学习自旋电子学的笔记07：根据微磁学基本能量密度公式推导有效场

阅读说明：由于CSDN自带的Markdown编辑器目前对大篇幅KATEX公式的支持性不太好，导致文章内容有了字数限制，一旦超过字数限制，就不能正常保存和发布了。所以，我将笔记07的内容全部转换为了图片的形式，方便大家阅读！文末也有原始的.md文档，里面的公式使用的是KATEX格式，此外，若某些人没有合适的.md文档的阅读器，我也把本文打印了PDF版本，有需要的可以点击下载！

同理，可以根据结果的规律写出式子（2）的第二项：

$\frac{\partial }{\partial m_x}[[(m_x{u}_{2x}+m_y{u}_{2y}+m_z{u}_{2z})(m_x{u}_{3x}+m_y{u}_{3y}+m_z{u}_{3z}){]}^2]$

$=2[(m\cdot u_2)(m\cdot u_3{)}^2{u}_{2x}+(m\cdot u_2{)}^2(m\cdot u_3)u_{3x}]$

同理，可以根据结果的规律写出式子（2）的第三项：

$\frac{\partial }{\partial m_x}[[(m_x{u}_{3x}+m_y{u}_{3y}+m_z{u}_{3z})(m_x{u}_{1x}+m_y{u}_{1y}+m_z{u}_{1z}){]}^2]$

$=2[(m\cdot u_3)(m\cdot u_1{)}^2{u}_{3x}+(m\cdot u_3{)}^2(m\cdot u_1)u_{1x}]$

将以上三项带回式子（2）合并得到式子（2）的结果，即式子（1）的第一项：

$\frac{\partial }{\partial m_x}[-K_c[[(m\cdot u_1)(m\cdot u_2){]}^2+[(m\cdot u_2)(m\cdot u_3){]}^2+[(m\cdot u_3)(m\cdot u_1){]}^2]]\hat{x}$

$=-K_c($
$2[(m\cdot u_1)(m\cdot u_2{)}^2{u}_{1x}+(m\cdot u_1{)}^2(m\cdot u_2)u_{2x}]+$
$2[(m\cdot u_2)(m\cdot u_3{)}^2{u}_{2x}+(m\cdot u_2{)}^2(m\cdot u_3)u_{3x}]+$
$2[(m\cdot u_3)(m\cdot u_1{)}^2{u}_{3x}+(m\cdot u_3{)}^2(m\cdot u_1)u_{1x}]$
$)\hat{x}$

同理，可以根据第一项结果的规律写出式子（1）的第二项：

$\frac{\partial }{\partial m_y}[-K_c[[(m\cdot u_1)(m\cdot u_2){]}^2+[(m\cdot u_2)(m\cdot u_3){]}^2+[(m\cdot u_3)(m\cdot u_1){]}^2]]\hat{y}$

$=-K_c($
$2[(m\cdot u_1)(m\cdot u_2{)}^2{u}_{1y}+(m\cdot u_1{)}^2(m\cdot u_2)u_{2y}]+$
$2[(m\cdot u_2)(m\cdot u_3{)}^2{u}_{2y}+(m\cdot u_2{)}^2(m\cdot u_3)u_{3y}]+$
$2[(m\cdot u_3)(m\cdot u_1{)}^2{u}_{3y}+(m\cdot u_3{)}^2(m\cdot u_1)u_{1y}]$
$)\hat{y}$

同理，可以根据第一项结果的规律写出式子（1）的第三项：

$\frac{\partial }{\partial m_z}[-K_c[[(m\cdot u_1)(m\cdot u_2){]}^2+[(m\cdot u_2)(m\cdot u_3){]}^2+[(m\cdot u_3)(m\cdot u_1){]}^2]]\hat{z}$

$=-K_c($
$2[(m\cdot u_1)(m\cdot u_2{)}^2{u}_{1z}+(m\cdot u_1{)}^2(m\cdot u_2)u_{2z}]+$
$2[(m\cdot u_2)(m\cdot u_3{)}^2{u}_{2z}+(m\cdot u_2{)}^2(m\cdot u_3)u_{3z}]+$
$2[(m\cdot u_3)(m\cdot u_1{)}^2{u}_{3z}+(m\cdot u_3{)}^2(m\cdot u_1)u_{1z}]$
$)\hat{z}$

将以上三项带回式子（1）合并得到磁晶立方各向异性能的有效场： $H_{cubic}$：

$=\frac{-2K_c}{-u_0{M}_s}((m\cdot u_1)(m\cdot u_2{)}^2(u_{1x}\hat{x}+u_{1y}\hat{y}+u_{1z}\hat{z})+(m\cdot u_1{)}^2(m\cdot u_2)(u_{2x}\hat{x}+u_{2y}\hat{y}+u_{2z}\hat{z})$

$+(m\cdot u_2)(m\cdot u_3{)}^2(u_{2x}\hat{x}+u_{2y}\hat{y}+u_{2z}\hat{z})+(m\cdot u_2{)}^2(m\cdot u_3)(u_{3x}\hat{x}+u_{3y}\hat{y}+u_{3z}\hat{z})$

$+(m\cdot u_3)(m\cdot u_1{)}^2(u_{3x}\hat{x}+u_{3y}\hat{y}+u_{3z}\hat{z})+(m\cdot u_3{)}^2(m\cdot u_1)(u_{1x}\hat{x}+u_{1y}\hat{y}+u_{1z}\hat{z}))$

$=\frac{2K_c}{u_0{M}_s}((m\cdot u_1)(m\cdot u_2{)}^2{u}_1+(m\cdot u_1{)}^2(m\cdot u_2)u_2$

$+(m\cdot u_2)(m\cdot u_3{)}^2{u}_2+(m\cdot u_2{)}^2(m\cdot u_3)u_3$

$+(m\cdot u_3)(m\cdot u_1{)}^2{u}_2+(m\cdot u_3{)}^2(m\cdot u_1)u_1)$

$=\frac{2K_c}{u_0{M}_s}((m\cdot u_1)[(m\cdot u_2{)}^2+(m\cdot u_3{)}^2]u_1$
$+(m\cdot u_2)[(m\cdot u_3{)}^2+(m\cdot u_1{)}^2]u_2$
$+(m\cdot u_3)[(m\cdot u_1{)}^2+(m\cdot u_2{)}^2]u_3)$

---

总结

本文总结了微磁学中通过几个基本的能量密度公式推导出其有效场，内容核心就是求偏导，各种各样的偏导。至于微磁学中的其它公式推导，暂时还没学到皮毛，只有等以后再说了。

以下内容是原始的.md文档

@[TOC](文章目录)
<font color=#ff0000 >
雁来音信无凭，路遥归梦难成。李煜《清平乐别来春半》
font>



# 前言
在笔记06中为大家推荐了“ubermag”官网上的有关[微磁学公式的推导笔记](https://download.csdn.net/download/qq_43572058/86272578)，按照老辈人的说法，微磁学相关公式的推导应该在我们入门后两个月内学会，但并不是每一个人都有着基本的数学素养，有的人面对这些数学式子就是头晕，比如我，，，好在近期闲来无事想着动纸笔比划一下，遇到的一些陌生的名词，陌生的导数，卡住的推导步骤等都会去网上翻一翻，于是总归学会了一点三脚猫的功夫了。

本文的内容就是根据几个微磁学基本能量密度公式来推导其有效场，这几个微磁学基本能量包括：交换能，塞曼能，界面DMI能，体DMI能，单轴各向异性能，立方各向异性能。这几个能量的能量密度公式是已知的，利用有效场的公式：

$$\overrightarrow{H_{eff}}
=\frac{1}{{-u_{0}}{M_s}}\frac{\delta{E_{any}}}{\delta{\overrightarrow{m}}}
$$

