爱因斯坦场方程之Schwarzschild真空解

李导数和Killing矢量场

推拉映射

设$\varphi$是流形间的光滑映射，其拉回映射${\varphi }^{\ast }$定义为
$$({\varphi }^{\ast }f){|}_p=f{|}_{\varphi (p)}$$
其推前映射${\varphi }_{\ast }$定义为
$$({\varphi }_{\ast }v){|}_{\varphi (p)}(f)=v{|}_p({\varphi }^{\ast }f)$$
拉回映射的定义可以推广到$(0,l)$型张量场，只需定义
$$({\varphi }^{\ast }T{)}_{a_1\cdots a_l}{|}_p(v_1{)}^{a_1}\cdots (v_l{)}^{a_l}=T_{a_1\cdots a_l}{|}_{\varphi (p)}({\varphi }_{\ast }{v}_1{)}^{a_1}\cdots ({\varphi }_{\ast }{v}_l{)}^{a_l}$$
类似地，推前映射的推广为
$$({\varphi }_{\ast }T{)}^{a_1\cdots a_k}{|}_{\varphi (p)}({\omega }^1{)}_{a_1}\cdots ({\omega }^k{)}_{a_k}=T^{a_1\cdots a_k}{|}_p({\varphi }^{\ast }{\omega }^1{)}_{a_1}\cdots ({\varphi }^{\ast }{\omega }^k{)}_{a_k}$$
进一步的推广给出
$$({\varphi }_{\ast }T{)}^{a_1\cdots a_k}{}_{b_1\cdots b_l}{|}_{\varphi (p)}({\omega }^1{)}_{a_1}\cdots ({\omega }^k{)}_{a_k}(v_1{)}^{b_1}\cdots (v_l{)}^{b_l}=T^{a_1\cdots a_k}{}_{b_1\cdots b_l}{|}_p({\varphi }^{\ast }{\omega }^1{)}_{a_1}\cdots ({\varphi }^{\ast }{\omega }^k{)}_{a_k}({\varphi }_{\ast }^{-1}v{)}^{b_1}\cdots ({\varphi }_{\ast }^{-1}v{)}^{b_l}$$
和
$$({\varphi }^{\ast }T{)}^{a_1\cdots a_k}{}_{b_1\cdots b_l}{|}_p({\omega }^1{)}_{a_1}\cdots ({\omega }^k{)}_{a_k}(v_1{)}^{b_1}\cdots (v_l{)}^{b_l}=T^{a_1\cdots a_k}{}_{b_1\cdots b_l}{|}_{\varphi (p)}({\varphi }^{-1\ast }{\omega }^1{)}_{a_1}\cdots ({\varphi }^{-1\ast }{\omega }^k{)}_{a_k}({\varphi }_{\ast }v{)}^{b_1}\cdots ({\varphi }_{\ast }v{)}^{b_l}$$

李导数

我们知道光滑矢量场对应单参微分同胚群，也就是说我们考虑该矢量场的积分曲线，然后定义${\varphi }_t(p)$为位于过$p$点的积分曲线上，与$p$点的参数值差$t$的点。对于映射${\varphi }_t$，我们可以考虑其拉回${\varphi }_t^{\ast }$，李导数在此基础上定义为
$${\mathcal{L}}_v{T}^{a_1\cdots a_k}{}_{b_1\cdots b_l}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{t}({\varphi }_t^{\ast }{T}^{a_1\cdots a_k}{}_{b_1\cdots b_l}-T^{a_1\cdots a_k}{}_{b_1\cdots b_l})$$

以积分曲线为$x^1$坐标线的坐标系叫做矢量场的适配坐标系。可以证明，李导数就是对适配坐标系的$x^1$坐标的导数。由此又可以证明$[v,u{]}^{\mu }=(d{x}^{\mu }{)}_a(v^b{\partial }_b{u}^a-u^b{\partial }_b{v}^a)=v^b{\partial }_b{u}^{\mu }=v(u^{\mu })=\frac{\partial u^{\mu }}{\partial x^1}=({\mathcal{L}}_{v}u{)}^{\mu }$. 类似地可以证明
$${\mathcal{L}}_v{T}^{a_1\cdots a_k}{}_{b_1\cdots b_l}=v^c{\nabla }_c{T}^{a_1\cdots a_k}{}_{b_1\cdots b_l}-\sum _{i=1}^k{T}^{a_1\cdots a_k}{}_{b_1\cdots b_l}{\nabla }_c{v}^{a_i}+\sum _{j=1}^l{T}^{a_1\cdots a_k}{}_{b_1\cdots b_l}{\nabla }_{b_j}{v}^c$$

