最佳节点的选取--第一类Tchebyshev多项式

最近在准备复习qualify，打算时不时更一些复习的重要知识点。
在数值分析中，通过多项式逼近函数有如下的多项式插值误差定理：
定理1
设 f∈Cn+1[a,b] ，多项式 p 是f在不同节点 x0,x1,⋯,xn 上的插值多项式， degp≤n 。则对 [a,b] 中每个 x ,都有ξx∈(a,b)使得

f(x)−p(x)=1(n+1)!f(n+1)(ξx)Πni=0(x−xi)

证明：
当x与某个节点重合的时候显然成立。对于其他情形，固定x，令

ϕ(t)=f(t)−p(t)−f(x)−p(x)w(x)w(t),w(t)=Πni=0(t−xi)

则 ϕ(t) 在 [a,b] 内有n+2个零点，所以有 ξx∈(a,b) 使得 ϕ(n+1)(ξx)=0

那么如何选取节点 xi ,使得 w(x)=(x−x0)⋯(x−xn) 在 [a,b] 上的绝对值最大值最小？

为了简单起见，不妨令 [a,b]=[−1,1] . 转而考虑一般的首 一n次多项式 p(x) 使得它在[−1, 1]上的绝对值最大值最小。

第一类Tchebyshev多项式

递归定义：
T0(x)=1,T1(x)=x
Tn+1(x)=2xTn(x)−Tn−1(x),n≥1

解析定义：
Tn(x)=cos(narccosx)

Tchebyshev多项式的性质

1. |Tn(x)|≤1,−1≤x≤1
2. Tn(cosjπ/n)=(−1)j,j=0,...,n
3. Tn(cos(2j−1)π/2n)=0,j=1,...,n
4. 21−nTn是一个首一多项式

定理2：（首一多项式定理）
设p(x)为一个n次首一多项式，则

max−1≤x≤1|p(x)|≥21−n

证明：
反证法
设对任意的 x∈[−1,1],|p(x)|≤21−n .
令 q(x)=21−nTn(x),xi=cos(iπ/n)
那么

(−1)ip(xi)≤|p(xi)|<(−1)iq(xi)

即 (−1)i(q(xi)−p(xi))>0,i=0,1,⋯,n
这说明了q-p的符号在正负之间变动了n+1次，即至少有n个根，而这是不可能的，因为q-p的次数之多是n-1。

Tchebyshev节点：节点 xi 是Tchebyshev 多项式的 Tn+1(x) 的根

此时插值估计：

|f(x)−p(x)|≤12n(n+1)!max|t|≤1|f(n+1)(t)|