材料力学

第1章 绪论

1.1 材料力学的任务

强度要求：构件有足够的抵抗破坏的能力
刚度要求：构件有足够的抵抗变形的能力
稳定性要求：构件有足够的保持原有平衡形态的能力

任务：在满足以上要求前提下，为设计既经济又安全的构件，提供必要的理论基础和计算方法

1.2 变形固体的基本假设

连续性假设：组成固体的物质不留空隙地充满固体体积
均匀性假设：任何一部分的力学性能相同
各向同性假设：沿不同方向的力学性能都相同
小变形与线弹性范围：变形范围很微小

1.3 外力及其分类

外力可分为表面力和体积力、静载荷和动载荷

1.4 内力、截面法和应力的概念

内力：受外力而变形，其内部各部分之间相对位置改变而引起的相互作用

截面上的内力：分布内力系向截面上某一点简化后得到的合力和合力偶

截面法：
(1)沿截面假想切成两段，取任一段为研究对象
(2)以作用于截面上的内力代替弃去部分对取出部分的作用
(3)建立取出部分的平衡方程，确定未知的内力

1.5 变形与应变

应变：$\epsilon =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta s}{\Delta x}$，其中$\Delta s$为长度变化，$\Delta x$为原长

角应变：$\gamma =\underset{\overline{MN},\overline{ML}\to 0}{\lim }(\frac{\pi }{2}-\angle L^{\prime }{M}^{\prime }{N}^{\prime })$

1.6 杆件变形的基本形式

杆：长度远大于横截面尺寸的构件

拉伸、压缩

剪切

扭转

弯曲

第2章 拉伸、压缩与剪切

2.1 轴向拉伸与压缩的概念和实例

作用于杆件上的外力合力的作用线与杆件轴线重合，杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短

2.2 直杆轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力

将内力称为轴力，规定拉为正，压为负

应力$\sigma =\frac{F_N}{A}$

圣维南原理：如用与外力系静力等效的合力来代替原力系，则除在原力系作用区域内有明显差别外，在离外力作用区域略远处（距离约等于横截面尺寸处），上述替代的影响非常微小

2.3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力

$\sigma =\frac{F}{A}$，$A_{\alpha }=\frac{A}{\cos \alpha }$
$F_{\alpha }=F$，
将k-k截面的应力分解：
${\sigma }_{\alpha }=\sigma {\cos }^2\alpha$
${\tau }_{\alpha }=\frac{\sigma }{2}\sin 2\alpha$
${\sigma }_{\alpha max}=\sigma$
${\tau }_{\alpha max}=\frac{\sigma }{2}$

2.4 材料拉伸时的力学性能

低碳钢：含碳量0.3%以下的碳素钢

${\sigma }_p为比例极限$，${\sigma }_e$弹性极限，${\sigma }_s$为屈服极限，${\sigma }_b$为强度极限
$\epsilon =\frac{\Delta l}{l}$
oa段：比例极限，$\sigma =E\epsilon$
ab段：弹性极限，$E=\frac{\sigma }{\epsilon }=\tan \alpha$，大于弹性极限后，卸载拉力后会发生塑性变形
ob：弹性阶段，满足胡克定律，称材料是线弹性的
bc：屈服阶段，${\sigma }_s$为下屈服极限，称屈服极限
ce：强化阶段，恢复了抵抗变形的能力，称为材料强化，用${\sigma }_b$表示，称强度极限或抗拉强度
ef：局部变形阶段，出现缩颈现象

$f^{\prime }h$称为弹性恢复长度
伸长率：$\delta =\frac{l_1-l}{l}\times 100\%$
断面收缩率：$\psi =\frac{A-A_1}{A}\times 100\%$

卸载定律：把试样拉超过d点，再卸载拉力，$d{d}^{\prime }$近似平行于$oa$，说明在卸载过程中，应力和应变按直线规律变化，$d{g}^{\prime }$表示消失了的弹性变形，$o{d}^{\prime }$表示不再消失的塑性变形

冷作硬化：卸载拉力后，如果在短期内再加载拉力，则应力和应变间的关系大致上沿卸载时的斜直线$d^{\prime }d$变化，其比例极限提高，但塑性变形却减少了，伸长率也减小了，称这种现象为冷作硬化，经退火处理可消除

对于没有明显屈服阶段的塑性材料，可以将产生0.2%塑性应变时的应力作为屈服指标，称为名义屈服极限，用${\sigma }_{0.2}$表示

铸铁用强度极限${\sigma }_b$表示，它没有屈服极限

2.5 材料压缩时的力学性能

低碳钢压缩时的弹性模量$E$和${\sigma }_s$都与拉伸时大致相同，进入屈服阶段后，试样横截面积不断增大，抗压能力继续增强，因而得不到压缩时的强度极限

铸铁破坏断面的法线与轴线大致成$45°\sim 55°$倾角，表明试样沿斜截面因相对错动而破坏

脆性材料抗拉强度低，抗压能力强

2.6 温度和时间圣材料力学性能的影响

低温下，碳钢倾向变脆

2.7 失效、安全因数和强度计算

可以把材料断裂和出现塑性变形统称为失效

极限应力：脆性材料断裂时的强度极限是${\sigma }_b$，塑性材料屈服时的应力是屈服极限${\sigma }_s$

许用应力：以大于1的因数除极限应力，用$[\sigma ]$表示，对塑性材料$[\sigma ]=\frac{{\sigma }_s}{n_s}$，对脆性材料$[\sigma ]=\frac{{\sigma }_b}{n_b}$，把$n_s$和$n-b$称为安全因数