Killing矢量场

$(M,g_{ab})$上的矢量场${\xi }^a$称为Killing矢量场，若它给出的单参微分同胚群是单参等度规群，即${\varphi }^{\ast }{g}_{ab}=g_{ab}$. 按李导数的定义，这等价于${\mathcal{L}}_{\xi }{g}_{ab}=0$. 也就是说，如果$\frac{\partial g_{\mu \nu }}{\partial x^1}=0$，则$(\frac{\partial }{\partial x^1}{)}^a$就是Killing矢量场。而$0={\mathcal{L}}_{\xi }{g}_{ab}={\xi }^c{\nabla }_c{g}_{ab}+g_{cb}{\nabla }_a{\xi }^c+g_{ac}{\nabla }_b{\xi }^c={\nabla }_a{\xi }_b+{\nabla }_b{\xi }_a$. 这被称为Killing方程
$${\nabla }_{(a}{\xi }_{b)}=0$$

静态球对称时空

称时空$(M,g_{ab})$为稳态的，如果它存在类时的Killing矢量场。根据Killing矢量场的定义，有$\frac{\partial g_{\mu \nu }}{\partial t}=({\mathcal{L}}_{\xi }g{)}_{\mu \nu }=0$. 故稳态时空的度规具有时间平移不变性。
$(M,g_{ab})$中的矢量场$v^a$称为超曲面正交的，如果$M$中每一点都存在与$v^a$正交的超曲面。
时空$(M,g_{ab})$称为静态的，如果它存在超曲面正交的类时Killing矢量场。静态度规具有时间反射不变性。
坐标系称为时轴正交的，如果类时坐标基矢与类空坐标基矢正交，此时稳态时空的线元表达式就可以简化为
$$d{s}^2=g_{00}(x^1,x^2,x^3)d{t}^2+g_{ij}(x^1,x^2,x^3)d{x}^{i}d{y}^j$$
使用雅可比行列式求欧氏空间中的球坐标系中的度规可得
$$d{s}^2=d{r}^2+r^{2}d{\theta }^2+r^2{\sin }^2\theta d{\phi }^2$$
度规不含$\phi$，由此容易看出${\xi }_1^a=(\frac{\partial }{\partial \phi }{)}^a$是Killing矢量场。由于球对称性，不难相信$g_{00},g_{11}$也不显含$\theta$和$\phi$. 综上就得到静态球对称度规的一般形式
$$d{s}^2=g_{00}(r)d{t}^2+g_{11}(r)d{r}^2+r^{2}d{\theta }^2+r^2{\sin }^2\theta d{\phi }^2$$
为方便起见，我们把$g_{00}、g_{11}$分别记作$-e^{2A(r)},e^{2B(r)}$.

