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向量叉乘公式_三幅图形帮你记住施密特正交化公式

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向量叉乘公式_三幅图形帮你记住施密特正交化公式_第1张图片

| 欧 式 空 间 | 第 1 篇 文 章 |

作者： Daniel

向量叉乘公式_三幅图形帮你记住施密特正交化公式_第2张图片

施密特正交化公式在用正交矩阵化二次型为标准形中有重要的应用。学过的同学都反映这个公式不太好记。本文用三幅图形教你记忆这个公式。

施密特正交化的定义

在n为欧式空间中，利用一组线性无关的向量10233f4a460b2b082cdfce5e6c6fff65.png, 构造一组两两正交的单位向量组的过程叫做施密特正交化，它包括正交化和单位化两个步骤。

由于将一个向量化为单位向量很容易，只要除以它的长度即可，所以本文只谈正交化步骤。

三幅图形

一般的n维欧式空间中的施密特正交化公式与19772baeb4c81bcdea66a063d33f23b4.png中的公式有相同的形式，所以，可以用19772baeb4c81bcdea66a063d33f23b4.png中公式的几何意义来帮助记忆此公式。

向量叉乘公式_三幅图形帮你记住施密特正交化公式_第3张图片

如图1，将向量b4ca9df375c396d2a2fd82a7525f283d.png投影到向量d1fe9047c17122f936553ed503208c65.png上的投影向量 ，记为fb1ccb64821234c087ff0ad7f286b0b7.png, 其公式在“投影向量计算公式的推导”一文中有详细介绍，请参阅。请大家先记住下面这个投影向量公式：

3a579876404baed48321d50dce0b0597.png 这里5cafdc899fca3265a06fcc031e09e094.png表示这两个向量的内积，在19772baeb4c81bcdea66a063d33f23b4.png中就是点乘。

如图2，第一步：令a3ee62a1a2e48a9021631e8ac5712f25.png第二步：计算47bd3499a67598a6c1649c678bd8ffb9.png,使得e1fd36ddce1bd4b7858ad72d10b4e22b.png如图2， 取74886e6dcf0cc36627d1cdd021f4fd83.png, 将它投影到07a654bc06885c24eb4c5ca1a9e1b578.png得到投影向量cded66b43cf885ee8d724df41eed692a.png,即图中红色的水平向量，由图中的三角形法则知，03e156d9d053186415e2c6f30d65b58d.png，就是与07a654bc06885c24eb4c5ca1a9e1b578.png垂直的向量。于是,61c7f510a25f826aaad1676f48e59b8d.png

第三步：现在来求a29512ea2a4e66d02acdeb66b9f5e09c.png, 如图3， 将刚才求出的0ee06f2a6a03169ee59e3aa8451ee1db.png放在水平平面上，现在添加向量1a1cc855768251744bf962969acef32c.png，它必不在水平平面上。图3告诉我们，用1a1cc855768251744bf962969acef32c.png减去它分别向0ee06f2a6a03169ee59e3aa8451ee1db.png投影的投影向量得到8873591d67e733c2e9f8b39653224490.png 所以，9265f012afdc7722234287a6f4dc2886.png

类比这个结构，当我们得到两两正交的向量组ae45791f67820c91fa3567dee3622abf.png后，要求234a3613822585b04ad8c9130e3ff0d9.png，使得它与前面的各745ddc7b50027e1e6a089f74d2031791.png正交，只要添加向量6dba3bddf25cb79a4cbbdf5e1749f54e.png, 并用它减去它分别向ae45791f67820c91fa3567dee3622abf.png投影的投影向量 9e9c18ed0c206952d6f9157c1686b523.png 即得到234a3613822585b04ad8c9130e3ff0d9.png，所以，

fe4fb990074d0253a4e40f4a59331517.png本文公式采用【upub编辑器】,请关注【编辑之谈】公众号！

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588c400d7f55659792f4632159e46b23.png

  1.  投影向量计算公式的推导

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  6. 计算二次型的标准形的三种方法

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按字母分类： ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ其他