机器学习中各种损失函数对比总结
文章目录
- 一、分类问题
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- 1. 0-1损失函数(zero-one loss)
- 2. Hinge 损失函数
- 3. log对数损失函数
- 4. Logistic损失
- 5. 交叉熵损失函数 (Cross-entropy loss function)
- 二、回归问题
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- 1. 平均绝对误差(MAE)
- 2. 平均绝对百分误差MAPE
- 3. 均方误差(MSE)
- 4. Huber损失
- 三、常见问题
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- 1. 交叉熵函数与最大似然函数的联系和区别？
- 2. 在用sigmoid作为激活函数的时候，为什么要用交叉熵损失函数，而不用均方误差损失函数？
损失函数用来评价模型的预测值和真实值不一样的程度，损失函数越好，通常模型的性能越好。不同的模型用的损失函数一般也不一样。
损失函数分为经验风险损失函数和结构风险损失函数。经验风险损失函数指预测结果和实际结果的差别，结构风险损失函数是指经验风险损失函数加上正则项。
一、分类问题
1. 0-1损失函数(zero-one loss)
0-1损失是指预测值和目标值不相等为1， 否则为0:
L ( Y , f ( X ) ) = { 1 , Y ≠ f ( X ) 0 , Y = f ( X ) L(Y, f(X))=\left\{\begin{array}{l} 1, Y \neq f(X) \\ 0, Y=f(X) \end{array}\right. L(Y,f(X))={1,Y=f(X)0,Y=f(X)
特点：
- 0-1损失函数直接对应分类判断错误的个数，但是它是一个非凸函数，不太适用.
- 感知机就是用的这种损失函数。但是相等这个条件太过严格，因此可以放宽条件，即满足 ∣ Y − f ( x ) ∣ < T |Y-f(x)|
∣Y−f(x)∣<T 时认为相等，
L ( Y , f ( X ) ) = { 1 , ∣ Y − f ( X ) ∣ ≥ T 0 , ∣ Y = f ( X ) ∣ < T L(Y, f(X))=\left\{\begin{array}{l} 1,|Y-f(X)| \geq T \\ 0,|Y=f(X)|L(Y,f(X))={1,∣Y−f(X)∣≥T0,∣Y=f(X)∣<T
2. Hinge 损失函数
Hinge损失函数标准形式如下：
L ( y , f ( x ) ) = max ( 0 , 1 − y f ( x ) ) L(y, f(x))=\max (0,1-y f(x)) L(y,f(x))=max(0,1−yf(x))
特点：
- hinge损失函数表示如果被分类正确，损失为0，否则损失就为 1 − y f ( x ) 1-y f(x) 1−yf(x) 。SVM就是使用这个损失函数。
- 一般的 f ( x ) f(x) f(x)是预测值，在-1到1之间， y y y是目标值(-1或1)。其含义是， f ( x ) f(x) f(x)的值在-1和+1之间就可以了，并不鼓励 ∣ f ( x ) ∣ > 1 |f(x)|>1 ∣f(x)∣>1 ，即并不鼓励分类器过度自信，让某个正确分类的样本距离分割线超过1并不会有任何奖励，从而使分类器可以更专注于整体的误差。
- 健壮性相对较高，对异常点、噪声不敏感，但它没太好的概率解释。
3. log对数损失函数
log对数损失函数的标准形式如下：
L ( Y , P ( Y ∣ X ) ) = − log P ( Y ∣ X ) L(Y, P(Y \mid X))=-\log P(Y \mid X) L(Y,P(Y∣X))=−logP(Y∣X)
特点：
- log对数损失函数能非常好的表征概率分布，在很多场景尤其是多分类，如果需要知道结果属于每个类别的置信度，那它非常适合。
- 健壮性不强，相比于hinge loss对噪声更敏感。
- 逻辑回归的损失函数就是log对数损失函数。
4. Logistic损失
Logistic损失标准形式如下：
L ( y , f ( x ) ) = log 2 ( 1 + e − y f ( x ) ) L(y, f(x))=\log_2 (1+e^{-yf(x)}) L(y,f(x))=log2(1+e−yf(x))
特点：
- 该函数处处光滑，可使用梯度下降法优化
- 但该函数对所有样本点都有惩罚，因此对异常值相对敏感。
5. 交叉熵损失函数 (Cross-entropy loss function)
交叉熵损失函数的标准形式如下:
L ( y , f ( x ) ) = − 1 n ∑ x [ y ln f ( x ) + ( 1 − y ) ln ( 1 − f ( x ) ) ] L(y, f(x))=-\frac{1}{n} \sum_{x}[y \ln f(x)+(1-y) \ln (1-f(x))] L(y,f(x))=−n1x∑[ylnf(x)+(1−y)ln(1−f(x))]
特点：
- 本质上也是一种对数似然函数，可用于二分类和多分类任务中。对数损失函数和交叉熵损失函数应该是等价的。
二分类问题中的loss函数如上（输入数据是softmax或者sigmoid函数的输出）
多分类问题中的loss函数如下（输入数据是softmax或者sigmoid函数的输出）：
loss = − 1 n ∑ i y i ln a i \text { loss }=-\frac{1}{n} \sum_{i} y_{i} \ln a_{i} loss =−n1i∑yilnai - 当使用sigmoid作为激活函数的时候，常用交叉熵损失函数而不用均方误差损失函数，因为它可以完美解决平方损失函数权重更新过慢的问题，具有“误差大的时候，权重更新快；误差小的时候，权重更新慢”的良好性质。