Schwarzschild真空解

下面我们就可以求此度规的曲率。首先上述度规是正交的，但不归一，其归一形式应为
$$d{s}^2=-(e^{A}dt{)}^2+(e^{B}dr{)}^2+(rd\theta {)}^2+(r\sin \theta d\phi {)}^2$$
也就是其正交归一坐标基底为
$$(e_0{)}^a=e^{-A}(\frac{\partial }{\partial t}{)}^a,(e_1{)}^a=e^{-B}(\frac{\partial }{\partial r}{)}^a,(e_2{)}^a=r^{-1}(\frac{\partial }{\partial \theta }{)}^a,(e_3{)}^a=(r\sin \theta {)}^{-1}(\frac{\partial }{\partial \phi }{)}^a$$
对应的对偶基矢为
$$(e^0{)}_a=e^A(dt{)}_a,(e^1{)}_a=e^B(dr{)}_a,(e^2{)}_a=r(d\theta {)}_a,(e^3{)}_a=r\sin \theta (d\phi {)}_a$$
现在求上述基矢的外微分，以下略去抽象指标，并根据嘉当第一结构方程就有
$$\begin{gathered} d{e}_0=e^A{A}^{\prime }dr\wedge dt=A^{\prime }{e}^{-B}{e}^1\wedge e^0=-e^1\wedge {\omega }_1{}^0-e^2\wedge {\omega }_2{}^0-e^3\wedge {\omega }_3{}^0 \\ d{e}_1=e^{B}dr\wedge dr=0=-e^0\wedge {\omega }_0{}^1-e^2\wedge {\omega }_2{}^1-e^3\wedge {\omega }_3{}^1 \\ d{e}_2=drd\theta =r^{-1}{e}^{-B}{e}^1\wedge e^2=-e^0\wedge {\omega }_0{}^2-e^1\wedge {\omega }_1{}^2-e^3\wedge {\omega }_3{}^2 \\ d{e}_3=(dr\sin \theta +r\cos \theta d\theta )d\phi =r^{-1}{e}^{-B}{e}^1\wedge e^3+r^{-1}\cot \theta e^2\wedge e^3=-e^0\wedge {\omega }_0{}^3-e^1\wedge {\omega }_1{}^3-e^2\wedge {\omega }_2{}^3 \end{gathered}$$
上述方程最简单的非零解为
$$\begin{gathered} {\omega }_1{}^0=-A^{\prime }{e}^{-B}{e}^0=-A^{\prime }{e}^{A-B}dt \\ {\omega }_1{}^2=-r^{-1}{e}^{-B}{e}^2=-e^{-B}d\theta \\ {\omega }_1{}^3=-r^{-1}{e}^{-B}{e}^3=-e^{-B}\sin \theta d\phi \\ {\omega }_2{}^3=-r^{-1}\cot \theta e^3=-\cos \theta d\phi \end{gathered}$$
然后用嘉当第二结构方程求曲率2形式，也即
$$\begin{gathered} R_0{}^1=d{\omega }_0{}^1=[A^{\prime \prime }{e}^{A-B}+A^{\prime }(A^{\prime }-B^{\prime })e^{A-B}]dr\wedge dt=e^{-2B}(A^{\prime \prime }-A^{\prime }{B}^{\prime }+A^{\prime 2})e^0\wedge e^1 \\ {R}_0{}^2={\omega }_0{}^1\wedge {\omega }_1{}^2=-A^{\prime }{e}^{A-2B}dt\wedge d\theta =-r^{-1}{A}^{\prime }{e}^{-2B}{e}^0\wedge e^2 \\ {R}_0{}^3={\omega }_0{}^1\wedge {\omega }_1{}^3=-A^{\prime }{e}^{A-2B}\sin \theta dt\wedge d\phi =-r^{-1}{A}^{\prime }{e}^{-2B}{e}^0\wedge e^3 \\ {R}_1{}^2=d{\omega }_1{}^2+{\omega }_1{}^3\wedge {\omega }_3{}^2=B^{\prime }{e}^{-B}dr\wedge d\theta =r^{-1}{B}^{\prime }{e}^{-2B}{e}^1\wedge e^2 \\ {R}_1{}^3=d{\omega }_1{}^3+{\omega }_1{}^2\wedge {\omega }_2{}^3=(B^{\prime }{e}^{-B}\sin \theta dr-e^{-B}\cos \theta d\theta )\wedge d\phi +e^{-B}\cos \theta d\theta \wedge d\phi =r^{-1}{B}^{\prime }{e}^{-2B}{e}^1\wedge e^3 \\ {R}_2{}^3=d{\omega }_2{}^3+{\omega }_2{}^1\wedge {\omega }_1{}^3+{\omega }_2{}^3\wedge {\omega }_3{}^1=\sin \theta d\theta \wedge d\phi -e^{-2B}\sin \theta d\theta \wedge d\phi =r^{-2}(1-e^{-2B})e^2\wedge e^3 \end{gathered}$$
根据曲率形式的定义$R_{\mu }{}^{\nu }=\frac{1}{2}{R}_{\rho \sigma \mu }{}^{\nu }{e}^{\rho }\wedge e^{\sigma }$，对于$R_0{}^1$来说，因为它的形式中仅含$e^0\wedge e^1$，因此$R_0{}^1=\frac{1}{2}(R_{010}{}^1{e}^0\wedge e^1+R_{100}{}^1{e}^1\wedge e^0)=R_{010}{}^1{e}^0\wedge e^1$，所以就有
$$\begin{gathered} R_{010}{}^1=e^{-2B}(A^{\prime \prime }-A^{\prime }{B}^{\prime }+A^{\prime 2}) \\ {R}_{020}{}^2=R_{030}{}^3=-r^{-1}{A}^{\prime }{e}^{-2B} \\ {R}_{121}{}^2=R_{131}{}^3=r^{-1}{B}^{\prime }{e}^{-2B} \\ {R}_{232}{}^3=r^{-2}(1-e^{-2B}) \end{gathered}$$
故
$$\begin{gathered} R_{00}=R_{010}{}^1+R_{020}{}^2+R_{030}{}^3=e^{-2B}(A^{\prime \prime }-A^{\prime }{B}^{\prime }+A^{\prime 2}-2r^{-1}{A}^{\prime }) \\ {R}_{11}=R_{101}{}^0+R_{121}{}^2+R_{131}{}^3=e^{-2B}(A^{\prime \prime }-A^{\prime }{B}^{\prime }+A^{\prime 2}+2r^{-1}{B}^{\prime }) \\ {R}_{22}=R_{202}{}^0+R_{212}{}^1+R_{232}{}^3=e^{-2B}[r^{-1}(B^{\prime }-A^{\prime })-r^{-2}]+r^{-2} \\ {R}_{33}=R_{303}{}^0+R_{313}{}^1+R_{323}{}^2=R_{22} \end{gathered}$$
以上是正交归一基底下的里奇张量的表达式，如果不习惯的话，也可以用张量的变换法则
$$R_{\mu \nu }^{\prime }=\frac{\partial x^{\rho }}{\partial x^{\mu }}\frac{\partial x^{\sigma }}{\partial x^{\nu }}{R}_{\rho \sigma }$$
变换回球坐标系下，其结果就是
$$\begin{gathered} R_{00}=e^{2(A-B)}(A^{\prime \prime }-A^{\prime }{B}^{\prime }+A^{\prime 2}-2r^{-1}{A}^{\prime }) \\ {R}_{11}=A^{\prime \prime }-A^{\prime }{B}^{\prime }+A^{\prime 2}+2r^{-1}{B}^{\prime } \\ {R}_{22}=-e^{-2B}[1+r(A^{\prime }-B^{\prime })]+1 \\ {R}_{33}=-\{e^{-2B}[1+r(A^{\prime }-B^{\prime })]-1\}{\sin }^2\theta \end{gathered}$$

