python数学建模--灰色预测

灰色预测

灰色预测模型是通过少量的、不完全的信息，建立数学模型做出预测的预测方法，基于客观事物的过去和现在的发展规律，借助于科学的方法对未来的发展趋势和状况进行描述和分析，并形成科学的假设和判断。

一阶灰色方程GM(1,1)

对于原始数据序列$$x^{(0)}=[x^{(0)}(1),x^{(0)}(2),...,x^{(0)}(n)]$$

建模步骤

1. 计算级比
   已知序列的级比为
   $$\sigma (k)=\frac{x(k)}{x(k-1)},k=(2,3,...,n)$$
   若所有级比$\sigma (k)$都落在区间$(e^{-\frac{2}{n+1}},e^{\frac{2}{n+1}})$内，则序列$x^{(0)}$可使用GM(1,1)进行灰色预测，否则应对序列数据$x^{(0)}$进行平移变换
   $$x^{(0)}(k)=x^{(0)}(k)+c,k=1,2,...,n$$

遗留的问题：原始序列进行累加后为什么不会影响到最终结果？

2. 累加序列及其均值生成序列
   一次累加序列
   $$\begin{array}{rl}{x}^{(1)}& =(x^{(1)}(1),x^{(1)}(2),...,x^{(1)}(7))\\ & =(x^{(0)}(1),x^{(0)}(1)+x^{(0)}(2),...,x^{(0)}(1)+...+x^{(0)}(7))\end{array}$$
   一次累加序列的均值生成序列为
   $$\begin{gathered} z^{(1)}=(z^{(1)}(2),z^{(1)}(3),...,z^{(1)}(7)) \\ 其中z^{(1)}(k)=\alpha x^{(1)}(k)+\alpha x^{(1)}(k-1),k=(2,3,...,7) \end{gathered}$$

注：均值生成序列中的权重参数取值范围为$0\le \alpha \le 1$，一般取0.5

3. 建立模型
   白化方程
   $$\frac{d{x}^{(1)}(t)}{dt}-a{z}^{(1)}(t)=b$$
   灰微分方程
   $$\begin{gathered} x^{(0)}(k)-a{z}_k^{(1)}=b \\ 即-a{z}_k^{(1)}+b=x^{(0)}(k)\text{\hspace{1em}(1)} \end{gathered}$$

其实在这个地方还是有一些遗留问题的，比如白化方程、灰微分方程各是怎么得到的？建立这两个方程背后的数学原理？

将(1)式化为矩阵形式为

[ − z ( 1 ) ( 2 ) 1 − z ( 1 ) ( 3 ) 1 ⋮ 1 − z ( 1 ) ( k ) 1 ] [ a b ] = [ x ( 0 ) ( 2 ) x ( 0 ) ( 3 ) ⋮ x ( 0 ) ( k ) ] \begin{bmatrix} -z^{(1)}(2)&1\\ -z^{(1)}(3)&1\\ \vdots&1\\ -z^{(1)}(k)&1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a\\b \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x^{(0)}(2)\\ x^{(0)}(3)\\ \vdots\\ x^{(0)}(k) \end{bmatrix} ​−z(1)(2)−z(1)(3)⋮−z(1)(k)​1111​ ​[ab​]= ​x(0)(2)x(0)(3)⋮x(0)(k)​ ​
即$Xu=Y$,根据最小二乘法得到参数矩阵$u$的估计值为
$$u=(X^{T}X{)}^{-1}{X}^{T}Y$$

代入数据求得参数矩阵$u$，由此得到白化方程与灰微分方程的参数$a,b$
那么白化方程的时间响应式：
$$x^{(1)}(k+1)=(x^{(0)}(1)-\frac{b}{a})e^{-ak}+\frac{b}{a}，其中k=0,1,...$$
将k代入上式，得到一次累减序列$$x_{minus}^{(1)}=[x_{minus}^{(1)}(1),x_{minus}^{(1)}(2),...,x_{minus}^{(1)}(n)]$$

那么预测序列为
$$\begin{gathered} x_{pred}^{(0)}=[x_{pred}^{(0)}(1),x_{pred}^{(0)}(2),...,x_{pred}^{(0)}(k)],k=1,2,... \\ 其中x_{pred}^{(0)}(k)=x_{minus}^{(0)}(k)-x_{minus}^{(0)}(k-1) \\ {x}_{pred}^{(0)}(1)=x_{minus}^{(1)}(1) \end{gathered}$$
5. 误差检验
（1）相对误差检验
$$\lambda (k)=\frac{|x^{(0)}(k)-x_{pred}^{(0)}(k)|}{x^{(0)}(k)},k=1,2,...,n$$

当$\lambda (k)<0.2时$，可认为模型达到了一般要求
当$\lambda (k)<0.1时$，可认为模型达到了较高要求
（2）级比偏差值检验
$$ϵ(k)=|1-(\frac{1-0.5a}{1+0.5a})\sigma (k)|,k=2,3,...,n$$

