算法竞赛进阶指南总结（一）

一、位运算

二、递推与递归

位运算：二进制做基础，位运算给了我们一个操作简单的计算机。

位运算基础：

&：按位与，如果两个相应的二进制都为1，则该位值为1，否则为0.

|：按位或，两个相应的二进制位中只要有一个为1，则该位的值为1；

^：按位异或，若参加运算的两个数的值相同，则该值为1，否则为0；

~:取反，一元运算符，用来对二进制数按位取反，1-0，0-1；

<<：左移，用来将一个数的个二进制位全部左移N位，右边补0；

>>：右移，用来将一个数的个二进制位全部右移N位，移到右端的低位被舍弃，对于无符号数，高位补0.

原码、补码、反码：

真值：第一位表示符号位：最高位1表示负值，0表示正值，

原码：符号位加上真实值的绝对值，第一位表示符号，其余位表示值

例如：8位的二进制数

[+1]原码；0000 0001
[-1]原码：1000 0001

所以，8位的二进制数的范围为【1111 1111，0111 1111】[-127.127];

反码：正数的反码是其本身，负数的反码是在其原码的基础上，符号位不变，其余位取反；

例如：

[+1]=[0000 0001]原=[0000 0001]反
[-1]=[1000 0001]原=[1111 1110]反

对于负数，通常也需要转换成原码进行计算；

补码：正数的补码是其本身，负数的补码是在原码的基础上，符号位不变，其余各位取反，最后+1，（反码的基础上+1）；

例如：

[+1]=[0000 0001]原=[0000 0001]反=[0000 0001]补
[-1]=[1000 0001]原=[1111 1110]反=[1111 1111]补

二进制状态压缩：将一个长度为m的bool数组，用一个m位的二进制整数表示并储存的方法；

例题： 链接：91. 最短Hamilton路径 - AcWing题库

 

#include
using namespace std;
const int N = 20,M = 1 << N;
//解释一下1 << N：因为i是二进制数，表示从0到当前点的状态，所以每个点都有两个状态0和1，所以是2的N次方
int n;
int w[N][N]; //每条边的权重
int f[M][N]; //表示从0到j，走过的点是i的所有路径
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 0;i < n;i ++)
    {
        for(int j = 0;j < n;j ++)
        {
            scanf("%d",&w[i][j]);
        }
    }
    memset(f,0x3f,sizeof f);
    f[1][0] = 0; //0为起点，所以为0
    for(int i = 0;i < 1 << n;i ++)
    { //i表示的所有的状态
        for(int j = 0;j < n;j ++)
        { //j表示走到的哪一点
            if(i >> j & 1){ //如果i的j为1，说明到达过这个点
                for(int k = 0;k < n;k ++)
                { //k表示走到j这个点之前，以k为终点的最短距离
                    if((i - (1 << j)) >> k & 1)
                    { //i除去j这个点后包含k这个点
                        f[i][j] = min(f[i][j],f[i - (1 << j)][k] + w[k][j]); //状态转移，前面图1有详细讲解哦~
                    }
                }
            }
        }
    }
    printf("%d\n",f[(1 << n) - 1][n - 1]); //输出答案
    //(1 << n) - 1表示：有n个1，也就是所有的点都走完了
    //n - 1表示：终点
    //合起来就是所有的点都走完的方案，最后落脚在n - 1这个点
    return 0;
}

成对变换：

对一个非负整数n

n为偶数时，n xor 1=n-1;

n为奇数时，n xor 1=n+1;

lowbit(x)是x的二进制表达式中最低位的1所对应的值。(这利用到了位运算的与运算）

int lowbit(int x)
{
   return x&-x;
}

现在我们来证明一下 lowbit ( n ) 运算是怎么进行运算的：

我们假设 n > 0 ，设 n 的二进制表示中，第 k 位为 1 ，第 0 至第 k-1 位都为 0 ,现在我们对 n 的二进制进行取反操作，可以得到，~n 的二进制表示中，第 k 位为 0 ，第 0 至第 k-1 位都为 1，然后我们再将 ~n 进行加 1 操作，可以得到一个结果，就是 ~n+1 的第 k+1 位至其最高位都为 n 的二进制表示中相反的数字，然后我们再将 ~n+1 与 n进行与运算，就可以得到我们想要的结果了。又因为 ~n=-1-n ，所以 -n = ~n+1，有：

lowbit( x ) = n & ( ~n + 1 ) = n & ( -n )
上面写的很抽象，我们假设 n = 8 ,8 的二进制为 ： 0 0 0 0 1 0 0 0   ,对 8 取反的二进制为 ：1 1 1 1 0 1 1 1   ,再对 取反8加一的二进制为 ：1 1 1 1 1 0 0 0,  进行与操作之后 ： 0 0 0 0 1 0 0 0 

就得到了我们的 lowbit ( 8 ) = 8