机变量的取值分布最终都会收敛到唯一的平稳分布π∗，即：

且这个平稳分布π∗满足：

其中，

为转移概率矩阵。

二、马尔可夫链蒙特卡罗方法

1、基本思想

对于一个给定的概率分布P(X)，若是要得到其样本，通过上述的马尔可夫链的概念，我们可以构造一个转移矩阵为P的马尔可夫链，使得该马尔可夫链的平稳分布为P(X)，这样，无论其初始状态为何值，假设记为x0，那么随着马尔科夫过程的转移，得到了一系列的状态值，如：x0,x1,x2,⋯,xn,xn

1,⋯,，如果这个马尔可夫过程在第n步时已经收敛，那么分布P(X)的样本即为xn,xn

1,⋯。

2、细致平稳条件

对于一个各态遍历的马尔可夫过程，若其转移矩阵为P，分布为π(x)，若满足：

则π(x)是马尔可夫链的平稳分布，上式称为细致平稳条件。

3、Metropolis采样算法

Metropolis采样算法是最基本的基于MCMC的采样算法。

3.1、Metropolis采样算法的基本原理

假设需要从目标概率密度函数p(θ)中进行采样，同时，θ满足−∞

其中，θ(t)表示的是马尔可夫链在第t代时的状态。

在Metropolis采样算法的过程中，首先初始化状态值θ(1)，然后利用一个已知的分布

生成一个新的候选状态θ(∗)，随后根据一定的概率选择接受这个新值，或者拒绝这个新值，在Metropolis采样算法中，概率为：

这样的过程一直持续到采样过程的收敛，当收敛以后，样本θ(t)即为目标分布p(θ)中的样本。

3.2、Metropolis采样算法的流程

基于以上的分析，可以总结出如下的Metropolis采样算法的流程：

初始化时间t=1

设置u的值，并初始化初始状态θ(t)=u

重复一下的过程：

令t=t 1

从已知分布

中生成一个候选状态θ(∗)

计算接受的概率：

从均匀分布Uniform(0,1)生成一个随机值a

如果a⩽α，接受新生成的值：θ(t)=θ(∗)；否则：θ(t)=θ(t−1)

直到t=T

3.3、Metropolis算法的解释

要证明Metropolis采样算法的正确性，最重要的是要证明构造的马尔可夫过程满足如上的细致平稳条件，即：

对于上面所述的过程，分布为p(θ)，从状态i转移到状态j的转移概率为：

其中，Qi,j为上述已知的分布。

对于选择该已知的分布，在Metropolis采样算法中，要求该已知的分布必须是对称的，即Qi,j=Qj,i，即

常用的符合对称的分布主要有：正态分布，柯西分布以及均匀分布等。

接下来，需要证明在Metropolis采样算法中构造的马尔可夫链满足细致平稳条件。

因此，通过以上的方法构造出来的马尔可夫链是满足细致平稳条件的。

3.4、实验

假设需要从柯西分布中采样数据，我们利用Metropolis采样算法来生成样本，其中，柯西分布的概率密度函数为：

那么，根据上述的Metropolis采样算法的流程，接受概率α的值为：

代码如下：

'''

Date:20160629

@author: zhaozhiyong

'''

import random

from scipy.stats import norm

import matplotlib.pyplot as plt

def cauchy(theta):

y = 1.0 /

(1.0 theta ** 2)

return

y

T = 5000

sigma = 1

thetamin = -30

thetamax = 30

theta = [0.0] * (T 1)

theta[0] = random.uniform(thetamin, thetamax)

t = 0

while t < T:

t = t

1

theta_star =

norm.rvs(loc=theta[t - 1], scale=sigma, size=1,

random_state=None)

#print

theta_star

alpha =

min(1, (cauchy(theta_star[0]) / cauchy(theta[t - 1])))

u =

random.uniform(0, 1)

if u

<= alpha:

theta[t] = theta_star[0]

else:

theta[t] = theta[t - 1]

ax1 = plt.subplot(211)

ax2 = plt.subplot(212)

plt.sca(ax1)

plt.ylim(thetamin, thetamax)

plt.plot(range(T 1), theta, 'g-')

plt.sca(ax2)

num_bins = 50

plt.hist(theta, num_bins, normed=1, facecolor='red',

alpha=0.5)

plt.show()数据分析师培训

实验的结果：

对于Metropolis采样算法，其要求选定的分布必须是对称的。