二、回归问题
1. 平均绝对误差(MAE)
绝对值损失函数是计算预测值与目标值的差的绝对值：
M A E = 1 n ∑ i = 1 n ∣ Y i − f ( x i ) ∣ MAE=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n|Y_i-f(x_i)| MAE=n1i=1∑n∣Yi−f(xi)∣
特点：
- 绝对值损失相当于做中值回归，相比MSE对异常点更鲁棒一些。
- 但在 f = y f=y f=y处无法求导
2. 平均绝对百分误差MAPE
M A P E = 1 n ∑ i = 1 n ∣ ( Y i − f ( x i ) ) Y i ∣ MAPE=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n|\frac{(Y_i-f(x_i))}{Y_i}| MAPE=n1i=1∑n∣Yi(Yi−f(xi))∣
特点：
- MAPE存在不可微点。
- 当实际值为零时，MAPE会采用未定义的值，此外，当实际值非常接近零时，它将采用极值。
- MAPE是不对称的，它对负误差（当预测值高于实际值时）要比对正误差施加更大的罚款。解释如下：对于过低的预测，百分比误差不能超过100％。虽然没有太高的预测上限。因此，MAPE将偏向于预测不足而不是过度预测的模型。
3. 均方误差(MSE)
平方损失函数标准形式如下：
M S E = 1 n ∑ i = 1 n ( Y i − f ( x i ) ) 2 MSE=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (Y_i-f(x_i))^{2} MSE=n1i=1∑n(Yi−f(xi))2
特点：
- 最常用的回归损失函数，函数光滑，可以使用梯度下降法优化，
- 缺点是异常点敏感，预测值与真实值越远惩罚越大。
4. Huber损失
Huber损失标准形式如下：
f ( x ) = { ( Y − f ( X ) ) 2 , ∣ Y − f ( X ) ∣ ≤ δ 2 δ ∣ Y − f ( X ) ∣ − δ 2 , ∣ Y − f ( X ) ∣ > δ f(x)=\left\{ \begin{aligned} &(Y-f(X))^{2}, &|Y-f(X)| \leq\delta\\ &2\delta|Y-f(X)|-\delta^2, &|Y-f(X)| > \delta \end{aligned} \right. f(x)={(Y−f(X))2,2δ∣Y−f(X)∣−δ2,∣Y−f(X)∣≤δ∣Y−f(X)∣>δ
特点：
- 兼具平方损失的处处可导性，绝对值损失的异常点鲁棒性。
三、常见问题
1. 交叉熵函数与最大似然函数的联系和区别？
区别：交叉熵函数使用来描述模型预测值和真实值的差距大小，越大代表越不相近；似然函数的本质就是衡量在某个参数下，整体的估计和真实的情况一样的概率，越大代表越相近。
联系：交叉熵函数可以由最大似然函数在伯努利分布的条件下推导出来，或者说最小化交叉熵函数的本质就是对数似然函数的最大化。
2. 在用sigmoid作为激活函数的时候，为什么要用交叉熵损失函数，而不用均方误差损失函数？
分析一下两个误差函数的参数更新过程就会发现原因了。
对于均方误差损失函数，更新参数 w w w 和 b b b ：
w = w − η ∂ L o s s ∂ w = w − η ( f ( x ) − y ) σ ′ ( z ) x b = b − η ∂ L o s s ∂ b = b − η ( f ( x ) − y ) σ ′ ( z ) \begin{gathered} w=w-\eta \frac{\partial Loss}{\partial w}=w-\eta(f(x)-y) \sigma^{\prime}(z) x \\ b=b-\eta \frac{\partial Loss}{\partial b}=b-\eta(f(x)-y) \sigma^{\prime}(z) \end{gathered} w=w−η∂w∂Loss=w−η(f(x)−y)σ′(z)xb=b−η∂b∂Loss=b−η(f(x)−y)σ′(z)
其中 z = w x + b z=wx+b z=wx+b,因为sigmoid的性质，导致 σ ′ ( z ) \sigma^{\prime}(z) σ′(z)在 z z z取大部分值时会很小（如下图标出来的两端，几乎接近于平坦），这样会使得 η ( f ( x ) − y ) σ ′ ( z ) \eta(f(x)-y) \sigma^{\prime}(z) η(f(x)−y)σ′(z)很小，导致参数 w w w和 b b b更新非常慢。
对于交叉熵损失函数,参数更新公式为:
w = w − η ∂ L o s s ∂ w = w − η ( f ( x ) − y ) x b = b − η ∂ L o s s ∂ b = b − η ( f ( x ) − y ) \begin{gathered} w=w-\eta \frac{\partial Loss}{\partial w}=w-\eta(f(x)-y) x \\ b=b-\eta \frac{\partial Loss}{\partial b}=b-\eta(f(x)-y) \end{gathered} w=w−η∂w∂Loss=w−η(f(x)−y)xb=b−η∂b∂Loss=b−η(f(x)−y)
可以看到参数更新公式中没有 σ ′ ( z ) \sigma^{\prime}(z) σ′(z)这一项，权重的更新受 ( f ( x ) − y ) (f(x)-y) (f(x)−y)影响，受到误差的影响，所以当误差大的时候，权重更新快；当误差小的时候，权重更新慢。这是一个很好的性质。
所以当使用sigmoid作为激活函数的时候，常用交叉熵损失函数而不用均方误差损失函数。
参考文章：常见的损失函数(loss function)总结