即可推导出每一项能量对应的有效场。式中：$u_0，M_s$ 分别表示真空磁导率和材料的饱和磁化强度；$\overrightarrow{m}=\overrightarrow{m(\vec{r})}=\frac{\overrightarrow{M(\vec{r})}}{M_s}$ 表示单位磁化强度（矢量场）；$E_{any}$ 表示以上能量的能量密度（标量场）；符号 $\delta$ 表示变分算子。

这里涉及到“变分”这个概念，我自己目前也不是很明白，但从网上查了一些言论描述如下：
设 $F=F(y)，y=y(x)$，有所谓的 **函数的函数的导数** 表示为：
$$F^{\prime}_y=\frac{\delta{F}}{\delta{y}}$$
即
$$\frac{\delta{F}}{\delta{y}}=\frac{dF}{dy}或\frac{\partial{F}}{\partial{y}}$$

于是，有效场的式子变为了能量密度（标量场）对单位磁化强度（矢量）求偏导：

$$\overrightarrow{H_{eff}}
=\frac{1}{{-u_{0}}{M_s}}\frac{\partial{E_{any}}}{\partial{\overrightarrow{m}}}
$$

大家对这个式子都非常熟悉了，在大部分微磁学文章中，一般这个式子会出现在LLG方程的后面。不过，此处又出现了有难度的步骤，即标量场如何对矢量场求偏导呢？其实结合“梯度”的定义来看：
设有一个标量场 $\phi=\phi(x,y,z)$，一个矢量线元 $d\vec{l}$ ，则定义 $\phi$ 的梯度为：

$$grad\phi=\nabla{\phi}=\frac{d\phi}{d\vec{l}}=\frac{\partial{\phi}}{\partial{x}}\hat{x} + \frac{\partial{\phi}}{\partial{y}}\hat{y} + \frac{\partial{\phi}}{\partial{z}}\hat{z}$$

梯度是一个标量场对矢量求导，从而不难得到“有效场等于能量密度对单位磁化强度的梯度”这个结论，这句话也经常出现在许多毕业论文第二章的开头，此时我才明白其中的含义。
于是借助梯度的概念将有效场的式子展开：

$$\overrightarrow{H_{eff}}=\frac{1}{{-u_{0}}{M_s}}\nabla_{\vec{m}}{E_{any}}=\frac{1}{{-u_{0}}{M_s}}(\frac{\partial{E_{any}}}{\partial{m_x}}\hat{x} + \frac{\partial{E_{any}}}{\partial{m_y}}\hat{y} + \frac{\partial{E_{any}}}{\partial{m_z}}\hat{z})$$






# 一、塞曼能的有效场
已知塞曼能的能量密度公式：

$$E_{zeeman}={-u_{0}}{M_s}(\vec{m} \cdot \vec{H})$$ 

其中：$\vec{H}=\overrightarrow{H(\vec{r})}$ 为外加磁场（矢量场），单位 A/m。那么可以得到塞曼能的有效场： $\overrightarrow{H_{zeeman}}$

$=\frac{1}{{-u_{0}}{M_s}}\frac{\delta{E_{zeeman}}}{\delta{\overrightarrow{m}}}$

$=\frac{1}{{-u_{0}}{M_s}}\frac{\partial{E_{zeeman}}}{\partial{\overrightarrow{m}}}$

$=\frac{1}{{-u_{0}}{M_s}}(\frac{\partial{E_{zeeman}}}{\partial{m_x}}\hat{x} + \frac{\partial{E_{zeeman}}}{\partial{m_y}}\hat{y} + \frac{\partial{E_{zeeman}}}{\partial{m_z}}\hat{z})$

$=\frac{1}{{-u_{0}}{M_s}}[\frac{\partial{}}{\partial{m_x}}({-u_{0}}{M_s}(\vec{m} \cdot \vec{H})) \hat{x} + \frac{\partial{}}{\partial{m_y}}({-u_{0}}{M_s}(\vec{m} \cdot \vec{H})) \hat{y} + \frac{\partial{}}{\partial{m_z}}({-u_{0}}{M_s}(\vec{m} \cdot \vec{H})) \hat{z})]$

$=\frac{\partial{}}{\partial{m_x}}(\vec{m} \cdot \vec{H}) \hat{x} + \frac{\partial{}}{\partial{m_y}}(\vec{m} \cdot \vec{H}) \hat{y} + \frac{\partial{}}{\partial{m_z}}(\vec{m} \cdot \vec{H}) \hat{z}$	***********************************************(式子 1）

其中 $\vec{m}$ 和 $\vec{H}$ 的点乘： $\vec{m} \cdot \vec{H} = m_xH_x + m_yH_y + m_zH_z$

带回式子（1）的第一项：

$\frac{\partial{}}{\partial{m_x}}(\vec{m} \cdot \vec{H}) \hat{x}$

$=\frac{\partial{}}{\partial{m_x}}(m_xH_x + m_yH_y + m_zH_z) \hat{x}$

$=H_x \hat{x}$

同理，式子（1）的第二项：

$\frac{\partial{}}{\partial{m_y}}(\vec{m} \cdot \vec{H}) \hat{y}$

$=\frac{\partial{}}{\partial{m_y}}(m_xH_x + m_yH_y + m_zH_z) \hat{y}$

$=H_y \hat{y}$

同理，式子（1）的第三项：

$\frac{\partial{}}{\partial{m_z}}(\vec{m} \cdot \vec{H}) \hat{z}$

$=\frac{\partial{}}{\partial{m_z}}(m_xH_x + m_yH_y + m_zH_z) \hat{z}$

$=H_z \hat{z}$

最后合并这三项，式子（1）的结果为：

$\frac{\partial{}}{\partial{m_x}}(\vec{m} \cdot \vec{H}) \hat{x} + \frac{\partial{}}{\partial{m_y}}(\vec{m} \cdot \vec{H}) \hat{y} + \frac{\partial{}}{\partial{m_z}}(\vec{m} \cdot \vec{H}) \hat{z}$

$=H_x \hat{x} + H_y \hat{y} + H_z \hat{z}$

$=\vec{H}$

这个推导结果表示塞曼能的有效场： $\overrightarrow{H_{zeeman}}$ 就等于外加磁场 $\vec{H}$。

而且由塞曼能的能量密度表达式可知，若已知任意微磁能量的有效场 $\overrightarrow{H^{any}_{eff}}$ 的情况下，那么它对应的能量密度表达式即为：

$$E_{any}={-u_{0}}{M_s}(\vec{m} \cdot \overrightarrow{H^{any}_{eff}})$$


# 二、交换能的有效场
已知交换能的能量密度公式： 

$$E_{ex}=A[\vec{m} \cdot (\nabla^2{\vec{m}})] =A[(\nabla{m_x})^2 + (\nabla{m_y})^2 + (\nabla{m_z})^2]$$ 

其中 $A$ 表示交换作用强度，单位 J/m，式中 $\nabla^2$ 是拉普拉斯算子，可以直接作用在标量场或者矢量场，此处作用在矢量场 $\vec{m}$ ，表示： $\nabla^2{\vec{m}}=\frac{\partial^2{m_{x}}}{\partial{x^2}}\hat{x} + \frac{\partial^2{m_{y}}}{\partial{y^2}}\hat{y} + \frac{\partial^2{m_{z}}}{\partial{z^2}}\hat{z}$ 。

交换能的能量密度公式还有一个简单的，特殊的“写法： $E_{ex}=A(\nabla{\vec{m}})^2$ ，之所以特殊，是因为我们都知道矢量微分算子 $\nabla$ 只能直接作用在标量场，而不能直接与矢量场结合（即只能通过点乘或叉乘的方式来与矢量场结合），同时这种简单的写法在许多文章中也是最流行的。

