工作小笔记——对MLE和MAP的简单理解

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前言

本文简单描述最大似然估计（MLE, Maximum Likelihood Estimation）和最大后验概率估计（Maximum A Posteri）的关系和区别。

1. 问题描述

考虑一个随机变量A和它的观测值B，如何通过观测到B的值估计A的值？有两种基于条件概率的估计方式：

• 第一种，构造一个条件概率函数：$P(B|A)$，即已知A的情况下B的概率分布，求满足该条件概率最大的A的值，即为A的估计值。
• 第二种，构造一个条件概率函数：$P(A|B)$，即已知B的情况下A的概率分布，求满足该条件概率最大的A的值，即为A的估计值；

1.1 MLE

考虑上述第一种，我们求满足$P(B|A)$最大的A的值。$P(B|A)$又称为似然概率，所以这种估计方式叫做最大似然估计（MLE）。

1.2 MAP

考虑上述第二种，求满足$P(A|B)$最大的A的值。也就是说，求观测到B的情况下，A最有可能的值，直观上来说，这是我们真正要做的事情。然后，一般而言，条件概率$P(A|B)$并不好求。于是，根据贝叶斯公式进行变换后可得求A的估计值的公式：
$$\begin{array}{rl}\hat{A}& ={\text{argmax}}_A[P(A|B)]\\ & ={\text{argmax}}_A[\frac{P(B|A)\times P(A)}{P(B)}]\\ & ={\text{argmax}}_A[P(B|A)\times P(A)]\end{array}$$

2. 简单通信系统的例子

以一个简单通信系统为例，假设发送端发送的符号是一个两电平信号，分别为0和1，经过一个高斯白噪声信道后，接收端根据接收到的信号来判决发送的是0还是1。

2.1 MLE解调

接收到的信号$R$是一个随机变量，满足$R\in N(\mu ,{\sigma }^2)$的概率分布，其中：

• 发送符号为0时，$R\in N(0,{\sigma }^2)$，其概率密度函数如下图蓝线所示；
• 发送符号为1时，$R\in N(1,{\sigma }^2)$，其概率密度函数如下图红线所示。
  
  那么，如何根据接收到的信号幅度估计发送的符号是0还是1？显然，把接收到的信号幅度值对应到上图的x轴，判断这两条曲线的y轴值，选取y值最大的那条概率密度曲线对应的符号作为估计值。
  如上图中红色箭头所示的位置，发送符号的估计值为1。

2.2 MAP解调

还是以上面这个简单通信系统举例，由于已知发送的两电平符号的概率是均匀分布，也就是说发0和发1的概率是一样的，所以上述MAP的公式退化为MLE。

假设我们知道发送端发送符号时，有0.3的概率发0，有0.7的概率发1，那么0和1时的两条概率曲线变成下图所示。给定一个x的值，很大概率会被判成1。似乎和常识不符。

3. 数据拟合

假设有一组样本数据：$\text{D}=\{({\mathbf{x}}_1,y_1),({\mathbf{x}}_2,y_2),...,({\mathbf{x}}_n,y_n)\}$，其中：

• ${\mathbf{x}}_i$为一个$m$维的向量，${\mathbf{x}}_i={\left[\begin{array}{ccccc}{x}_{i1}& x_{i2}& x_{i3}& ...& x_{im}\end{array}\right]}^T$，$i=1,..,n$
• $y_i$为标量
• $y_i$和$x_i$之间满足如下映射关系：$y_i={\omega }^T{\mathbf{x}}_i+\mathbf{b}$，其中：
  $$\omega ={\left[\begin{array}{ccccc}{\omega }_1& {\omega }_2& {\omega }_3& ...& {\omega }_m\end{array}\right]}^T$$

3.1 MLE的推导及其与最小二乘的关系

数据拟合的问题就是已知样本集合$D$的情况下，估计$\omega$的过程。这个过程可以用最大似然的概念来描述，就是求${\text{argmax}}_{\omega }[P(\text{D}|\omega )]$。

上述过程中，如果令$x_{i0}=1$，则$b$可以吸收到${\omega }^T{\mathbf{x}}_i$中去，为了简化起见，以下推导都省略$b$。

$$\begin{array}{rl}P(\text{D}|\omega )& =\prod _{i=0}^{n}p({\text{x}}_i,y_i|\omega )\end{array}$$
对于数据集合，可以认为其样本包含高斯噪声，即：$y_i={\omega }^T{\mathbf{x}}_i+N(0,{\sigma }^2)$，所以有：
$$p({\text{x}}_i,y_i|\omega )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\text{exp}(-\frac{(y_i-{\omega }^T{\mathbf{x}}_i{)}^2}{2{\sigma }^2})$$

采用对数似然函数可以得到：
$$L(\omega )=\sum (\mathbf{l}\mathbf{o}\mathbf{g}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}-\frac{(y_i-{\omega }^T{\mathbf{x}}_i{)}^2}{2{\sigma }^2})$$

去除与$\omega$无关项，最大似然估计的$\hat{\omega }$，即求似然函数$L(\omega )$的最大值等价于：
$$\begin{array}{rl}\hat{\omega }& ={\text{argmax}}_{\omega }[L(\omega )]\\ & ={\text{argmin}}_{\omega }[\sum (y_i-{\omega }^T{\mathbf{x}}_i{)}^2]\end{array}$$
由此可知，在观测为高斯噪声条件下，最大似然等价于最小二乘。

3.2 MAP的考虑

如果说$\omega$的先验概率已知，即$p(\omega )$为已知函数，那么MAP的估计值就是：
$$\begin{array}{rl}\hat{\omega }& ={\text{argmax}}_{\omega }[L(\omega )+\mathbf{l}\mathbf{o}\mathbf{g}p(\omega )]\\ & ={\text{argmax}}_{\omega }[\mathbf{l}\mathbf{o}\mathbf{g}p(\omega )-\frac{(y_i-{\omega }^T{\mathbf{x}}_i{)}^2}{2{\sigma }^2}]\end{array}$$
如果$p(\omega )$也是高斯分布，那么MAP就变成了kalmann滤波器。

参考文献

无。