当$ϵ(k)<0.2时$，可认为模型达到了一般要求
当$ϵ(k)<0.1时$，可认为模型达到了较高要求

应用及其求解步骤

$$已知x^{(0)}=(25723,30379,34473,38485,40514,42400,48337),试建立GM(1,1)模型$$
建模开始

求级比

import numpy as np
x0=np.array([25723,30379,34473,38485,40514,42400,48337])
sigma=x0[:-1]/x0[1:]
>>> array([0.84673623, 0.88124039, 0.89575159, 0.94991855, 0.95551887,0.87717484])
bound1=[sigma.min(),sigma.max()]
>>> [0.8467362322657098, 0.9555188679245283]
bound2=[np.exp(-2/(x0.size+1)),np.exp(2/(x0.size+1))]
>>> [0.7788007830714049, 1.2840254166877414]

由于bound1$\in$bound2，故级比符合要求

一次累加序列

$$\begin{array}{rl}{x}^{(1)}& =(x^{(1)}(1),x^{(1)}(2),...,x^{(1)}(7))\\ & =(x^{(0)}(1),x^{(0)}(1)+x^{(0)}(2),...,x^{(0)}(1)+...+x^{(0)}(7))\end{array}$$

x1=np.cumsum(x0)
>>> array([ 25723,  56102,  90575, 129060, 169574, 211974, 260311],dtype=int32)

一次累加序列的均值生成序列为
$$\begin{gathered} z^{(1)}=(z^{(1)}(2),z^{(1)}(3),...,z^{(1)}(7)) \\ 其中z^{(1)}(k)=0.5x^{(1)}(k)+0.5x^{(1)}(k-1),k=(2,3,...,7) \end{gathered}$$

z1=(x1[:-1]+x1[1:])/2.0
>>> array([ 40912.5,  73338.5, 109817.5, 149317. , 190774. , 236142.5])

求参数矩阵$u$

X = [ − z ( 1 ) ( 2 ) 1 − z ( 1 ) ( 3 ) 1 ⋮ 1 − z ( 1 ) ( k ) 1 ] Y = [ x ( 0 ) ( 2 ) x ( 0 ) ( 3 ) ⋮ x ( 0 ) ( k ) ] X=\begin{bmatrix} -z^{(1)}(2)&1\\ -z^{(1)}(3)&1\\ \vdots&1\\ -z^{(1)}(k)&1\\ \end{bmatrix}Y=\begin{bmatrix} x^{(0)}(2)\\ x^{(0)}(3)\\ \vdots\\ x^{(0)}(k) \end{bmatrix} X= ​−z(1)(2)−z(1)(3)⋮−z(1)(k)​1111​ ​Y= ​x(0)(2)x(0)(3)⋮x(0)(k)​ ​

X=np.vstack([-z1,np.ones(x0.size-1)]).T
Y=x0[1:].T
u=np.matmul(np.matmul((np.linalg.inv(np.matmul(X.T,X))),X.T),Y)
>>> array([-8.42648092e-02,  2.78584508e+04])

时间响应式

于是，白化方程的时间响应式为
$$\begin{array}{rl}{x}^{(1)}(k+1)& =(x^{(0)}(1)-\frac{b}{a})e^{-ak}+\frac{b}{a}\\ & =(25723-\frac{27858.45}{-0.0843})e^{0.0843k}-\frac{27858.45}{-0.0843}\\ & =356328.99e^{0.0843k}-330605.99\end{array}$$

求预测序列

#生成匿名函数
x_m=lambda k:(x0[0]-(u[1]/u[0]))*np.e**(-u[0]*k)+u[1]/u[0]
# 一次累减序列
x_m1=x_m(np.arange(x0.size+1))
# 预测序列
x_pred=np.diff(x_m1)
>>> array([31327.3567122 , 34081.56224489, 37077.90911705, 40337.68565577,
       43884.05179286, 47742.20361062, 51939.55235392])

模型检验

相对误差
$$\lambda (k)=\frac{|x^{(0)}(k)-x_{pred}^{(0)}(k)|}{x^{(0)}(k)},k=1,2,...,n$$

lambda_k=abs(x0[1:]-x_pred[:-1])/x0[1:]
>>> array([0.03121751, 0.01135491, 0.03656206, 0.00435194, 0.03500122,
       0.0123052 ])

相对误差值$\lambda (k)<0.1$，可认为模型达到了较高要求

级比偏差值
$$ϵ(k)=|1-(\frac{1-0.5a}{1+0.5a})\sigma (k)|,k=2,3,...,n$$

epsilon_k=abs(1-((1-0.5*(-0.0834))/(1+0.5*(-0.0834)))*sigma)
>>> array([0.07957306, 0.04206604, 0.02629194, 0.03258912, 0.03867683,
       0.04648542])

级比偏差值$ϵ(k)<0.1$，可认为模型达到了较高要求

实际值与预测值比较及可视化

import matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
x_pred1=x_pred.tolist()
x_pred1.insert(0,x0[0])
matplotlib.rcParams['font.family']='SimHei'
plt.plot(range(x0.size),x0,'r-',label='原始序列')
plt.plot(range(x0.size),x_pred1[:-1],'g--',label='预测序列')
plt.legend()
plt.show()

运行结果

二阶灰色方程GM(2,1)

To be continue…