那么可以得到交换能的有效场：$\overrightarrow{H_{ex}}$

$=\frac{1}{{-u_{0}}{M_s}}\frac{\delta{E_{ex}}}{\delta{\overrightarrow{m}}}$

$=\frac{1}{{-u_{0}}{M_s}}\frac{\partial{E_{ex}}}{\partial{\overrightarrow{m}}}$

$=\frac{1}{{-u_{0}}{M_s}}(\frac{\partial{E_{ex}}}{\partial{m_x}}\hat{x} + \frac{\partial{E_{ex}}}{\partial{m_y}}\hat{y} + \frac{\partial{E_{ex}}}{\partial{m_z}}\hat{z})$

$=\frac{1}{{-u_{0}}{M_s}}[\frac{\partial{}}{\partial{m_x}}(A[(\nabla{m_x})^2 + (\nabla{m_y})^2 + (\nabla{m_z})^2])\hat{x}  + \frac{\partial{}}{\partial{m_y}}(A[(\nabla{m_x})^2 + (\nabla{m_y})^2 + (\nabla{m_z})^2])\hat{y} + \frac{\partial{}}{\partial{m_z}}(A[(\nabla{m_z})^2 + (\nabla{m_y})^2 + (\nabla{m_z})^2])\hat{z}]$  ***********************************************(式子 1)

其中式子（1）的第一项： $\frac{\partial{}}{\partial{m_x}}(A[(\nabla{m_x})^2 + (\nabla{m_y})^2 + (\nabla{m_z})^2])$  ***********************************************(式子 2）
 
式子（2）里面的 $(\nabla{m_x})^2$

$=(\frac{\partial{m_{x}}}{\partial{x}}\hat{x} + \frac{\partial{m_{x}}}{\partial{y}}\hat{y} + \frac{\partial{m_{x}}}{\partial{z}}\hat{z})^2$

$=(\frac{\partial{m_{x}}}{\partial{x}})^2 + (\frac{\partial{m_{x}}}{\partial{y}})^2+ (\frac{\partial{m_{x}}}{\partial{z}})^2$

式子（2）里面的 $(\nabla{m_y})^2$

$=(\frac{\partial{m_{y}}}{\partial{x}}\hat{x} + \frac{\partial{m_{y}}}{\partial{y}}\hat{y} + \frac{\partial{m_{y}}}{\partial{z}}\hat{z})^2$

$=(\frac{\partial{m_{y}}}{\partial{x}})^2 + (\frac{\partial{m_{y}}}{\partial{y}})^2+ (\frac{\partial{m_{z}}}{\partial{z}})^2$

式子（2）里面的 $(\nabla{m_z})^2$

$=(\frac{\partial{m_{z}}}{\partial{x}}\hat{x} + \frac{\partial{m_{z}}}{\partial{y}}\hat{y} + \frac{\partial{m_{z}}}{\partial{z}}\hat{z})^2$

$=(\frac{\partial{m_{z}}}{\partial{x}})^2 + (\frac{\partial{m_{z}}}{\partial{y}})^2+ (\frac{\partial{m_{z}}}{\partial{z}})^2$

从三个式子的展开结果来看，显然， $(\nabla{m_x})^2$ 与变量 $m_x$ 有关，与 $m_y$ 和 $m_z$ 无关； $(\nabla{m_y})^2$ 与变量 $m_y$ 有关，与 $m_x$ 和 $m_z$ 无关； $(\nabla{m_z})^2$ 与变量 $m_z$ 有关，与 $m_x$ 和 $m_y$ 无关。

于是从式子（2）可以得到：$\frac{\partial{}}{\partial{m_x}}(A[(\nabla{m_x})^2 + (\nabla{m_y})^2 + (\nabla{m_z})^2])$

$=\frac{\partial{}}{\partial{m_x}}(A(\nabla{m_x})^2) + 0 +0$

$=A \frac{\partial{}}{\partial{m_x}}(\nabla{m_x})^2$

$=A \frac{\partial{}}{\partial{m_x}} [(\frac{\partial{m_{x}}}{\partial{x}})^2 + (\frac{\partial{m_{x}}}{\partial{y}})^2+ (\frac{\partial{m_{x}}}{\partial{z}})^2]$ ***********************************************(式子 3）

式子（3）中 $\frac{\partial{}}{\partial{m_x}} [(\frac{\partial{m_{x}}}{\partial{x}})^2]$

$=2\frac{\partial{m_{x}}}{\partial{x}} \frac{\partial{}}{\partial{m_x}} (\frac{\partial{m_{x}}}{\partial{x}})$

$=2\frac{\partial{m_{x}}}{\partial{x}} \frac{\partial{}}{\cancel{\partial{m_x}}} (\frac{\cancel{\partial{m_x}}}{\partial{x}})$

$=2\frac{\partial{m_{x}}}{\partial{x}} \frac{\partial{}}{\partial{x}}$

式子（3）中 $\frac{\partial{}}{\partial{m_x}} [(\frac{\partial{m_{x}}}{\partial{y}})^2]$

$=2\frac{\partial{m_{x}}}{\partial{y}} \frac{\partial{}}{\partial{m_x}} (\frac{\partial{m_{x}}}{\partial{y}})$

$=2\frac{\partial{m_{x}}}{\partial{y}} \frac{\partial{}}{\cancel{\partial{m_x}}} (\frac{\cancel{\partial{m_x}}}{\partial{y}})$

$=2\frac{\partial{m_{x}}}{\partial{y}} \frac{\partial{}}{\partial{y}}$

式子（3）中 $\frac{\partial{}}{\partial{m_x}} [(\frac{\partial{m_{x}}}{\partial{z}})^2]$

$=2\frac{\partial{m_{x}}}{\partial{z}} \frac{\partial{}}{\partial{m_x}} (\frac{\partial{m_{x}}}{\partial{z}})$

$=2\frac{\partial{m_{x}}}{\partial{z}} \frac{\partial{}}{\cancel{\partial{m_x}}} (\frac{\cancel{\partial{m_x}}}{\partial{z}})$

$=2\frac{\partial{m_{x}}}{\partial{z}} \frac{\partial{}}{\partial{z}}$

将式子（3）的结果带回式子（2）得到：$\frac{\partial{}}{\partial{m_x}}(A[(\nabla{m_x})^2 + (\nabla{m_y})^2 + (\nabla{m_z})^2])$ 

$=A \frac{\partial{}}{\partial{m_x}} [(\frac{\partial{m_{x}}}{\partial{x}})^2 + (\frac{\partial{m_{x}}}{\partial{y}})^2+ (\frac{\partial{m_{x}}}{\partial{z}})^2]$

$=A[2\frac{\partial{m_{x}}}{\partial{x}} \frac{\partial{}}{\partial{x}} + 2\frac{\partial{m_{x}}}{\partial{y}} \frac{\partial{}}{\partial{y}} + 2\frac{\partial{m_{x}}}{\partial{z}} \frac{\partial{}}{\partial{z}}]$

$=2A \nabla{} \cdot \nabla{m_x}$

$=2A \nabla^2{m_x}$

同理，式子（1）的第二项：$\frac{\partial{}}{\partial{m_y}}(A[(\nabla{m_x})^2 + (\nabla{m_y})^2 + (\nabla{m_z})^2])$

$=A \frac{\partial{}}{\partial{m_y}} [(\frac{\partial{m_{y}}}{\partial{x}})^2 + (\frac{\partial{m_{y}}}{\partial{y}})^2+ (\frac{\partial{m_{y}}}{\partial{z}})^2]$

$=2A \nabla^2{m_y}$

同理，式子（1）的第三项： $\frac{\partial{}}{\partial{m_z}}(A[(\nabla{m_x})^2 + (\nabla{m_y})^2 + (\nabla{m_z})^2])$

