深度学习之线性回归基本原理

线性回归的基本元素

为了解释线性回归，我们举一个实际的例子：我们希望根据房屋面积和房龄来估算房屋的价格。为了开发一个能预测房价的模型，我们需要收集真实的数据集。这个数据集称为训练数据集（training data set）。每行数据称为样本（sample），也可以成为数据点（data point）。我们把试图预测的内容称为标签或者目标（label/target）所依据的自变量（面积和年龄）称为特征（feature）或协变量（covariate）。

线性模型

线性假设：指目标可以表示为自变量的加权和，例如下面的公式：
price = w1x1+w2x2+…+b
其中w称为权重，b称为偏置，偏移量或者截距。

给定一个数据集，我们的目标是寻找模型的权重w和偏置b，使得根据模型做出的预测大体符合数据的真实价格。输出的预测值有输入特征通过线性模型的仿射变换决定，仿射变换由所选的权重和偏置确定。

而在机器学习时，我们通常使用高维数据集，当我们输入d个特征的时候，将预测结果y_hat记为：
y_hat = Wx+ b（W为权重即成为向量的转置，x也是向量对应于单个样本的特征）

损失函数

损失函数（loss function）能够量化目标的真实值和预测值之间的差距，通常我们会选择非负数作为损害时，且数值越小表示损失越小，当完美预测的时候损失为0.

回归问题最常用的损失函数就是平方误差函数，也就是
LOSS（i） = 1/2*(真实值（i）-预测值（i）)^2

而为了度量整个函数在数据集上的整体损失，我们需要对LOSS求和，取均值。也就是

LOSS = 1/n∑（（i从1到n）1/2(真实值（i）-预测值（i）)^2）

OK，现在我们有了模型，有了目标函数（损失函数），仅需要一个优化算法，就可以了，在回归问题中最常用的就是—随机梯度下降方法。

随机梯度下降

这种方法的好处在于，我们几乎可以把他运用到任何深度学习模型，尽管有时候不是很好用，但是几乎是全适用的。它通过不断地在损失函数递减的方向上更新参数来降低误差。

我们这里来好好理解一下梯度下降这一概念：

从导数到梯度

在我们都熟知的初中数学中，我们学习过了导数这一概念，例如F（x）=9x^2这一表达式，求导之后得到F‘（X）=18x，它在几何上的意义就是函数在某点的切线方向。

那么在多元函数上呢？
对于我们同样可以计算它的导数，也就是偏导数，当全部偏导构成一个向量的时候，我们就称其为梯度如下图所示：那么从数学角度出发，梯度方向就是函数增长最快的方向（这里参考梯度的定义就可知）。如果要计算函数的最小值，我们可以找到梯度的反方向，也就是梯度下降的方向来一步一步让函数朝着减小方向前进，直到那个方向都是梯度增加。

如下图所示：

但我们会产生一个疑问，如果我们的函数图像是一个多峰图，如图

当我们处于两峰之间的时候，那也可能走到四面都是梯度增加的“盆地”，但它可能不是最小值。

那盲生你就发现了华点，确实，梯度下降法得到的只能是局部最小值，也只能获得局部最优解，这也是其局限性，但如果损失函数是凸函数，那么我们一定会得到全局最优解，这里我们不再详述，只需记住在线性回归中梯度下降是可行的。

梯度下降

那么现在我们开始用文字来跑一下梯度下降法这一算法：

1. 首先，我们需要假设一些条件来保证后续的正常推进：

   我们假设我们的线性回归函数为：
   （其中x0为1，这样我们就有了偏置项。）
   而损失函数我们定义为：
   
   还有我们定义一个概念：步长或者称为学习率-α（learning
   rate）：这决定了在梯度下降过程中，每一次沿着梯度下降方向前进的长度，就如上面图像中的例子，步长就是当前沿着最快下降的位置走的那一步。
   最后，我们要找一个能够接受的值作为我们的终止值ε，当下降的距离小于这个值的时候，我们可以近似认为损失函数已经几乎不会减小，也就近似地完美，我们已经得到了最佳的参数组。

2. 算法过程：
   好，我们现在来跑一下算法。
   a. 首先重申我们的目标，要让损失函数也就是上面的J(θ0~θn)取值最小。
   所以我们取J的梯度
   b. 用我们的步长/学习率乘以损失函数的梯度，这样就能得到当前位置减少的距离，也就是
   c. 确定是否所有的θ的梯度下降的距离都小于ε，如果小于ε那么算法终止，否则进行下一步
   d. 更新所有的θ，更新的表达式如下：
   

其他问题

OK，至此，我们的理论部分介绍完成，你可能还有有以下疑问：

1. 我们该如何实现对参数的不断迭代更新呢？
2. 实际操作中，无数次遍历整个数据集真的能够达到要求么？甚至真的可行么？
   这几个问题将会在下一篇代码实现中详细介绍。