01背包、完全背包（异同）

01背包问题和完全背包问题的差别在于：01背包的每个物品只有一个，而完全背包有无限个。
在一维解法上，01背包是从右向左，而完全背包是从左向右。

01背包

例题和状态转移方程

AcWing-01背包问题
题目描述
有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0 0 输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
8

状态转移方程如下

s(i,j) = max (s(i-1,j), s(i-1,j-v)+w )

二维解法

#include 
#include 

using namespace std;

const int N=1010;
int v[N],w[N];
int s[N][N];

int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>v[i]>>w[i];
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=m;j++)
        {
            s[i][j]=s[i-1][j];	// 初始化s[i][j]
            if(j>=v[i])
            s[i][j]=max(s[i][j],s[i-1][j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    
    cout<<s[n][m];
    return 0;
}

一维解法

#include 
#include 

using namespace std;

const int N=1010;
int v[N],w[N];
int s[N];

int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>v[i]>>w[i];
        
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=m;j>=v[i];j--)	// 注意从右向左
        {
            s[j]=max(s[j],s[j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    cout<<s[m];
    return 0;
}

完全背包

例题和状态转移方程

AcWing-完全背包问题
题目描述
有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0 0 输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
10

状态转移方程

1、s(i,j)   = max (s(i-1,j), s(i-1,j-v)+w, s(i-1,j-2v)+2w ...)
2、s(i,j-v) = max (s(i-1,j-v), s(i-1,j-2v)+w ...)	// 注意没有 +w
1 和 2 合并后可得
s(i,j) = max (s(i-1,j), s(i,j-v)+w )

二维解法

#include
#include
using namespace std;

const int N=1010;
int n,m;
int v[N],w[N];
int s[N][N];

int main()
{
    cin>>n>>m;
    
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>v[i]>>w[i];
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=m;j++)
        {
            s[i][j]=s[i-1][j];	// 初始化s[i][j]
            if(j>=v[i])
            s[i][j]=max(s[i][j],s[i][j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    
    cout<<s[n][m];
    return 0;
}

一维解法

#include
#include
using namespace std;

const int N=1010;
int n,m;
int v[N],w[N];
int s[N];
   
int main()
{
    cin>>n>>m;
    
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>v[i]>>w[i];
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=v[i];j<=m;j++)	// 从左到右
        {
            s[j]=max(s[j],s[j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    
    cout<<s[m];
    return 0;
}

01背包和完全背包的异同

1、
状态转移方程的差异：
01背包：

s(i,j) = max (s(i-1,j), s(i-1,j-v)+w )

完全背包：

s(i,j) = max (s(i-1,j), s(i,j-v)+w )

只差了个“-1”

2、
根据上面两个题可以看到，在一维解法中，两者都存在这一条语句：

s[j]=max(s[j],s[j-v[i]]+w[i]);

不同的是，01背包是从右向左：

for(int i=1;i<=n;i++)
{
    for(int j=m;j>=v[i];j--)	// 注意从右向左
    {
        s[j]=max(s[j],s[j-v[i]]+w[i]);
    }
}

而完全背包是从左向右：

for(int i=1;i<=n;i++)
{
    for(int j=v[i];j<=m;j++)	// 从左到右
    {
        s[j]=max(s[j],s[j-v[i]]+w[i]);
    }
}