C++/Python:罗德里格斯旋转矩阵

背景：给定两个向量V1,V2，怎么求之间的转换矩阵?

[羽量级公司发月饼了，比去年强，手提式的了\dog]

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1、求旋转轴

通过V1和V2的叉积，可以知道旋转轴Vcross（垂直屏幕指向外侧或内侧的向量）

vcross = np.cross(v1, v2)

这里还可以将旋转轴向量单位化，方便后面使用

vcross_normalize = 1 / np.linalg.norm(vcross) * vcross

 2、求旋转角度

还可以知道两向量的夹角（这个夹角是沿着旋转轴的角度，因为两向量确定了一个平面，而旋转轴是垂直平面的）

theta = math.acos(v1.dot(v2)/(np.linalg.norm(v1)*np.linalg.norm(v2)))

 3、求旋转矩阵

知道了旋转轴以及旋转角度，就可以祭出罗德里格斯(Rodriguez)公式了，可以直接代入得出旋转矩阵

 上式中的分别指单位化后的旋转轴向量vcross_normalize的xyz

Rot = np.zeros((3, 3), dtype=np.float32)
Rot[0][0] = math.cos(theta)+(1-math.cos(theta))*(vcross_normalize[0]**2)
Rot[0][1] = vcross_normalize[0]*vcross_normalize[1]*(1-math.cos(theta))-vcross_normalize[2]*math.sin(theta)
Rot[0][2] = vcross_normalize[1]*math.sin(theta)+vcross_normalize[0]*vcross_normalize[2]*(1-math.cos(theta))
Rot[1][0] = vcross_normalize[2]*math.sin(theta)+vcross_normalize[0]*vcross_normalize[1]*(1-math.cos(theta))
Rot[1][1] = math.cos(theta)+(1-math.cos(theta))*(vcross_normalize[1]**2)
Rot[1][2] = -vcross_normalize[0] * math.sin(theta) + vcross_normalize[1] * vcross_normalize[2] * (
            1 - math.cos(theta))
Rot[2][0] = -vcross_normalize[1] * math.sin(theta) + vcross_normalize[0] * vcross_normalize[2] * (
        1 - math.cos(theta))
Rot[2][1] = vcross_normalize[0] * math.sin(theta) + vcross_normalize[1] * vcross_normalize[2] * (
        1 - math.cos(theta))
Rot[2][2] = math.cos(theta) + (1 - math.cos(theta)) * (vcross_normalize[2] ** 2)

R = np.matrix(Rot)  # 转为矩阵方便后续运算

这样，就求出了旋转矩阵R。 

4、验证

毕竟这里没有推导，拿过来就用，多少有点犯嘀咕，那就验证一下吧。

旋转后的点=R*旋转前的点

旋转前的点 = *旋转后的点

预期效果：

 假如在水平方向有一条线，所有点的y坐标都相同，顺时针旋转45度后，所有点的y坐标应该是一个等差的，斜率为-1。（此时的两个向量v1，v2分别取（0,1,0）和（1,1,0），刚好是45度）

测试结果：

import matplotlib.pyplot as plt
import mpl_toolkits.axisartist as axisartist
import cv2
import math
import numpy as np

norm_wall = np.array([0, 1, 0],dtype=np.float32)
norm_pro = np.array([1,1,0],dtype=np.float32)

theta = math.acos(norm_wall.dot(norm_pro)/(np.linalg.norm(norm_wall)*np.linalg.norm(norm_pro)))
vcross = np.cross(norm_wall, norm_pro)
print(vcross)
vcross_normalize = 1 / np.linalg.norm(vcross) * vcross
print(vcross_normalize)
Rot = np.zeros((3, 3), dtype=np.float32)
Rot[0][0] = math.cos(theta)+(1-math.cos(theta))*(vcross_normalize[0]**2)
Rot[0][1] = vcross_normalize[0]*vcross_normalize[1]*(1-math.cos(theta))-vcross_normalize[2]*math.sin(theta)
Rot[0][2] = vcross_normalize[1]*math.sin(theta)+vcross_normalize[0]*vcross_normalize[2]*(1-math.cos(theta))
Rot[1][0] = vcross_normalize[2]*math.sin(theta)+vcross_normalize[0]*vcross_normalize[1]*(1-math.cos(theta))
Rot[1][1] = math.cos(theta)+(1-math.cos(theta))*(vcross_normalize[1]**2)
Rot[1][2] = -vcross_normalize[0] * math.sin(theta) + vcross_normalize[1] * vcross_normalize[2] * (
            1 - math.cos(theta))
Rot[2][0] = -vcross_normalize[1] * math.sin(theta) + vcross_normalize[0] * vcross_normalize[2] * (
        1 - math.cos(theta))
Rot[2][1] = vcross_normalize[0] * math.sin(theta) + vcross_normalize[1] * vcross_normalize[2] * (
        1 - math.cos(theta))
Rot[2][2] = math.cos(theta) + (1 - math.cos(theta)) * (vcross_normalize[2] ** 2)