$=A \frac{\partial{}}{\partial{m_z}} [(\frac{\partial{m_{z}}}{\partial{x}})^2 + (\frac{\partial{m_{z}}}{\partial{y}})^2+ (\frac{\partial{m_{z}}}{\partial{z}})^2]$

$=2A \nabla^2{m_z}$

将以上三项带回式子（1）合并得到交换能的有效场：$\overrightarrow{H_{ex}}$

$=\frac{1}{{-u_{0}}{M_s}}[\frac{\partial{}}{\partial{m_x}}(A[(\nabla{m_x})^2 + (\nabla{m_y})^2 + (\nabla{m_z})^2])\hat{x}  + \frac{\partial{}}{\partial{m_y}}(A[(\nabla{m_x})^2 + (\nabla{m_y})^2 + (\nabla{m_z})^2])\hat{y} + \frac{\partial{}}{\partial{m_x}}(A[(\nabla{m_z})^2 + (\nabla{m_y})^2 + (\nabla{m_z})^2])\hat{z}]$

$=\frac{2A}{{-u_{0}}{M_s}} ( \nabla^2{m_x}\hat{x} + \nabla^2{m_y}\hat{y} + \nabla^2{m_z}\hat{z})$

$=\frac{2A}{{-u_{0}}{M_s}}  \nabla^2{\vec{m}}$

# 三、界面DMI能的有效场
已知界面DMI能的能量密度公式： 

$$E^{inter}_{DMI}=D(\vec{m} \cdot \nabla{m_z} - m_z \nabla  \cdot \vec{m})
=D(m_x \frac{\partial{m_z}}{\partial{x}} - m_z \frac{\partial{m_x}}{\partial{x}} + m_y \frac{\partial{m_z}}{\partial{y}} - m_z \frac{\partial{m_y}}{\partial{y}})$$ 

其中 $D$ 是界面DMI强度，单位 $J/m^2$。那么可以得到界面DMI能的有效场： $\overrightarrow{H^{inter}_{DMI}}$

$=\frac{1}{{-u_{0}}{M_s}}\frac{\delta{E^{inter}_{DMI}}}{\delta{\overrightarrow{m}}}$

$=\frac{1}{{-u_{0}}{M_s}}\frac{\partial{E^{inter}_{DMI}}}{\partial{\overrightarrow{m}}}$

$=\frac{1}{{-u_{0}}{M_s}}(\frac{\partial{E^{inter}_{DMI}}}{\partial{m_x}}\hat{x} + \frac{\partial{E^{inter}_{DMI}}}{\partial{m_y}}\hat{y} + \frac{\partial{E^{inter}_{DMI}}}{\partial{m_z}}\hat{z})$ 

$=\frac{1}{{-u_{0}}{M_s}}(\frac{\partial{}}{\partial{m_x}}(D(m_x \frac{\partial{m_z}}{\partial{x}} - m_z \frac{\partial{m_x}}{\partial{x}} + m_y \frac{\partial{m_z}}{\partial{y}} - m_z \frac{\partial{m_y}}{\partial{y}}))\hat{x} + \frac{\partial{}}{\partial{m_y}}(D(m_x \frac{\partial{m_z}}{\partial{x}} - m_z \frac{\partial{m_x}}{\partial{x}} + m_y \frac{\partial{m_z}}{\partial{y}} - m_z \frac{\partial{m_y}}{\partial{y}}))\hat{y} + \frac{\partial{}}{\partial{m_z}}(D(m_x \frac{\partial{m_z}}{\partial{x}} - m_z \frac{\partial{m_x}}{\partial{x}} + m_y \frac{\partial{m_z}}{\partial{y}} - m_z \frac{\partial{m_y}}{\partial{y}}))\hat{z})$ ***********************************************(式子 1)

其中式子（1）的第一项： $\frac{\partial{}}{\partial{m_x}}(D(m_x \frac{\partial{m_z}}{\partial{x}} - m_z \frac{\partial{m_x}}{\partial{x}} + m_y \frac{\partial{m_z}}{\partial{y}} - m_z \frac{\partial{m_y}}{\partial{y}}))$  

$=D[\frac{\partial{}}{\partial{m_x}}(m_x \frac{\partial{m_z}}{\partial{x}} )
-\frac{\partial{}}{\partial{m_x}}(m_z \frac{\partial{m_x}}{\partial{x}})
+\frac{\partial{}}{\partial{m_x}}(m_y \frac{\partial{m_z}}{\partial{y}})
-\frac{\partial{}}{\partial{m_x}}(m_z \frac{\partial{m_y}}{\partial{y}})$

$=D[\frac{\partial{m_z}}{\partial{x}}
-m_z \frac{\partial{}}{\partial{x}}
+0
-0]$

$=D[\frac{\partial{m_z}}{\partial{x}}
-m_z \frac{\partial{}}{\partial{x}}]$

其中式子（1）的第二项： $\frac{\partial{}}{\partial{m_y}}(D(m_x \frac{\partial{m_z}}{\partial{x}} - m_z \frac{\partial{m_x}}{\partial{x}} + m_y \frac{\partial{m_z}}{\partial{y}} - m_z \frac{\partial{m_y}}{\partial{y}}))$  

$=D[\frac{\partial{}}{\partial{m_y}}(m_x \frac{\partial{m_z}}{\partial{x}} )
-\frac{\partial{}}{\partial{m_y}}(m_z \frac{\partial{m_x}}{\partial{x}})
+\frac{\partial{}}{\partial{m_y}}(m_y \frac{\partial{m_z}}{\partial{y}})
-\frac{\partial{}}{\partial{m_y}}(m_z \frac{\partial{m_y}}{\partial{y}})$

$=D[0 - 0 +
\frac{\partial{m_z}}{\partial{y}}
-m_z \frac{\partial{}}{\partial{y}}]$

$=D[\frac{\partial{m_z}}{\partial{y}}
-m_z \frac{\partial{}}{\partial{y}}]$

其中式子（1）的第三项： $\frac{\partial{}}{\partial{m_z}}(D(m_x \frac{\partial{m_z}}{\partial{x}} - m_z \frac{\partial{m_x}}{\partial{x}} + m_y \frac{\partial{m_z}}{\partial{y}} - m_z \frac{\partial{m_y}}{\partial{y}}))$  

$=D[\frac{\partial{}}{\partial{m_z}}(m_x \frac{\partial{m_z}}{\partial{x}} )
-\frac{\partial{}}{\partial{m_z}}(m_z \frac{\partial{m_x}}{\partial{x}})
+\frac{\partial{}}{\partial{m_z}}(m_y \frac{\partial{m_z}}{\partial{y}})
-\frac{\partial{}}{\partial{m_z}}(m_z \frac{\partial{m_y}}{\partial{y}})$

$=D[m_x\frac{\partial{}}{\partial{x}}
-\frac{\partial{m_x}}{\partial{x}}
+m_y\frac{\partial{}}{\partial{y}}
-\frac{\partial{m_y}}{\partial{y}}]$

将以上三项带回式子（1）合并得到界面DMI能的有效场： $\overrightarrow{H^{inter}_{DMI}}$

$=\frac{1}{{-u_{0}}{M_s}}
[D[\frac{\partial{m_z}}{\partial{x}}
-m_z \frac{\partial{}}{\partial{x}}]\hat{x}
+D[\frac{\partial{m_z}}{\partial{y}}
-m_z \frac{\partial{}}{\partial{y}}]\hat{y}
+D[m_x\frac{\partial{}}{\partial{x}}
-\frac{\partial{m_x}}{\partial{x}}
+m_y\frac{\partial{}}{\partial{y}}
-\frac{\partial{m_y}}{\partial{y}}]\hat{z}]$

