概率统计Python计算：一元线性回归回归系数a=0的假设检验

设试验样本数据$x=(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$，$Y=(Y_1,Y_2,\cdots ,Y_n)$，若拒绝假设
$$H_0:a=0(H_1:a\ne 0)$$
则诸$Y_i$~$N(ax+b,{\sigma }^2)$，$i=1,2,\cdots ,n$。由于$(\stackrel{\wedge }{a}-a)\sqrt{\frac{n\stackrel{\wedge }{{\sigma }^2}}{(n-2)\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2}}$~$t(n-2)$，可将$\stackrel{\wedge }{a}\sqrt{\frac{n\stackrel{\wedge }{{\sigma }^2}}{(n-2)\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2}}$作为假设检验量，检验假设$H_0:a=0$。
然而，函数linregress函数的返回值所含字段pvalue，就是表示的该统计量值对应检验p值，只需将其与给定的显著水$\alpha$比较，即可得到检验结果。
当假设$H_0:a=0$被拒绝时，认为回归效应是显著的。此时，可利用linregress函数的返回值所含的表示样本相关系数$\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2}\sqrt{\sum _{i=1}^n(y_i-\overline{y}{)}^2}}$的字段rvalue来判断回归效应的高低：其绝对值越接近1，意味着回归效应越高。
例1设炼铝厂所产铸模的抗张强度与所用铝的硬度有关。设当铝的硬度为$x$时，抗张强度$Y$~$N(ax+b,{\sigma }^2)$，其中$a$，$b$和${\sigma }^2$均未知。对于一系列的$x$值，测得相应的抗张强度如下表
$$\begin{gathered} \text{硬度}x:51,53,60,64,68,70,70,72,83,84 \\ \text{抗张强度}Y:283,293,290,256,288,349,340,354,324,343 \end{gathered}$$
希望根据样本数据计算假设$H_0:a=0$对显著水平$\alpha =0.05$的检验。
解： 下列代码完成本例计算。

import numpy as np
from scipy.stats import linregress
alpha=0.05
x=np.array([51, 53, 60, 64, 68, 70, 70, 72, 83, 84])
y=np.array([283, 293, 290, 286, 288, 349, 340, 354, 324, 343])
res=linregress(x, y)
print('H0:a=0 is %s'%(res.pvalue>=alpha))
print('correlation coefficient is %.4f'%res.rvalue)

第6行调用linregress函数，返回值为res。第7行利用res的pvalue字段检验回归系数$a=0$的假设，第8行显示表示回归效应的res的rvalue字段值。运行程序，输出

H0:a=0 is False
correlation coefficient is 0.6968

表示拒绝假设$H_0:a=0$，且样本相关系数值为0.6968，回归效应比较高（超过0.5）。
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