【数据结构】复杂度计算

1、时间复杂度

1.1概念

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

1.2 大O的渐进表示法

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大O阶方法：

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

1.3常见时间复杂度计算举例

实例1

void Func2(int N)
{
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
    {
        ++count;
    }

    int M = 10;
    while (M--)
    {
        ++count;
    }

    printf("%d\n", count);
}

实例1基本操作执行了2N+10次，通过推导大O阶方法知道，时间复杂度为 O(N)

实例2

void Func3(int N, int M)
{
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < M; ++k)
    {
        ++count;
    }

    for (int k = 0; k < N; ++k)
    {
        ++count;
    }
    printf("%d\n", count);
}

实例2基本操作执行了M+N次，有两个未知数M和N，时间复杂度为 O(N+M)

实例3

void Func4(int N)
{
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < 100; ++k)
    {
        ++count;
    }
    printf("%d\n", count);
}

实例3基本操作执行了100次，通过推导大O阶方法，时间复杂度为 O(1)

实例4

// 计算strchr的时间复杂度？
const char* strchr(const char* str, int character);

实例4基本操作执行最好1次，最坏N次，时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为 O(N)

实例5

// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
    assert(a);
    for (size_t end = n; end > 0; --end)
    {
        int exchange = 0;
        for (size_t i = 1; i < end; ++i)
        {
            if (a[i - 1] > a[i])
            {
                Swap(&a[i - 1], &a[i]);
                exchange = 1;
            }
        }

        if (exchange == 0)
            break;
    }
}

实例5基本操作执行最好N次，最坏执行了(N*(N+1)/2次，通过推导大O阶方法+时间复杂度一般看最 坏，时间复杂度为 O(N^2)

实例6

// 计算BinarySearch的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
    assert(a);

    int begin = 0;
    int end = n - 1;
    // [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号
    while (begin <= end)
    {
        int mid = begin + ((end - begin) >> 1);
        if (a[mid] < x)
            begin = mid + 1;
        else if (a[mid] > x)
            end = mid - 1;
        else
            return mid;
    }

    return -1;
}

实例6基本操作执行最好1次，最坏O(logN)次，时间复杂度为 O(logN) ps：logN在算法分析中表示是底 数为2，对数为N。有些地方会写成lgN。

实例7

// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
    if (0 == N)
        return 1;

    return Fac(N - 1) * N;
}

实例7通过计算分析发现基本操作递归了N次，时间复杂度为O(N)

实例8

// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{
    if (N < 3)
        return 1;

    return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}

实例8通过计算分析发现基本操作递归了2^N次，时间复杂度为O(2^N)

2、空间复杂度

2.1概念

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。 空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。 空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。 

2.2常见空间复杂度计算举例

实例1

// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end) //1
	{
		int exchange = 0; //2
		for (size_t i = 1; i < end; ++i) //3
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

实例1使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1)

实例2

// 计算Fibonacci的空间复杂度？
// 返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n)
{
    if (n == 0)
        return NULL;

    long long* fibArray = (long long*)malloc((n + 1) * sizeof(long long));
    fibArray[0] = 0;
    fibArray[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; ++i)
    {
        fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray[i - 2];
    }
    return fibArray;
}

实例2动态开辟了N个空间，空间复杂度为 O(N)

实例3

 // 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
	if (N == 0)
		return 1;
	return Fac(N - 1) * N;
}

实例3递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O(N)

 实例4

// 计算斐波那契递归Fib的空间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{
    if (N < 3)
        return 1;

    return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}

实例4空间复杂度为O(N)（空间归还了还可以重复利用）