$=\frac{D}{{-u_{0}}{M_s}}
[(\frac{\partial{m_z}}{\partial{x}}\hat{x}
-m_z \frac{\partial{\hat{x}}}{\partial{x}})
+(\frac{\partial{m_z}}{\partial{y}}\hat{y}
-m_z \frac{\partial{\hat{y}}}{\partial{y}})
+(m_x\frac{\partial{\hat{z}}}{\partial{x}}
-\frac{\partial{m_x}}{\partial{x}}\hat{z}
+m_y\frac{\partial{\hat{z}}}{\partial{y}}
-\frac{\partial{m_y}}{\partial{y}}\hat{z})]$

$=\frac{D}{{-u_{0}}{M_s}}
[(\frac{\partial{m_z}}{\partial{x}}\hat{x}
-m_z \cdot 0)
+(\frac{\partial{m_z}}{\partial{y}}\hat{y}
-m_z \cdot 0)
+(m_x \cdot 0
-\frac{\partial{m_x}}{\partial{x}}\hat{z}
+m_y \cdot 0
-\frac{\partial{m_y}}{\partial{y}}\hat{z})]$ ********************************（$\hat{x}，\hat{y}，\hat{z}$ 都是（方向）常矢量，它们的偏导数为0）

$=\frac{D}{{-u_{0}}{M_s}}
(\frac{\partial{m_z}}{\partial{x}}\hat{x}
+\frac{\partial{m_z}}{\partial{y}}\hat{y}
-\frac{\partial{m_x}}{\partial{x}}\hat{z}
-\frac{\partial{m_y}}{\partial{y}}\hat{z})$

$=\frac{D}{{u_{0}}{M_s}}[(\nabla \cdot \vec{m})\hat{z} - \nabla{m_z}]$


# 四、体DMI能的有效场

已知体DMI能的能量密度公式： 

$$
E^{bulk}_{DMI}=D[\vec{m} \cdot (\nabla  \times \vec{m})]
$$ 

首先展开 $\vec{m}$ 的旋度 $\nabla  \times \vec{m}$ 

$=\begin{vmatrix}
   \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\
   \frac{\partial{}}{\partial{x}} & \frac{\partial{}}{\partial{y}} & \frac{\partial{}}{\partial{z}} \\
   m_x & m_y & m_z
\end{vmatrix}$

$=(\frac{\partial{m_z}}{\partial{y}} - \frac{\partial{m_y}}{\partial{z}}, \frac{\partial{m_x}}{\partial{z}} - \frac{\partial{m_z}}{\partial{x}}, \frac{\partial{m_y}}{\partial{x}} - \frac{\partial{m_x}}{\partial{y}})$

带回原式得到：
$$
E^{bulk}_{DMI}=D[\vec{m} \cdot (\nabla  \times \vec{m})]
=D[(m_x,m_y,m_z) \cdot
(\frac{\partial{m_z}}{\partial{y}} - \frac{\partial{m_y}}{\partial{z}}, \frac{\partial{m_x}}{\partial{z}} - \frac{\partial{m_z}}{\partial{x}}, \frac{\partial{m_y}}{\partial{x}} - \frac{\partial{m_x}}{\partial{y}})]
$$ 

$$ 
=D[m_x(\frac{\partial{m_z}}{\partial{y}} - \frac{\partial{m_y}}{\partial{z}})
+m_y(\frac{\partial{m_x}}{\partial{z}} - \frac{\partial{m_z}}{\partial{x}})
+m_z(\frac{\partial{m_y}}{\partial{x}} - \frac{\partial{m_x}}{\partial{y}})]
$$ 

其中 $D$ 是体DMI强度，单位 $J/m^2$（注意：==**体DMI和界面DMI单位相同**==）。那么可以得到体DMI能的有效场： $\overrightarrow{H^{bulk}_{DMI}}$

$=\frac{1}{{-u_{0}}{M_s}}\frac{\delta{E^{bulk}_{DMI}}}{\delta{\overrightarrow{m}}}$

$=\frac{1}{{-u_{0}}{M_s}}\frac{\partial{E^{bulk}_{DMI}}}{\partial{\overrightarrow{m}}}$

$=\frac{1}{{-u_{0}}{M_s}}(\frac{\partial{E^{bulk}_{DMI}}}{\partial{m_x}}\hat{x} + \frac{\partial{E^{bulk}_{DMI}}}{\partial{m_y}}\hat{y} + \frac{\partial{E^{bulk}_{DMI}}}{\partial{m_z}}\hat{z})$ 

$=\frac{1}{{-u_{0}}{M_s}}\Bigg(
\frac{\partial{}}{\partial{m_x}}[D(m_x(\frac{\partial{m_z}}{\partial{y}} - \frac{\partial{m_y}}{\partial{z}})+m_y(\frac{\partial{m_x}}{\partial{z}} - \frac{\partial{m_z}}{\partial{x}})+m_z(\frac{\partial{m_y}}{\partial{x}} - \frac{\partial{m_x}}{\partial{y}})]\hat{x}
+\frac{\partial{}}{\partial{m_y}}[D(m_x(\frac{\partial{m_z}}{\partial{y}} - \frac{\partial{m_y}}{\partial{z}})+m_y(\frac{\partial{m_x}}{\partial{z}} - \frac{\partial{m_z}}{\partial{x}})+m_z(\frac{\partial{m_y}}{\partial{x}} - \frac{\partial{m_x}}{\partial{y}})]\hat{y}
+\frac{\partial{}}{\partial{m_z}}[D(m_x(\frac{\partial{m_z}}{\partial{y}} - \frac{\partial{m_y}}{\partial{z}})+m_y(\frac{\partial{m_x}}{\partial{z}} - \frac{\partial{m_z}}{\partial{x}})+m_z(\frac{\partial{m_y}}{\partial{x}} - \frac{\partial{m_x}}{\partial{y}})]\hat{z}\Bigg)$ ***********************************************(式子 1)

其中式子（1）的第一项： $\frac{\partial{}}{\partial{m_x}}[D(m_x(\frac{\partial{m_z}}{\partial{y}} - \frac{\partial{m_y}}{\partial{z}})+m_y(\frac{\partial{m_x}}{\partial{z}} - \frac{\partial{m_z}}{\partial{x}})+m_z(\frac{\partial{m_y}}{\partial{x}} - \frac{\partial{m_x}}{\partial{y}})]$ 

$=D[(\frac{\partial{m_z}}{\partial{y}} - \frac{\partial{m_y}}{\partial{z}})+m_y(\frac{\partial{}}{\partial{z}} - 0) +m_z(0- \frac{\partial{}}{\partial{y}})]$ 

$=D(\frac{\partial{m_z}}{\partial{y}} - \frac{\partial{m_y}}{\partial{z}}+m_y\frac{\partial{}}{\partial{z}} - m_z \frac{\partial{}}{\partial{y}})$ 

其中式子（1）的第二项： $\frac{\partial{}}{\partial{m_y}}[D(m_x(\frac{\partial{m_z}}{\partial{y}} - \frac{\partial{m_y}}{\partial{z}})+m_y(\frac{\partial{m_x}}{\partial{z}} - \frac{\partial{m_z}}{\partial{x}})+m_z(\frac{\partial{m_y}}{\partial{x}} - \frac{\partial{m_x}}{\partial{y}})]$ 

$=D[m_x (0 - \frac{\partial{}}{\partial{z}})+(\frac{\partial{m_x}}{\partial{z}} - \frac{\partial{m_z}}{\partial{x}}) +m_z(\frac{\partial{}}{\partial{x}}-0)]$ 

$=D(-m_x \frac{\partial{}}{\partial{z}} + \frac{\partial{m_x}}{\partial{z}} - \frac{\partial{m_z}}{\partial{x}} + m_z \frac{\partial{}}{\partial{x}})$ 

