不定积分原理

不定积分原理

原函数： 区间$I$上，$F^{\prime }(x)=f(x)$或$dF(x)=f(x)dx$，则称$F(x)$是$f(x)$的原函数。

不定积分： 在去区间$I$上，$f(x)$的全体原函数称为$f(x)$的不定积分。记作$\int f(x)dx=F(x)+C$

原函数存在定理：

• 若$f(x)$在区间$I$上连续，则在区间$I$上原函数一定存在
• 若$f(x)$在区间$I$上存在第一类间断点或无穷间断点，则原函数不存在

积不出来： $\int \frac{1}{\ln x}dx,\int e^{\pm x^2}dx,\int \frac{\sin x}{x}dx,\int \frac{\cos x}{x}dx,\int \cos x^{2}dx$

常用性质：

• $\int f^{\prime }(x)dx=f(x)+C$
• $[\int f(x)dx{]}^{\prime }=f(x)$
• $\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$
• $\int [f(x)\pm g(x)]dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx$

例题

题1： 若$f(x)$的导数是$\sin x$，则$f(x)$有一个原函数为$()$。

$A.1+\sin xB.1-\sin xC.1+\cos xD.1-\cos x$

解析：$f^{\prime }(x)=\sin x,F^{\prime }(x)=f(x)$，所以$F^{\prime \prime }(x)=\sin x$，选$B.$

题2： 设$F(x)$是$\frac{\sin x}{x}$的原函数，求$F(x^2)$的导数。

解：
\qquad 因为$F^{\prime }(x)=\frac{\sin x}{x}$

\qquad 所以$(F(x^2){)}^{\prime }=F(x^2)\cdot 2x=\frac{\sin x^2}{x^2}\times 2x=\frac{2\sin x^2}{x}$