matlab excel 精度,1.3.4 准确度与精度

1.3.4  准确度与精度

准确度与精度经常互换使用，但是在计算应用程序中它们还是有不同的含义。准确度是指某个计算值与实际值的接近程度，它本身是一个模型的函数。例如，在前面求炮弹***发射高度的例子里，所取的时间步数越多，求得的结果越接近"准确的"解析解。此外还要注意这个模型里的几个假设，例如，我们忽略了风的阻力的影响。这个假设也会影响解的准确度。

解的精度取决于输入值的正确性和这些数据在计算机里的存放形式。例如，在炮弹发射这个例子里，发射角是35? ，但是这个角度值准确吗？这要取决于炮弹的发架的设置和角度的测量。这个角度值可能是精确到度，或精确到十分之一度或精确到5?。

在科学领域里，通常输入变量的测量值的精度是已知的，计算结果的精度取决于输入值的有效位数。对于带小数点的数，它的有效位数定义为***位非零数字与***一位之间的位数。考虑下面的例子：

在进行运算时，运算结果的精度由输入值的最小精度决定。对于加法和减法运算，这意味着，结果中小数点右侧的位数必须等于输入值中小数点右侧的最少位数。例如：

对于乘法和除法运算，运算结果的有效位数必须等于输入值的有效位数的最小值。例如：

有些量是准确值。例如，1ft正好等于12in。因此，如果我们要把11.556in转换为ft，则结果是：

不带小数点的数的精度一般都是无法确定的。例如，我们前面讨论过，炮弹的发射角度35?的精度就是如此。工程问题经常出现这种情况，即总是存在一些输入量的精度无法确定。因此，前面介绍的与精度有关的运算规则不能使用，还必须说明有效数字的位数。许多工程教材建议为最终结果保留3位有效数字(有的教材建议如果***位有效数字是1，要保留4位有效数字)。用手工进行运算时，中间结果的有效数字位数应该保留比最终结果多几位有效位数字。例如，如果把sin(35?)的值舍入为0.57，就不可以在最终的结果里保留多于2位的有效数字。

用计算机求解时，不会对中间结果进行舍入操作，因此最终结果的精度通常取决于输入值的精度。这里必须使用"通常"这个词，因为在有些情况下，如运算中同时用到很大和很小的数，用计算机计算也会产生累积误差。例如，当我们利用一种名为有限元分析方法的计算技术分析机械结构时，需要求解数千个模拟方程，如果在这些方程中的数值相差几个数量级，则求解算法的程序必须想办法使计算误差最小化。就工程专业的学生和正在实习的工程师们经常遇到的问题而言，这不会成为一个问题。Excel和MATLAB里的数值的精度到底是多少呢？Excel保留15位有效数字。而在默认情况下，MATLAB以双精度形式存储数值，它的精度也是15位。这里的"双精度"这个术语是指存储这样一个数需要用两个字节的计算机内存存储，而单精度数是指存储这样的一个数需要占用一个字节的计算机内存。在计算机的早期发展阶段，内存空间非常有限，因此只有为了确保运算精度时才使用双精度数值。使用双精度数也会增加计算时间。今天，由于计算机的硬件价格非常低，而且CPU运算速度非常快，因此，几乎没有必要使用单精度数。尽管如此，MATLAB还是支持单精度数。因此当我们需要处理超大规模数据集时，可以使用单精度数。

关于准确度和精度，有一点需要特别引起读者的注意。许多学生在用手工计算时，很自然会把运算结果舍入到一定精度，但是当他们用计算机程序求解一个工程问题时，总是在计算结果的报告里，包括了显示在计算机屏幕上的全部位数。我们这样做就是把计算机求解过程看成是一个黑盒，根本没有考虑到在输入与输出之间的运算过程。在计算机求解结果的报告中，如果我们使用合适的有效位数，就会给他人这样的印象：我们了解与该问题有关的一些假设和近似条件。工程专业的学生和实习工程师们必须正确理解计算结果，引用计算结果时要使用合理的有效位数，不要照搬计算机的输出结果。

【责任编辑：董书 TEL：(010)68476606】

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