导数极限的连续性与导数的函数值的关系

函数的连续性

教材关于连续性的定义如下：

这样看来，如何理解连续性呢：
连续，则导数定义=导数极限
导数定义=导数极限，则连续

因为我们常常会在题目当中发现一种函数哈，它并不是基础函数类型，如：

这样的类型，它们通常对于推翻一些选择题中的充分、必要条件的假命题，然后久而久之我就会对连续性产生怀疑，是定义域连续就可以了吗，还是函数值和定义域都要连续呢，这里的连续就只是普通的看起来是连接起来的感觉，并没有很专业的定义，但数学是个很细致或者说琐碎的东西吧，不能这么敷衍了事，于是我做完题后去查了一下连续性的定义，那么回归正题。
按照上述定义，函数在x=x0的极限应当等于函数在该点的取值，这里的极限指的就是函数值的邻域，因此函数值应当连续，所以需要函数图像看起来是顺滑的，没有突变点啊，断点这些东西，更不能出现离散的震荡点，所以上述两种函数都不是连续的（如果我说错了，以后会回来改的，如果没有，那么这个buff括号会一直存在）

间断点

先掏出定义：

定义不是重点，分类是重点：

间断点的分类

第一类间断点：

结合函数可导性的证明，对于可去间断点，再加上函数在某一点连续，则可推出函数在该点可导

第二类间断点：

震荡间断点需要补充x=0处的函数值，在一个对称的闭区间内就会变得可积，具体见本文目录定积分存在的充分条件
需要注意的是，x0被称为间断点，而不是一个（x0，y0）

闭区间上连续函数的性质

若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，

定积分定义求极限公式

我也不知道这公式怎么了，反正张宇题库里有，该记住的就记住咯，之后再理解都行

定积分存在的充分条件

1. 函数f(x)在闭区间[a,b]上连续
2. 函数f(x)在闭区间[a,b]上有界，且有有限个间断点
3. f(x)在[a,b]上只有有限个第一类间断点（可去间断点和跳跃间断点）

在闭区间可积的定积分的经验谈