其中式子（1）的第三项： $\frac{\partial{}}{\partial{m_z}}[D(m_x(\frac{\partial{m_z}}{\partial{y}} - \frac{\partial{m_y}}{\partial{z}})+m_y(\frac{\partial{m_x}}{\partial{z}} - \frac{\partial{m_z}}{\partial{x}})+m_z(\frac{\partial{m_y}}{\partial{x}} - \frac{\partial{m_x}}{\partial{y}})]$ 

$=D[m_x(\frac{\partial{}}{\partial{y}} - 0)+m_y(0 - \frac{\partial{}}{\partial{x}}) +(\frac{\partial{m_y}}{\partial{x}}- \frac{\partial{m_x}}{\partial{y}})]$ 

$=D(m_x\frac{\partial{}}{\partial{y}} - m_y\frac{\partial{}}{\partial{x}}+\frac{\partial{m_y}}{\partial{x}} - \frac{\partial{m_x}}{\partial{y}})$ 

将以上三项带回式子（1）合并得到体DMI能的有效场： $\overrightarrow{H^{bulk}_{DMI}}$

$=\frac{1}{{-u_{0}}{M_s}}\Bigg(
D(\frac{\partial{m_z}}{\partial{y}} - \frac{\partial{m_y}}{\partial{z}}+m_y\frac{\partial{}}{\partial{z}} - m_z \frac{\partial{}}{\partial{y}})\hat{x}
+D(-m_x \frac{\partial{}}{\partial{z}} + \frac{\partial{m_x}}{\partial{z}} - \frac{\partial{m_z}}{\partial{x}} + m_z \frac{\partial{}}{\partial{x}})\hat{y}
+D(m_x\frac{\partial{}}{\partial{y}} - m_y\frac{\partial{}}{\partial{x}}+\frac{\partial{m_y}}{\partial{x}} - \frac{\partial{m_x}}{\partial{y}})\hat{z}\Bigg)$

$=\frac{D}{{-u_{0}}{M_s}}\Bigg(
(\frac{\partial{m_z}}{\partial{y}}\hat{x} - \frac{\partial{m_y}}{\partial{z}}\hat{x}+m_y\frac{\partial{\hat{x}}}{\partial{z}} - m_z \frac{\partial{\hat{x}}}{\partial{y}})
+(-m_x \frac{\partial{\hat{y}}}{\partial{z}} + \frac{\partial{m_x}}{\partial{z}}\hat{y} - \frac{\partial{m_z}}{\partial{x}}\hat{y} + m_z \frac{\partial{\hat{y}}}{\partial{x}})
+(m_x\frac{\partial{\hat{z}}}{\partial{y}} - m_y\frac{\partial{\hat{z}}}{\partial{x}}+\frac{\partial{m_y}}{\partial{x}}\hat{z} - \frac{\partial{m_x}}{\partial{y}}\hat{z})\Bigg)$ ********************************（$\hat{x}，\hat{y}，\hat{z}$ 都是（方向）常矢量，它们的偏导数为0）

$=\frac{D}{{-u_{0}}{M_s}}\Bigg(
(\frac{\partial{m_z}}{\partial{y}}\hat{x} - \frac{\partial{m_y}}{\partial{z}}\hat{x}+ 0 - 0)
+(- 0+ \frac{\partial{m_x}}{\partial{z}}\hat{y} - \frac{\partial{m_z}}{\partial{x}}\hat{y} + 0)
+(0 - 0+\frac{\partial{m_y}}{\partial{x}}\hat{z} - \frac{\partial{m_x}}{\partial{y}}\hat{z})\Bigg)$

$=\frac{D}{{-u_{0}}{M_s}}[
(\frac{\partial{m_z}}{\partial{y}} - \frac{\partial{m_y}}{\partial{z}})\hat{x}
+(\frac{\partial{m_x}}{\partial{z}} - \frac{\partial{m_z}}{\partial{x}})\hat{y}
+(\frac{\partial{m_y}}{\partial{x}}\hat{z} - \frac{\partial{m_x}}{\partial{y}})\hat{z}]$

$=\frac{D}{{-u_{0}}{M_s}}(\nabla  \times \vec{m})$ 


# 五、磁晶单轴各向异性能的有效场

已知磁晶单轴各向异性能的能量密度公式： 

$$
E_{uniaxial}=-K_u (\vec{m} \cdot \vec{u})^2 或 E_{uniaxial}=-K_1 (\vec{m} \cdot \vec{u})^2 -K_2 (\vec{m} \cdot \vec{u})^2 （高阶形式）
$$ 

其中 $\vec{u}$ 是磁晶易轴方向（单位矢量）， $K_u$ 是磁晶单轴各向异性常数，单位 $J/m^3$。那么可以得到磁晶单轴各向异性能的有效场： $\overrightarrow{H_{uniaxial}}$

$=\frac{1}{{-u_{0}}{M_s}}\frac{\delta{E_{uniaxial}}}{\delta{\overrightarrow{m}}}$

$=\frac{1}{{-u_{0}}{M_s}}\frac{\partial{E_{uniaxial}}}{\partial{\overrightarrow{m}}}$

$=\frac{1}{{-u_{0}}{M_s}}(\frac{\partial{E_{uniaxial}}}{\partial{m_x}}\hat{x} + \frac{\partial{E_{uniaxial}}}{\partial{m_y}}\hat{y} + \frac{\partial{E_{uniaxial}}}{\partial{m_z}}\hat{z})$

此处和推导塞曼能的有效场的步骤相同，将 $(\vec{m} \cdot \vec{u})$ 展开为 $m_x u_x+m_y u_y+m_z u_z$ 方便我们求导，带回上式：

$=\frac{1}{{-u_{0}}{M_s}}\Bigg(\frac{\partial{}}{\partial{m_x}}[-K_u(m_x u_x+m_y u_y+m_z u_z)^2]\hat{x}
+\frac{\partial{}}{\partial{m_y}}[-K_u(m_x u_x+m_y u_y+m_z u_z)^2]\hat{y}
+\frac{\partial{}}{\partial{m_z}}[-K_u(m_x u_x+m_y u_y+m_z u_z)^2]\hat{z}\Bigg)$ ***********************************************(式子 1)

其中式子（1）的第一项： $\frac{\partial{}}{\partial{m_x}}[-K_u(m_x u_x+m_y u_y+m_z u_z)^2]$

$=-2K_u[(m_x u_x+m_y u_y+m_z u_z)][u_x + 0 + 0]$

$=-2K_u(\vec{m} \cdot \vec{u}) u_x$

其中式子（1）的第二项： $\frac{\partial{}}{\partial{m_y}}[-K_u(m_x u_x+m_y u_y+m_z u_z)^2]$

$=-2K_u[(m_x u_x+m_y u_y+m_z u_z)][0 + u_y + 0]$

$=-2K_u(\vec{m} \cdot \vec{u}) u_y$

其中式子（1）的第三项： $\frac{\partial{}}{\partial{m_z}}[-K_u(m_x u_x+m_y u_y+m_z u_z)^2]$

$=-2K_u[(m_x u_x+m_y u_y+m_z u_z)][0 + 0 + u_z]$

$=-2K_u(\vec{m} \cdot \vec{u}) u_z$

将以上三项带回式子（1）合并得到磁晶单轴各向异性能的有效场： $\overrightarrow{H_{uniaxial}}$

$=\frac{1}{{-u_{0}}{M_s}}\Bigg(-2K_u(\vec{m} \cdot \vec{u}) u_x \hat{x}
-2K_u(\vec{m} \cdot \vec{u}) u_y \hat{y}
-2K_u(\vec{m} \cdot \vec{u}) u_y \hat{z}\Bigg)$

$=\frac{-2K_u}{{-u_{0}}{M_s}}(\vec{m} \cdot \vec{u}) (u_x \hat{x}
+u_y \hat{y}
-u_y \hat{z})$