爱因斯坦场方程为
$$R_{ab}-\frac{1}{2}R{g}_{ab}=8\pi T_{ab}$$
我们令$T_{ab}=0$以便考虑其在真空下的表达式，$R_{ab}-\frac{1}{2}R{g}_{ab}=0$，两边求迹(注意$g^{ab}{g}_{ab}={\delta }^a{}_a$，其迹为$4$)就有$R-2R=0$，于是真空爱因斯坦场方程就是
$$R_{ab}=0$$
再结合前述结果，给出如下方程
$$\begin{gathered} A^{\prime \prime }-A^{\prime }{B}^{\prime }+A^{\prime 2}-2r^{-1}{A}^{\prime }=0 \\ {A}^{\prime \prime }-A^{\prime }{B}^{\prime }+A^{\prime 2}+2r^{-1}{B}^{\prime }=0 \\ -e^{-2B}[1+r(A^{\prime }-B^{\prime })]+1=0 \end{gathered}$$
由前两个方程可以得到$A^{\prime }=-B^{\prime }$，因此$A=-B+\alpha$. 再代入第三个方程得
$$1-2r{B}^{\prime }=e^{2B}$$
这是可分离变量的方程，通过分离变量，得到
$$\frac{2B^{\prime }}{1-e^{2B}}=\frac{1}{r}$$
记$x=e^{2B}$，则$dx=2xdB$，两边积分就有
$$\int \frac{2}{1-x}dB=\int \frac{2}{1-x}\frac{1}{2x}dx=\int (\frac{1}{1-x}+\frac{1}{x})dx=\ln r$$
于是
$$-\ln (1-x)+\ln x+\ln C=\ln \frac{Cx}{1-x}=\ln r$$
解得
$$x=e^{2B}=(1+\frac{C}{r}{)}^{-1}$$
代回原度规表达式得
$$d{s}^2=-(1+\frac{C}{r})e^{2\alpha }d{t}^2+(1+\frac{C}{r}{)}^{-1}d{r}^2+r^{2}d{\theta }^2+r^2{\sin }^2\theta d{\phi }^2$$
考虑新坐标$\hat{t}=e^{\alpha }t$，并仍将其记作$t$，上式就可以简化为
$$d{s}^2=-(1+\frac{C}{r})d{t}^2+(1+\frac{C}{r}{)}^{-1}d{r}^2+r^{2}d{\theta }^2+r^2{\sin }^2\theta d{\phi }^2$$
这就是Schwarzschild度规。注意到当$r\to \infty$时，上述度规自然就变成闵可夫斯基度规的球坐标形式，这说明Schwarzschild度规是渐进平直的。

为了得出$C$的具体表达式，注意到一阶近似下有$(1+\frac{C}{r}{)}^{-1}=(1-\frac{C}{r})$，于是上式就近似为
$$d{s}^2=-d{t}^2+d{r}^2+r^{2}d{\theta }^2+r^2{\sin }^2\theta d{\phi }^2-\frac{C}{r}(d{t}^2+d{r}^2)$$
而一阶近似下$g_{ab}={\eta }_{ab}+{\gamma }_{ab}$，也就是说${\gamma }_{00}=-\frac{C}{r}$，根据牛顿极限的结果，就有$\varphi =\frac{C}{2r}$. 而在牛顿引力论中，$\varphi =-\frac{M}{r}$，于是$C=-2M$，这样就算是得到了Schwarzschild度规的最终表达式
$$d{s}^2=-(1-\frac{2M}{r})d{t}^2+(1-\frac{2M}{r}{)}^{-1}d{r}^2+r^{2}d{\theta }^2+r^2{\sin }^2\theta d{\phi }^2$$
其中$M$是星体质量。