R = np.matrix(Rot)

p_arr = []
for i in range(20):
    x = i-10
    y = 10
    p_arr.append([x,y,0])

p_out = []
for p in p_arr:
    tmp = R*np.matrix(p).T
    p_out.append(tmp)

################
fig = plt.figure(figsize=(80, 80))  # 创建画布
#使用axisartist.Subplot方法创建一个绘图区对象ax
ax = axisartist.Subplot(fig, 111)  # 111 代表1行1列的第1个，subplot()可以用于绘制多个子图
fig.add_axes(ax)  # 将绘图区对象添加到画布中
# ----------2. 绘制带箭头的x-y坐标轴#通过set_visible方法设置绘图区所有坐标轴隐藏-------
ax.axis[:].set_visible(False)  # 隐藏了四周的方框
#ax.new_floating_axis代表添加新的坐标轴
ax.axis["x"] = ax.new_floating_axis(0,0)
ax.axis["x"].set_axisline_style("->", size = 1.0)  # 给x坐标轴加上箭头
ax.axis["y"] = ax.new_floating_axis(1,0)  # 添加y坐标轴，且加上箭头
ax.axis["y"].set_axisline_style("-|>", size = 1.0)
#设置x、y轴上刻度显示方向
ax.axis["x"].set_axis_direction("top")
ax.axis["y"].set_axis_direction("right")
##################

##画原始点
p_arr = np.array(p_arr)
plt.plot(p_arr[:,0],p_arr[:,1],color='red')
''' 设置x轴的刻度：plt.xlim() '''
plt.xlim(-20,20)   # 设置x轴的刻度从-2到12
''' 设置y轴的刻度：plt.ylim() '''
plt.ylim(-2,20)    # 设置x轴的刻度从2到10
##画旋转后的点
p_out = np.array(p_out)
plt.plot(p_out[:,0],p_out[:,1],color='blue')
plt.show()

 5、验证2

上面是正向验证，在反向验证一下，给一些斜线上的点比如y=-0.5x+10，将其旋转到水平（即y轴相等），可以设置V1=（0,1,0），V2=（0.5,1,0），计算的R旋转矩阵还是从V1向V2旋转，此时想将旋转后的点变换到旋转前，需要使用R的逆（这里旋转矩阵应该是正交矩阵，转置即为逆）

旋转后的点=R*旋转前的点

旋转前的点 = *旋转后的点

 预期效果：

测试结果：

p_out = []
for p in p_arr:
    tmp = R.I*np.matrix(p).T
    p_out.append(tmp)

最后贴一个根据两个向量计算它们之间的旋转矩阵 - 朔月の流光 - 博客园

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2022年9月1日add

上面贴的链接图有误，加减号有问题。如下例子。

Mat get_rot_matrix()
{
    Point3d norm_wall = Point3d(0, 1, 0);
    Point3d norm_pro = Point3d(1, 0, 0);

    Point3d va = norm_wall / norm(norm_wall);
    Point3d vb = norm_pro / norm(norm_pro);

    Point3d vs = va.cross(vb);
    Point3d v = vs / norm(vs);
    double ca = vb.dot(va);
    Point3d vt = v * (1 - ca);
    Mat rot = Mat::zeros(3, 3, CV_64FC1);

    rot.at(0, 0) = vt.x * v.x + ca;
    rot.at(1, 1) = vt.y * v.y + ca;
    rot.at(2, 2) = vt.z * v.z + ca;

    vt.x *= v.y;
    vt.z *= v.x;
    vt.y *= v.z;

    rot.at(0, 1) = vt.x - vs.z;
    rot.at(0, 2) = vt.z + vs.y;

    rot.at(1, 0) = vt.x + vs.z;
    rot.at(1, 2) = vt.y - vs.x;

    rot.at(2, 0) = vt.z - vs.y;
    rot.at(2, 1) = vt.y + vs.x;
    cout << rot << endl;
    return rot;
}

--end--