模拟退火算法(SA)

一、算法简介

模拟退火算法(SA)

一种模拟物理退火过程而设计的优化算法
初始处于一个高温状态下，然后逐渐退火，在每个温度下慢慢冷却，最终达到物理基态（相当于算法找到最优解）
求解TSP问题(旅行商问题)、最值问题、全局优化、生产调度、控制工程、机器学习、信号处理等

爬山算法（贪心算法）：对问题求解时，总是做出当前看起来是最好的选择，不考虑整体最优，得到的一般是局部最优解。

模拟退火算法：也是贪心算法，但是在其过程中引入了随机因素，以一定的概率接受一个比当前解还要差的解。

模拟退火算法在某一初温下，伴随温数的不断下降，结合概率突跳特性在解空间中随机寻找目标函数的全局最优解。即：在局部最优解的空间内能概率性地调处并最终区域全局最优。

概率突跳特性：不再局限于局部最优

二、算法流程

1. 设定当前解（即为当前最优解）：令 T=T0 ，即开始退火的初始温度，随机生成一个初始解x0，并计算相应的目标函数值E(x0)

2. 产生新解与当前解的差值：根据当前解xi进行扰动，产生一个新解xj，计算相应的目标函数值E(xj)，得到△E=E(xj) - E(xi)

3.判断新解是否被接受：若△E<0，则新解xj被接受；若△E>0，则新解xj按如下概率被接受。Ti 是当前温度。

4. 当新解被接受时：新解xj被当做当前解

5. 循环以上四个步骤：在温度Ti下，重复k次的扰动和接受过程，接着执行下一步骤

6. 最后找到全局最优解：判断T是否已经达到终止温度Tf ，若是，则终止算法；若否，则转到循环步骤继续执行。

三、算法流程图

求解最小值

1. metropolis 准则：

在某个温度下，固体分子从一个状态转移到另一个状态时，如果新状态的内能小，则无条件接受；若新状态的内能大，则以一定的概率接受它。

if △E<0 :    
	xi=xj;
elif exp(-△E/T)>rand() :  #按概率接受
	xi=xj;

2. 马尔科夫链的长度Lk：任意温度的迭代次数

算法在Lk内持续进行“产生新解–判断–接受/舍弃”的迭代过程，对应着固体在某一恒定温度下趋于热平衡的过程。一般选取Lk=100N，N为问题的规模。

3. 控制参数T的终止值 Tf (停止准则)

最终温度通常是0，但会消耗许多模拟时间。温度趋近于0，其周围状态几乎一样。所以寻找一个低到可接受的温度即可(T>0.001)。

4. 控制温度T的衰减函数

不同退火方法的温度下降速度是不一样的，其中指数降温是最常用的一种退火策略，其温度变化很有规律，直接与参数相关，是研究的主要对象。

衰减函数：t(k+1) = αt(k) k = 0,1,2…

其中α是一个接近1的常数，一般取 0.5 ~ 0.99

该衰减函数对控制参数的衰减量是随算法进程递减的。

四、模拟算法优缺点

优点：高效地求解NP完全问题(多项式复杂程度的非确定性问题)，如TSP问题、0-1背包问题等。编程工作量小，易于实现。

缺点：使用不当，可能会陷入局部最优。参数难以控制，所得结果可能为接近最优解但并非最优解。

五、例题

TSP问题

一位旅行者从一个出发点出发，要求经过31个城市（目标点的坐标已经给出），并且每个点只能经过一次，最终经过所有点后回到起点。要求：为旅行者制定一条最短路径。

matlab算法

C=[ 1304 2312;       %城市坐标
3639 1315;
4177 2244;
3712 1399;
3488 1535;
3326 1556;
3238 1229;
4196 1044;
4312 790；
4386 570；
3007 1970；
2562 1756；
2788 1491；
2381 1676；
1332 695；
3715 1678；
3918 2179；
4061 2370；
3780 2212；
3676 2578；
4029 2838；
4263 2931；
3429 1980；
3507 2376；
3394 2643；
3439 3201；
2935 3240；
3140 3550；
2545 2357；
2778 2826；
2370 2975 ];   % 31个城市的坐标
n=size(C,1);     %TSP问题规模，即城市数目
T=1000;  %初始温度
L=100; %马尔科夫链长度
K=0.99; %衰减参数
%%%%%%%%%%%%%城市坐标结构体%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
city=struck([]); %结构体变量，类似于Python中的
for i=1:n
	city(i).x = C(i,1);
	city(i).y = C(i,2);
end       %city(i) 的值为第i座城市的坐标
l=1;   %统计迭代次数
len(1) = func3(city , n);   %每次迭代后的路线长度
while T>0.001   %0.001为终止温度
%%%%%%%%%多次迭代扰动，温度降低之前多次试验%%%%%%%%%%%%
	for i=1:L
	%%%%%%%%%%%%%计算原路线总距离%%%%%%%%%%%%%%%%
		len1=func3(city,n);
		%%%%%%%%%%%%%%产生随机扰动%%%%%%%%%%%%
		%%%%%%%%%%%%%%随机置换两个不同城市的坐标%%%%%%%%%
		p1=floor(1+n*rand());   %朝负无穷方向取整（向下取整）
		p2=floor(1+n*rand());  
		while p1==p2
			p1=floor(1+n*rand());
			p2=floor(1+n*rand());
		end
		tmp_city=city;
		tmp=tmp_city(p1);
		tmp_city(p1)=tmp_city(p2);
		tmp_city(p2)=tmp;
		%%%%%%%%%%%%计算新路线总距离%%%%%%%%%%%%%%%%
		len2=func3(tmp_city,n);
		%%%%%%%%%%%%新老距离的差值，相当于能量%%%%%%%%%%
		delta_e=len2-len1;
		%%%%%%%%%%%%判断是否用新路线替换就路线%%%%%%%%%%
		if delta_e<0
			city=tmp_city;
		else
		%%%%%%%%以概率选择是否接受新解%%%%%%%%%%%%%%%%
			if exp(-delta_e/T)>rand()
				city=tmp_city;
			end
		end
	end
	l=l+1;
    %%%%%%%%计算新路线距离%%%%%%%%%%%%%
   	len(1)=func3(city,n);
   	%%%%%%%%温度不断下降%%%%%%%%%%%%%%
   	T=T*K;  %K就是衰减系数α
end

步骤

1）初始化：初始温度、初始新解
2）添加随机扰动，产生新解
3）比较能量差，判断新解是否接受
4）如果接受，并且迭代没有结束，继续产生新解，重复 2），3）
5）判断是否达到终止条件，如果没有则降低温度，重新产生新解，再次进入循环