$=\frac{2K_u}{{u_{0}}{M_s}}(\vec{m} \cdot \vec{u}) \vec{u}$


# 六、磁晶立方各向异性能的有效场

已知磁晶立方各向异性能的能量密度公式： 

$$
E_{cubic}=-K_c [(\vec{m} \cdot \vec{u_1})^2 (\vec{m} \cdot \vec{u_2})^2
+(\vec{m} \cdot \vec{u_2})^2 (\vec{m} \cdot \vec{u_3})^2
+(\vec{m} \cdot \vec{u_3})^2 (\vec{m} \cdot \vec{u_1})^2]
$$ 

其中 $\vec{u_1}，\vec{u_2}，\vec{u_3}$ 是磁晶易轴方向（单位矢量），而且 $\vec{u_3}$ 是通过 $\vec{u_1}，\vec{u_2}$ 的叉乘确定的：$\vec{u_3} = \vec{u_1} \times \vec{u_2}$ 。$K_c$ 是磁晶立方各向异性常数，单位 $J/m^3$。那么可以得到磁晶立方各向异性能的有效场： $\overrightarrow{H_{cubic}}$

$=\frac{1}{{-u_{0}}{M_s}}\frac{\delta{E_{cubic}}}{\delta{\overrightarrow{m}}}$

$=\frac{1}{{-u_{0}}{M_s}}\frac{\partial{E_{cubic}}}{\partial{\overrightarrow{m}}}$

$=\frac{1}{{-u_{0}}{M_s}}(\frac{\partial{E_{cubic}}}{\partial{m_x}}\hat{x} + \frac{\partial{E_{cubic}}}{\partial{m_y}}\hat{y} + \frac{\partial{E_{cubic}}}{\partial{m_z}}\hat{z})$

$=\frac{1}{{-u_{0}}{M_s}}\Bigg( \frac{\partial{}}{\partial{m_x}}[-K_c [(\vec{m} \cdot \vec{u_1})^2 (\vec{m} \cdot \vec{u_2})^2
+(\vec{m} \cdot \vec{u_2})^2 (\vec{m} \cdot \vec{u_3})^2
+(\vec{m} \cdot \vec{u_3})^2 (\vec{m} \cdot \vec{u_1})^2]]\hat{x}$
$+\frac{\partial{}}{\partial{m_y}}[-K_c [(\vec{m} \cdot \vec{u_1})^2 (\vec{m} \cdot \vec{u_2})^2
+(\vec{m} \cdot \vec{u_2})^2 (\vec{m} \cdot \vec{u_3})^2
+(\vec{m} \cdot \vec{u_3})^2 (\vec{m} \cdot \vec{u_1})^2]]\hat{y}$
$+\frac{\partial{}}{\partial{m_z}}[-K_c [(\vec{m} \cdot \vec{u_1})^2 (\vec{m} \cdot \vec{u_2})^2
+(\vec{m} \cdot \vec{u_2})^2 (\vec{m} \cdot \vec{u_3})^2
+(\vec{m} \cdot \vec{u_3})^2 (\vec{m} \cdot \vec{u_1})^2]]\hat{z}\Bigg)$

$=\frac{1}{{-u_{0}}{M_s}}\Bigg( \frac{\partial{}}{\partial{m_x}}[-K_c [[(\vec{m} \cdot \vec{u_1}) (\vec{m} \cdot \vec{u_2})]^2
+[(\vec{m} \cdot \vec{u_2}) (\vec{m} \cdot \vec{u_3})]^2
+[(\vec{m} \cdot \vec{u_3}) (\vec{m} \cdot \vec{u_1})]^2]]\hat{x}$
$+\frac{\partial{}}{\partial{m_y}}[-K_c [[(\vec{m} \cdot \vec{u_1}) (\vec{m} \cdot \vec{u_2})]^2
+[(\vec{m} \cdot \vec{u_2}) (\vec{m} \cdot \vec{u_3})]^2
+[(\vec{m} \cdot \vec{u_3}) (\vec{m} \cdot \vec{u_1})]^2]]\hat{y}$
$+\frac{\partial{}}{\partial{m_z}}[-K_c [[(\vec{m} \cdot \vec{u_1}) (\vec{m} \cdot \vec{u_2})]^2
+[(\vec{m} \cdot \vec{u_2}) (\vec{m} \cdot \vec{u_3})]^2
+[(\vec{m} \cdot \vec{u_3}) (\vec{m} \cdot \vec{u_1})]^2]]\hat{z}\Bigg)$ ***********************************************(式子 1)

此处和推导磁晶单轴各向异性能的有效场的步骤相同，将 $(\vec{m} \cdot \vec{u_{n}})$ 展开为 $m_x u_{nx}+m_y u_{ny}+m_z u_{nz}$ 方便我们求导，带回上式，计算式子（1）的第一项： $\frac{\partial{}}{\partial{m_x}}[-K_c [[(\vec{m} \cdot \vec{u_1}) (\vec{m} \cdot \vec{u_2})]^2
+[(\vec{m} \cdot \vec{u_2}) (\vec{m} \cdot \vec{u_3})]^2
+[(\vec{m} \cdot \vec{u_3}) (\vec{m} \cdot \vec{u_1})]^2]]$

$=-K_c\frac{\partial{}}{\partial{m_x}}\Bigg([(m_x u_{1x}+m_y u_{1y}+m_z u_{1z}) (m_x u_{2x}+m_y u_{2y}+m_z u_{2z})]^2$
$+[(m_x u_{2x}+m_y u_{2y}+m_z u_{2z}) (m_x u_{3x}+m_y u_{3y}+m_z u_{3z})]^2$
$+[(m_x u_{3x}+m_y u_{3y}+m_z u_{3z}) (m_x u_{1x}+m_y u_{1y}+m_z u_{1z})]^2\Bigg)$ ***********************************************(式子 2)

对于式子（2）的第一项，可以利用复合函数的求导法则（$(uv)^{\prime}=u^{\prime}v + uv^{\prime}$）来简化计算，于是：

$\frac{\partial{}}{\partial{m_x}}[(m_x u_{1x}+m_y u_{1y}+m_z u_{1z}) (m_x u_{2x}+m_y u_{2y}+m_z u_{2z})]^2]$

$=2[(m_x u_{1x}+m_y u_{1y}+m_z u_{1z}) (m_x u_{2x}+m_y u_{2y}+m_z u_{2z})]
\Bigg( (u_{1x}+0+0) (m_x u_{2x}+m_y u_{2y}+m_z u_{2z})
+(m_x u_{1x}+m_y u_{1y}+m_z u_{1z}) (u_{2x}+0 +0)$

$=2[(m_x u_{1x}+m_y u_{1y}+m_z u_{1z}) (m_x u_{2x}+m_y u_{2y}+m_z u_{2z})]
\Bigg( u_{1x} (m_x u_{2x}+m_y u_{2y}+m_z u_{2z})
+(m_x u_{1x}+m_y u_{1y}+m_z u_{1z}) u_{2x}\Bigg)$

$=2[(\vec{m} \cdot \vec{u_1}) (\vec{m} \cdot \vec{u_2})^2 u_{1x}
+(\vec{m} \cdot \vec{u_1})^2 (\vec{m} \cdot \vec{u_2}) u_{2x}]$

同理，可以根据结果的规律写出式子（2）的第二项：

$\frac{\partial{}}{\partial{m_x}}[[(m_x u_{2x}+m_y u_{2y}+m_z u_{2z}) (m_x u_{3x}+m_y u_{3y}+m_z u_{3z})]^2]$

$=2[(\vec{m} \cdot \vec{u_2}) (\vec{m} \cdot \vec{u_3})^2 u_{2x}
+(\vec{m} \cdot \vec{u_2})^2 (\vec{m} \cdot \vec{u_3}) u_{3x}]$

