罚函数法求解约束问题最优解

问题描述：

约束问题的最优解可以描述为：

s.t. minf(x)gi(x)≥0,i=1,⋯,mhj(x)=0,j=1,⋯,l

考虑约束问题： ，其中， f(x),gi(x),hj(x) 连续。

或者

s.t. minf(x)g(x)≥0,h(x)=0,

，
其中， g(x)=(g1(x),⋯,gm(x))Th(x)=(h1(x),⋯,hl(x))T

令问题的可行域是：

D={x|gi(x)hj(x)≥0,i=1,⋯,m.≥0,j=1,⋯,l.}

，

如何求解约束问题？？？

罚函数法是序列无约束问题算法的典型代表。罚函数法的基本思想是构造辅助函数F,把原来的约束问题转化为求极小化辅助函数的无约束问题。
如何构造辅助函数，是求解问题首要问题。

一、外点罚函数法

基本思想：构造辅助函数 Fμ:Rn→R   (μ>0) 。构造函数在可行域内部与原问题的取值相同，在可行域外部，其取值远远大于目标函数的取值。
1、对于约束问题：

s.t.minf(x)hj(x)=0,j=1,⋯,l

，

可定义辅助函数：

F(x,μ)=f(x)+μ∑j=1lh2j(x)

2、对于约束问题：

s.t. minf(x)gi(x)≥0,i=1,⋯,m

，

可定义辅助函数：

F(x,μ)=f(x)+μ∑i=1m(max{0,gj(x)})2

3、对于一般问题：
可定义辅助函数：

F(x,μ)=f(x)+μP(x)

其中， P(x)=∑mi=1ϕ(gi(x))+∑lj=1ψ(hj(x)) ， ϕ{=>0,y≥00,y<0 ， ψ{=>0,y≥00,y≠0 ，

典型的取法有： ϕ=(max{0,−gi(x)})α ， ψ=|hj(x)|β   (α≥1,β≥1)

通过这些辅助函数，可以把约束问题转换为无约束问题：

minF(x,μ)=f(x)+μQ(x)

其中 μ 是很大的数，通常取一个趋向于无穷大的严格递增正数列 {μk} ， Q(x) 是连续函数。

具体步骤：

1、给定初始点、初始罚因子，放大系数，允许误差 x(0),μ1,c>1,ϵ>0 ，设 k=1

2、以 x(k−1) 为初点，求解无约束问题： minF(x,μ)=f(x)+μkQ(x) ，得极小点 x(k)

3、若 μkQ(x(k))<ϵ ，停止，得极小点 x(k) ；否则，令 μk+1=cμk ，置 K:=k+1 ，转步骤（2）

二、内点罚函数法

基本思想：内点法产生的点列从可行域的内部逼近问题的解。构造辅助(光滑)函数，该函数在严格可行域外无穷大，且当自变量趋于可行域边界时，函数值趋于无穷大。

适合类型：

s.t. minf(x)gi(x)≥0,i=1,⋯,m

，
定义域： S={x|gi(x)≥0,i=1,2,⋯,m}
当 μ→0 时，无约束问题

minFμ=F(x,μ)

的解趋于原有约束问题的解。

定义障碍函数：

F(x,μ)=f(x)+μB(x)

其中，当自变量趋于可行域边界时，连续函数 B(x)→0,μ 是很小的正数。

可通过求解：

minF(x,μ)s.t.x∈int S

得到原问题的近似解。

辅助函数：

B(x)=∑i=1m1gi(x)

B(x)=−∑log gi(x)

具体步骤：
1、给定初始点、初始罚因子，缩小系数，允许误差 x(0),μ1,β∈(0,1),ϵ>0 ，设 k=1

2、以 x(k−1) 为初点，求解无约束问题： minF(x,μ)=f(x)+μkB(x) ，得极小点 x(k)

3、若 μkB(x(k))<ϵ ，停止，得极小点 x(k) ；否则，令 μk+1=βμk ，置 K:=k+1 ，转步骤（2）