背包九讲之三（多重背包）

证明如下：

系数可取值
1,2,4,..2^(k-1)，n[i]-2^k+1， k是使得n[i]-2^k+1>=0的最大整数
前n项和为2^k-1,那么最后一项为 n[i]-2^k+1
这些系数之和为n[i],且0--n[i]间的每一个整数均可以用若干个系数的和表示
证明如下：
①先证明区间0..2^k-1, 我们有系数1,2,4...2^(k-1) 即k个数，第k个数的二进制的只有第k位为1
而区间0..2^k-1为二进制第0位到第k-1位是否取值为1的组合，都可以由上面的系数组合得到
②再证明区间2^k..n[i],我们与系数1,2,4,..2^(k-1)，n[i]-2^k+1
那么可以由上面的系数组和得到
n[i]-0,n[i]-1,n[i]-2,n[i]-3,n[i]-2^k+1,
那么只要证明n[i]-2^k+1 <2^k,即证明n[i]+1<2^(k+1)
假设n[i]+1>=2^(k+1)成立，即n[i]-2^(k+1)+1>=0成立，
与前面要求的k是使得n[i]-2^k+1>=0的最大整数矛盾，所以假设不成立。
综合①②，0--n[i]区间的每一个整数均可以用若干个系数的和表示

题目地址：http://poj.org/problem?id=1276

 1 /*

 2 有n件物品和一个容量为v的背包，第i种物品最多有n[i]件可用，

 3 每件费用是c[i],价值是w[i],求解将哪些物品放入背包

 4 使费用总和不超过背包容量且价值总和最大

 5 

 6 for(i=1; i<=n; ++i)

 7 for(j=0; j<=v; ++j)

 8 for(k=0; k*c[i]<=j; ++k)

 9     dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i-1][j-k*c[i]]+k*w[i]);

10 时间复杂度为O(V*∑n[i]);

11 另一种思想是二进制优化,时间复杂度为O(V*∑log(n[i]));

12 详见图片

13 */

14 #include <stdio.h>

15 #include <string.h>

16 int cash;

17 int n[11],dk[11];

18 int dp[1000000];

19 inline int max(const int &a, const int &b)

20 {

21     return a < b ? b : a;

22 }

23 void CompletePack(int cost)

24 {

25     for(int i=cost; i<=cash; ++i)

26         dp[i] = max(dp[i],dp[i-cost]+cost);

27 }

28 void ZeroOnePack(int cost)

29 {

30     for(int i=cash; i>=cost; --i)

31         dp[i] = max(dp[i],dp[i-cost]+cost);

32 }

33 void MultiplePack(int cnt, int cost)

34 {

35     if(cnt*cost >=cash)//如果第i种物品的费用总和超过背包容量，那么就是完全背包问题

36         CompletePack(cost);

37     else

38     {

39         int k = 1;//二进制拆分

40         while(k<cnt)//判断剩下的数字能不能够拆分为k

41         {

42             ZeroOnePack(cost*k);

43             cnt -=k;

44             k<<=1;

45         }

46         ZeroOnePack(cnt*cost);

47     }

48 }

49 int main()

50 {

51     int N,i,k,cnt,j;

52     while(scanf("%d%d",&cash,&N)!=EOF)

53     {

54         memset(dp,0,sizeof(dp));

55         for(i=1; i<=N; ++i)

56             scanf("%d%d",&n[i],&dk[i]);

57         for(i=1; i<=N; ++i)

58         {

59             MultiplePack(n[i],dk[i]);

60         }

61         printf("%d\n",dp[cash]);

62     }

63     return 0;

64 }

 O(VN)算法：待学习