统计基础（六）卡方分布

1.卡方分布

卡方分布是独立标准正态随机变量$Z_i\sim N(0,1)i=1,2，\dots ，n$。它只能取正值，而且通常是右偏的。
我们说变量$X={\sum }_{i=1}^n{Z}_i^2\sim X^2$,有n个自由度，均值 E(X) = n，方差Var(X) = 2n。
概率分布函数pdf为

2.伽马分布

伽马分布$X\sim \Gamma (\alpha ,\beta )$

• $\alpha$形状参数（shape parameter)
  决定了分布曲线的形状，也就是$\alpha$不同，分布曲线形状不同
• $\beta$尺度参数（scale parameter）
  在其他参数一定时，$\beta$不同，分布曲线的形状相似，但是高低、胖瘦不同，或者说是同一形状按照比例放大或缩小

概率密度分数
$f(x)=\frac{1}{{\beta }^{\alpha }\Gamma (\alpha )}{x}^{\alpha -1}{e}^{\frac{-x}{\beta }}$其中，$x>0,\alpha >0,\beta >0$
$E(X)=\alpha \beta$ 和 $Var(X)=\alpha {\beta }^2$

卡方分布是伽马分布的一种特殊形式，其中$\alpha =k/2,\beta =2,\Gamma (\alpha =k/2,\beta =2)=X_k^2$
若$Q\sim X_k^2,aQ\sim \Gamma (\alpha =k/2,\beta =2$

3.卡方独立性检验 Chi-square test for independence

X^2测试是一个非常灵活的测试，因为它可以应用于一系列的情况。

• 离散概率与计数类别的拟合(孟德尔遗传学)
• 使用离散区间的连续数据拟合模型(随机数生成器)

我们将介绍最后一个例子，它着眼于如何建立两个离散变量之间的独立性。我们检验原假设H0:变量是独立的vs. HA:变量不是独立的。
判断行列是否独立
eg 检验是否吸烟与癌症之间的独立性

1. 画出列联表
2. 计算出列联表中的成分的概率
   
3. 假设两个变量相互独立P(AB)=P(A)*P(B)
4. 计算P值

4.卡方拟合优度检验 Chi-Square Goodness-of-Fit Test

考虑一组具有g类的分类数据，其中观察到的计数Oi，因为i = 1,2，…提出了一个类别的概率模型，我们想检验它是否与我们的预期值拟合。

5.孟德尔遗传案例