屏幕图形显示原理及曲线拟合算法

提示：本文讲解在LCD、LED上各种图形显示的算法原理

一、画点、画线

1：画点的实现是整个画图最基础的功能，其原理是对屏幕上最小的单位（像素点）进行赋值，驱动屏幕上不同像素点的状态。
2：画线的实现根据直线方程y=a*x+b，这里将方程简化成y=a*x，将直线与y轴的交点设为原点。这里直线划分为两个类型：斜率绝对值等于1为界限，若不分类则会出错。举个栗子：
1）当斜率等于0.5时，如y=0.2x，当x取值1-->20，y的值为0.2 0.4 0.6 0.8.....3.6 3.8 4但y的值只能为整数，这里采用四舍五入的方式，可以看到，斜率在小于1的情况下x轴和y轴都是正常连续的。
2）但斜率大于1时，如y=10x，当x取值1-->20，y的值为10 20 30.......180 190 200，明显此时x轴连续，但y轴却是间隔了10个点，屏幕上显示的也是一个个分开的点。
3）所以当直线斜率绝对值大于1时，我们可以假象将坐标轴旋转九十度，以y轴坐标为起始，函数化为x=y*1/a，即x=0.1y，此时y从1开始递增，x的值也是连续的。当以x的值递增时，先画出第一象限的直线，当以y的值递增时，先画出第二象限的直线，另一部分通过镜像原理画出。

思路总结：首先确定坐标原点，其次根据斜率确定递增轴，最后通过镜像画出整条直线

二、画圆

画圆的实现依据的是坐标原点和圆的半径r，将圆的半径作为直角三角形的斜边，x和y轴坐标作为直角边。以x轴为递增轴，由1-->x=y,由勾股定理得出y轴数据，同样采用四舍五入的方式，画出1/8圆弧。这里的的圆弧处在第一象限，要将第一象限补全，方法是将得到的坐标倒置，如：(2,5)-->(5,2)这样就得到了1/4圆弧，最后通过镜像原理得到整个圆。注意注意注意！！！以上方法由于圆弧斜率的变化导致像素点分布不均，随着斜率绝对值增大，随着x轴递增，y轴的间隔会不断增大，所以要先画出1/8圆再镜像处理
另外，也可以使用参数方程求解，如下：角度值取0-45°得1/8圆再镜像处理，这样保证像素点均匀分布，当圆心在原点，Xc，Yc等于0。

三、画椭圆

画椭圆和画圆类似，使用参数方程求解，公式如下。当圆心在原点，Xc，Yc等于0，椭圆需要求取1/4的坐标，即角度值取0-90°，然后通过镜像原理得出整个椭圆坐标。

四、填充方法

上述方法画出的图形都只是一条线组成，我们可以通过填充让图形更加饱满。方法很简单，当我们计算出圆或椭圆外围上的一个坐标点之后，我们固定y坐标，x坐标递减到0，依次填充，以此类推直到填充完1/8(1/4)，然后通过镜像原理填充其他位置。
圆环，椭圆环的填充，设外环和内环半径分别为R、r，横坐标x由0-R变化，当x时，只填充y(r)部分，当r时，进行全部填充。

五、贝塞尔拟合算法

效果展示如链接：贝塞尔拟合算法

如上图所示，对于平面上的两个点 P0 和 P1，假设另一点 B 匀速地从 P0 点运动到 P1 点，则有 B 点在 t 时刻的坐标公式：

将 B 点在各个时刻的坐标依次连接起来所形成的线，就是所谓的贝塞尔曲线。此公式表示的是一次贝塞尔曲线，也称为线性贝塞尔曲线。

二次贝塞尔曲线

同样地，对于平面上的三个点 P0、P1 和 P2 ，假设 P0 P1 之间有个点 B1 匀速地从 P0 运动到 P1 ，P1 P2 之间有个点 B2 匀速地从 P1 运动到 P2，则有：


假设另一点 B 匀速地从 B1 运动到 B2，则有 B 点的坐标公式：

将 B1 和 B2 的坐标公式代入上面的表达式，整理后得到 B 点的坐标公式：

B 点在各个时刻的坐标所连成的曲线即为二次贝塞尔曲线，其中 P0 和 P2 称为数据点，P1 称为控制点 ，n个控制点对应n+1次方程。

三次贝塞尔曲线

一般参数公式

n阶贝塞尔曲线可如下推断。给定点P0、P1、…、Pn，其贝塞尔曲线即：


其中B和P都是向量，需要分别计算每个点的x和y的分量坐标。

示例：

六、多项式拟合算法

设由实验测得函数y=f(x)在n个点x1 ,x2,…,xn的值为y1,y2,…,yn,要求这个函数的一个近似表达式。我们用一个次数低于n-1(m
写成矩阵形式：

已知函数表如下，试用二次多项式曲线来拟合这组数据。



计算列表如下：

由上表得矩阵方程如下：