距离度量 —— 闵可夫斯基距离(Minkowski Distance)

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一、概述

闵可夫斯基距离 (Minkowski Distance)，也被称为 闵氏距离。它不仅仅是一种距离，而是将多个距离公式（曼哈顿距离、欧式距离、切比雪夫距离）总结成为的一个公式。

二、计算公式

1. 闵氏距离公式

首先假设两个 n 维变量 $A(x_{11},x_{12},...,x_{1n})$ 与 $B(x_{21},x_{22},...,x_{2n})$。

对于这两个 n 维变量，则有闵氏距离公式为：$$d_{12}=\sqrt[p]{\sum _{k=1}^n|x_{1k}-x_{2k}{|}^p}$$

乍一看，可能觉得这个公式很复杂，也觉得这个公式与前面说到的距离公式（曼哈顿距离、欧式距离、切比雪夫距离）没太大关联，但当我分解一下，就知道有什么关联了。

2. 闵氏距离的参数 p

闵氏距离主要和它的参数 $p$ 有关，$p$ 值不同，公式也将不同。

① $p=1$ 时，闵氏距离 为 曼哈顿距离

$$\begin{array}{rl}{d}_{12}& =\sqrt[p]{\sum _{k=1}^n|x_{1k}-x_{2k}{|}^p}\\ & =\sum _{k=1}^n|x_{1k}-x_{2k}|\end{array}$$

② $p=2$ 时，闵氏距离 为 欧式距离

$$\begin{array}{rl}{d}_{12}& =\sqrt[p]{\sum _{k=1}^n|x_{1k}-x_{2k}{|}^p}\\ & =\sqrt{\sum _{k=1}^n|x_{1k}-x_{2k}{|}^2}\\ & =\sqrt{\sum _{k=1}^n(x_{1k}-x_{2k}{)}^2}\end{array}$$

③ $p=\infty$ 时，闵氏距离 为 切比雪夫距离

$$\begin{array}{rl}{d}_{12}& =\sqrt[p]{\sum _{k=1}^n|x_{1k}-x_{2k}{|}^p}\\ & =\sqrt[\infty ]{\sum _{k=1}^n|x_{1k}-x_{2k}{|}^{\infty }}\\ & =max(|x_{1i}-x_{2i}|)\end{array}$$

3. 闵氏距离的缺点

① 将各个分量的量纲(scale)，也就是“单位”相同的看待了;

例如：二维样本(身高[单位:cm],体重[单位:kg]),现有三个样本：a(180,50)，b(190,50)，c(180,60)。

a与b的闵氏距离（无论是曼哈顿距离、欧氏距离或切比雪夫距离）等于a与c的闵氏距离。但实际上身高的 10cm 并不能和体重的 10kg 划等号。

② 未考虑各个分量的分布（期望，方差等）可能是不同的。