图像矩的理解及作用

我们希望能用很少的几个特征代表一个图形，这些特征不因图形在图像中所在的位置、旋转角度、缩放比例的改变而改变，也不应受光照、噪点等影响。经过计算机视觉多年的发展，已经发现了很多这样的特征， 不变矩就是其中一个。

统计学中的矩

图像的几何矩

将图像的像素坐标看作是二维随机变量，像素的灰度值看作是概率，就可以套用统计学中的矩作为图像的几何矩。

原点矩：$M_{ij}={\sum }_x{\sum }_y{x}^i{y}^{j}I(x,y)$

中心矩：${\mu }_{ij}={\sum }_x{\sum }_y(x-\hat{x}{)}^i(y-\hat{y}{)}^{j}I(x,y)\text{，}其中(\hat{x},\hat{y})为图形的质心（重心）$

1. 零阶矩

   $M_{00}={\sum }_x{\sum }_{y}I(x,y)\text{，其中I(x,y)表示在(x,y)处的像素灰度值}$

   零阶矩计算的是所有像素灰度的总和，类比统计学中的概率总和

2. 一阶矩

   $\{\begin{array}{l}{M}_{10}={\sum }_x{\sum }_{y}x\ast I(x,y)\\ M_{01}={\sum }_x{\sum }_{y}y\ast I(x,y)\end{array}$

   一阶矩计算出图像横纵坐标的加权和，权值即为该坐标像素。若想将权值归一化到（0，1）的区间，则可以将每个像素灰度值除以灰度总和，这样一阶矩就类似统计学中的数学期望了，该期望值是横纵坐标轴的加权平均值。该坐标点即为图形的质心（重心）坐标：

   $\{\begin{array}{l}{x}_c=M_{10}/M_{00}\\ y_c=M_{01}/M_{00}\end{array}$

3. 二阶矩

   $\{\begin{array}{l}{M}_{20}={\sum }_x{\sum }_y{x}^{2}I(x,y)\\ M_{02}={\sum }_x{\sum }_y{y}^{2}I(x,y)\\ M11={\sum }_x{\sum }_{y}xyI(x,y)\end{array}$

   类比上述统计学中的k阶原点矩

4. 二阶中心矩

   $\{\begin{array}{l}{\mu }_{20}={\sum }_x{\sum }_y(x-x_c{)}^{2}I(x,y)\\ {\mu }_{02}={\sum }_x{\sum }_y(y-y_c{)}^{2}I(x,y)\end{array}$

   类比方差

Hu矩

中心距仅保证了平移不变性，若想要保证缩放不变性，则对中心矩归一化：

${\mu }_{ij}=\frac{{\mu }_{ij}}{{\mu }_{00}^{\frac{i+j}{2}}}$

则 ${\mu }_{ij}$ 就同时具有平移和缩放不变性，但仍没有旋转不变性。为了解决该问题，又创造了Hu矩

Hu矩利用二阶和三阶中心矩导出下面七个不变矩组，他们都能同时保证平移、缩放、旋转不变性：

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-z2yG1cT3-1650428282151)(https://s3-us-west-2.amazonaws.com/secure.notion-static.com/3dc17d14-0030-46c0-b4dc-8108975a668d/Untitled.png)]

OpenCV计算矩

函数 moments() 用于计算几何矩（例如 $m_{10},m_{00}$ 等，由此可计算出质心），函数 HuMouents() 用于计算Hu矩。以下为七个不变矩的实际效果（为了便于比较，结果都使用 log 输出）：

可以直接使用 matchShapes() 方法来对不两个图形Hu矩的差值，根据该差值可以判断是不是同一个图形。差值越小则越接近。

参考 我有点酷
参考：
https://www.learnopencv.com/shape-matching-using-hu-moments-c-python/
https://www.cnblogs.com/ronny/p/3985810.html
https://www.cnblogs.com/wyuzl/p/7846384.html
https://www.jianshu.com/p/3cb0b97da76e