同理，可以根据结果的规律写出式子（2）的第三项：

$\frac{\partial{}}{\partial{m_x}}[[(m_x u_{3x}+m_y u_{3y}+m_z u_{3z}) (m_x u_{1x}+m_y u_{1y}+m_z u_{1z})]^2]$

$=2[(\vec{m} \cdot \vec{u_3}) (\vec{m} \cdot \vec{u_1})^2 u_{3x}
+(\vec{m} \cdot \vec{u_3})^2 (\vec{m} \cdot \vec{u_1}) u_{1x}]$

将以上三项带回式子（2）合并得到式子（2）的结果，即式子（1）的第一项：

$\frac{\partial{}}{\partial{m_x}}[-K_c [[(\vec{m} \cdot \vec{u_1}) (\vec{m} \cdot \vec{u_2})]^2
+[(\vec{m} \cdot \vec{u_2}) (\vec{m} \cdot \vec{u_3})]^2
+[(\vec{m} \cdot \vec{u_3}) (\vec{m} \cdot \vec{u_1})]^2]]\hat{x}$

$=-K_c \Bigg($
$2[(\vec{m} \cdot \vec{u_1}) (\vec{m} \cdot \vec{u_2})^2 u_{1x}
+(\vec{m} \cdot \vec{u_1})^2 (\vec{m} \cdot \vec{u_2}) u_{2x}]+$
$2[(\vec{m} \cdot \vec{u_2}) (\vec{m} \cdot \vec{u_3})^2 u_{2x}
+(\vec{m} \cdot \vec{u_2})^2 (\vec{m} \cdot \vec{u_3}) u_{3x}]+$
$2[(\vec{m} \cdot \vec{u_3}) (\vec{m} \cdot \vec{u_1})^2 u_{3x}
+(\vec{m} \cdot \vec{u_3})^2 (\vec{m} \cdot \vec{u_1}) u_{1x}]$
$\Bigg)\hat{x}$

同理，可以根据第一项结果的规律写出式子（1）的第二项：

$\frac{\partial{}}{\partial{m_y}}[-K_c [[(\vec{m} \cdot \vec{u_1}) (\vec{m} \cdot \vec{u_2})]^2
+[(\vec{m} \cdot \vec{u_2}) (\vec{m} \cdot \vec{u_3})]^2
+[(\vec{m} \cdot \vec{u_3}) (\vec{m} \cdot \vec{u_1})]^2]]\hat{y}$

$=-K_c \Bigg($
$2[(\vec{m} \cdot \vec{u_1}) (\vec{m} \cdot \vec{u_2})^2 u_{1y}
+(\vec{m} \cdot \vec{u_1})^2 (\vec{m} \cdot \vec{u_2}) u_{2y}]+$
$2[(\vec{m} \cdot \vec{u_2}) (\vec{m} \cdot \vec{u_3})^2 u_{2y}
+(\vec{m} \cdot \vec{u_2})^2 (\vec{m} \cdot \vec{u_3}) u_{3y}]+$
$2[(\vec{m} \cdot \vec{u_3}) (\vec{m} \cdot \vec{u_1})^2 u_{3y}
+(\vec{m} \cdot \vec{u_3})^2 (\vec{m} \cdot \vec{u_1}) u_{1y}]$
$\Bigg)\hat{y}$

同理，可以根据第一项结果的规律写出式子（1）的第三项：

$\frac{\partial{}}{\partial{m_z}}[-K_c [[(\vec{m} \cdot \vec{u_1}) (\vec{m} \cdot \vec{u_2})]^2
+[(\vec{m} \cdot \vec{u_2}) (\vec{m} \cdot \vec{u_3})]^2
+[(\vec{m} \cdot \vec{u_3}) (\vec{m} \cdot \vec{u_1})]^2]]\hat{z}$

$=-K_c \Bigg($
$2[(\vec{m} \cdot \vec{u_1}) (\vec{m} \cdot \vec{u_2})^2 u_{1z}
+(\vec{m} \cdot \vec{u_1})^2 (\vec{m} \cdot \vec{u_2}) u_{2z}]+$
$2[(\vec{m} \cdot \vec{u_2}) (\vec{m} \cdot \vec{u_3})^2 u_{2z}
+(\vec{m} \cdot \vec{u_2})^2 (\vec{m} \cdot \vec{u_3}) u_{3z}]+$
$2[(\vec{m} \cdot \vec{u_3}) (\vec{m} \cdot \vec{u_1})^2 u_{3z}
+(\vec{m} \cdot \vec{u_3})^2 (\vec{m} \cdot \vec{u_1}) u_{1z}]$
$\Bigg)\hat{z}$

将以上三项带回式子（1）合并得到磁晶立方各向异性能的有效场： $\overrightarrow{H_{cubic}}$：

$=\frac{-2K_c}{{-u_{0}}{M_s}}\Bigg(
(\vec{m} \cdot \vec{u_1}) (\vec{m} \cdot \vec{u_2})^2(u_{1x}\hat{x} + u_{1y}\hat{y} + u_{1z}\hat{z})
+(\vec{m} \cdot \vec{u_1})^2 (\vec{m} \cdot \vec{u_2})(u_{2x}\hat{x} + u_{2y}\hat{y} + u_{2z}\hat{z})$

$+(\vec{m} \cdot \vec{u_2}) (\vec{m} \cdot \vec{u_3})^2(u_{2x}\hat{x} + u_{2y}\hat{y} + u_{2z}\hat{z})
+(\vec{m} \cdot \vec{u_2})^2 (\vec{m} \cdot \vec{u_3})(u_{3x}\hat{x} + u_{3y}\hat{y} + u_{3z}\hat{z})$

$+(\vec{m} \cdot \vec{u_3}) (\vec{m} \cdot \vec{u_1})^2(u_{3x}\hat{x} + u_{3y}\hat{y} + u_{3z}\hat{z})
+(\vec{m} \cdot \vec{u_3})^2 (\vec{m} \cdot \vec{u_1})(u_{1x}\hat{x} + u_{1y}\hat{y} + u_{1z}\hat{z})\Bigg)$

$=\frac{2K_c}{{u_{0}}{M_s}}\Bigg( (\vec{m} \cdot \vec{u_1}) (\vec{m} \cdot \vec{u_2})^2 \vec{u_1}
+(\vec{m} \cdot \vec{u_1})^2 (\vec{m} \cdot \vec{u_2}) \vec{u_2}$

$+(\vec{m} \cdot \vec{u_2}) (\vec{m} \cdot \vec{u_3})^2 \vec{u_2}
+(\vec{m} \cdot \vec{u_2})^2 (\vec{m} \cdot \vec{u_3}) \vec{u_3}$

$+(\vec{m} \cdot \vec{u_3}) (\vec{m} \cdot \vec{u_1})^2 \vec{u_2}
+(\vec{m} \cdot \vec{u_3})^2 (\vec{m} \cdot \vec{u_1}) \vec{u_1}\Bigg)$

$=\frac{2K_c}{{u_{0}}{M_s}}\Bigg(
(\vec{m} \cdot \vec{u_1})[(\vec{m} \cdot \vec{u_2})^2 + (\vec{m} \cdot \vec{u_3})^2] \vec{u_1}$
$+(\vec{m} \cdot \vec{u_2})[(\vec{m} \cdot \vec{u_3})^2 + (\vec{m} \cdot \vec{u_1})^2] \vec{u_2}$
$+(\vec{m} \cdot \vec{u_3})[(\vec{m} \cdot \vec{u_1})^2 + (\vec{m} \cdot \vec{u_2})^2] \vec{u_3}
\Bigg)$




# 总结
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本文总结了微磁学中通过几个基本的能量密度公式推导出其有效场，内容核心就是求偏导，各种各样的偏导。至于微磁学中的其它公式推导，暂时还没学到皮毛，只有等以后再说了。