代码附在文末了
“Hurst 指数”或“Hurst 系数”由研究员 Harold Edwin Hurst
在研究罗河旱涝更替的情况时,为研究水利的实际问题发明,以衡量时间序列的长期记忆能力。Hurst 指数又被称为“指数依赖性”或“指数长期依赖性”,它能够量化时间序列的相对趋势。
现在有很多 Hurst 指数估计值的算法,最有名的就是 Mandelbrot 和 Wallis 基于 Hurst 的水利研究结果使用的重标极差 R/S 方法
。
设有一个序列 X = { X 1 , X 2 , … } X = \{X_1, X_2, … \} X={X1,X2,…} , n n n 是观测到的时间跨度, R ( n ) R(n) R(n) 是前 n n n 个值的取值范围, S ( n ) S(n) S(n) 是它们的标准差, E E E 符号表示求期望值, C C C 是一个常数。则序列 X X X 的 Hurst指数(后面以 H H H 表示)的原始定义如下式所示:
E ( R ( n ) S ( n ) ) = C n H , w h i l e n → ∞ (1) E(\dfrac{R(n)}{S(n)})\ =\ Cn^H,\ \ \ \ while\ n \rightarrow \infty \tag{1} E(S(n)R(n)) = CnH, while n→∞(1)
利用 R/S 分析法,把一个长度总共为 N N N 的时间序列分成长度分别为 n = { N , N 2 , N 4 , … } n = \{N, \dfrac{N}{2}, \dfrac{N}{4}, … \} n={N,2N,4N,…} 的短序列。对于每一个 n n n,便可以计算其重标极差 R ( n ) S ( n ) \dfrac{R(n)}{S(n)} S(n)R(n)。
又因为数据的 Hurst 指数满足幂定律(1)式 ,便可以画出 l o g [ R ( n ) S ( n ) ] log[\dfrac{R(n)}{S(n)}] log[S(n)R(n)] 关于 l o g n log\ n log n 的图形,通过拟合直线的斜率得到 H H H 的值。
任意长度序列( n ≥ 8 n \ge 8 n≥8) Hurst 指数计算流程:
代码中使用到了 numpy
库:
pip install -i https://mirrors.aliyun.com/pypi/simple numpy
计算 Hurst 指数代码如下:
def Hurst(ts):
'''
Parameters
----------
ts : Iterable Object.
A time series or a list.
Raises
------
ValueError
If input ts is not iterable then raise error.
Returns
-------
H : Float
The Hurst-index of this series.
'''
if not isinstance(ts, Iterable):
raise ValueError("This sequence is not iterable !")
ts = np.array(ts)
# N is use for storge the length sequence
N, RS, n = [], [], len(ts)
while (True):
N.append(n)
# Calculate the average value of the series
m = np.mean(ts)
# Construct mean adjustment sequence
mean_adj = ts - m
# Construct cumulative deviation sequence
cumulative_dvi = np.cumsum(mean_adj)
# Calculate sequence range
srange = max(cumulative_dvi) - min(cumulative_dvi)
# Calculate the unbiased standard deviation of this sequence
unbiased_std_dvi = np.std(ts)
# Calculate the rescaled range of this sequence under n length
RS.append(srange / unbiased_std_dvi)
# While n < 4 then break
if n < 4:
break
# Rebuild this sequence by half length
ts, n = HalfSeries(ts, n)
# Get Hurst-index by fit log(RS)~log(n)
H = np.polyfit(np.log10(N), np.log10(RS), 1)[0]
return H
其中重新生成序列的代码如下:
def HalfSeries(s, n):
'''
if length(X) is odd:
X <- {(X1 + X2) / 2, ..., (Xn-2 + Xn-1) / 2, Xn}
n <- (n - 1) / 2
else:
X <- {(X1 + X2) / 2, ..., (Xn-1 + Xn) / 2}
n <- n / 2
return X, n
'''
X = []
for i in range(0, len(s) - 1, 2):
X.append((s[i] + s[i + 1]) / 2)
# if length(s) is odd
if len(s) % 2 != 0:
X.append(s[-1])
n = (n - 1) // 2
else:
n = n // 2
return [np.array(X), n]
选取一段比特币的价格数据,可以认定是一段有自相关性质的时间序列,其数据如下:
X, Y = [], []
for i in range(14, 501):
X.append(i)
Y.append(Hurst([random() for i in range(k)]))
以连续14日(两周)的数据作为单个序列,计算每个序列的 Hurst 指数,绘制图像如下:
蓝色曲线为比特币的 Hurst 指数数据,其 Hurst 指数在 0.75 左右,说明 14 日内比特币的价格数据是具有一定自相关能力的时间序列。
黄色曲线为随机序列的 Hurst 指数,其值稳定在 0.5 左右,符合随机游走时间序列的 Hurst 指数接近于 0.5 的结论。
不喜欢写总结。