构件轴向拉伸或压缩时的强度条件为$\sigma =\frac{F_N}{A}\le [\sigma ]$

2.8 轴向拉伸或压缩时的变形

杆在轴线方向的伸长为$\Delta l=l_1-l$，线应变$\epsilon =\frac{\Delta l}{l}$，应力$\sigma =\frac{F}{A}$，胡克定律$\sigma =E\epsilon$，$E$为弹性模量

$\Delta l=\frac{Fl}{EA}$

$EA$称为抗拉/压刚度，越大则$\Delta l$越小

横向应变（横截面）${\epsilon }^{\prime }=\frac{b_1-b}{b}$

泊松比$\mu =|\frac{{\epsilon }^{\prime }}{\epsilon }|$

2.9 轴向拉伸或压缩的应变能

应变能：弹性固体在外力作用下，因变形而储存的能量称为应变能
$V_{\epsilon }=W=\frac{1}{2}F\Delta l=\frac{F^{2}l}{2EA}$

单位体积内的应变能：$v_{\epsilon }=\frac{1}{2}\sigma \epsilon =\frac{{\sigma }^2}{2E}$

整体的应变能：$V_{\epsilon }={\int }_V{v}_{\epsilon }dV$

2.10 拉伸、压缩的超静定问题

静力平衡方程数量少于未知力的个数，称为超静定问题，未知力个数减去方程数得几，就称为几次超静定问题

这类方程通常要补充变形协调方程

2.11 温度应力和装配应力

$\Delta l_T={\alpha }_l\Delta T\cdot l$，${\alpha }_l$为材料的线胀系数

在管道中增加伸缩节，在钢轨各段之间留有伸缩缝等，可以削弱温度应力的不良影响

2.12 应力集中的概念

在零件尺寸突然改变处的横截面上，应力并不是均匀分布的，在开口处应力急剧上升，称为应力集中，截面尺寸改变得越急剧、角越尖、孔越小，应力集中的程度就越严重

对脆性材料的零件，应力集中危害性很严重

2.13 剪切和挤压的实用计算

剪切：

$\tau =\frac{F_S}{A}\le [\tau ]$

挤压：

${\sigma }_{bs}=\frac{F}{A_{bs}}\le [{\sigma }_{bs}]$

第3章 扭转

3.1 扭转的概念和实例

扭转：力偶矩大小相等、转向相反且作用平面垂直于杆件轴线，使杆件绕轴线转运

3.2 外力偶矩的计算、扭矩和扭矩图

力偶$M_e$在每秒钟内完成的功应为$2\pi \times \frac{n}{60}\times M_e=P\times 1000$，得
$\{M_e{\}}_{N\cdot m}=9549\frac{\{P{\}}_{kW}}{\{n{\}}_{r/min}}$，习惯上用$T$表示截面上的扭矩

当与所研究的部分的截面外法线的方向一致时$T$为正

扭矩图：

3.3 纯剪切

薄壁圆筒扭转时的切应力：$M_e=2\pi r\delta \cdot \tau \cdot r$，得$\tau =\frac{M_e}{2\pi r^2\delta }$
壁厚为1/10的平均半径为薄壁

切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。$\tau ={\tau }^{\prime }$

切应变：侧面只有切应力没有正应力，称为纯剪切，切应变：$\gamma =\frac{r\phi }{l}$

剪切胡克定律：$\tau =G\gamma$，$G$为切变模量

$G=\frac{E}{2(1+\mu )}$

剪切应变能：$d{V}_{\epsilon }=dW=({\int }_0^{{\gamma }_1}\tau d\gamma )dV$

单位体积内的剪切应变能（应变能密度）：$v_{\epsilon }=\frac{d{V}_{\epsilon }}{dV}={\int }_0^{{\gamma }_1}\tau d\gamma =\frac{1}{2}\tau \gamma =\frac{{\tau }^2}{2G}$

3.4 圆轴扭转时的应力

变形几何关系：等直圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线；且相邻横截面间的距离不变。这是圆轴扭转的平面假设

${\gamma }_{\rho }=\rho \frac{d\phi }{dx}$

物理关系：${\tau }_{\rho }=G{\gamma }_{\rho }$

静力关系：$T={\int }_A\rho {\tau }_{\rho }dA=G\frac{d\phi }{dx}{\int }_A{\rho }^{2}dA=G{I}_p\frac{d\phi }{dx}$，$I_p$为截面极惯性矩，单位$m^4$

${\tau }_{\rho }=\frac{T\rho }{I_p}$，则最大的切应力为${\tau }_{max}=\frac{TR}{I_p}$

用$W_t=\frac{I_p}{R}$为抗扭截面系数，单位$m^3$，得${\tau }_{max}=\frac{T}{W_t}$

对实心圆轴，$I_p=\frac{\pi D^4}{32}$，$W_t=\frac{\pi D^3}{16}$

对空心圆轴，$\alpha =d/D$，$I_p=\frac{\pi D^4}{32}(1-{\alpha }^4)$，$W_t=\frac{\pi D^3}{16}(1-{\alpha }^4)$

${\tau }_{max}=\frac{T_{max}}{W_t}\le [\tau ]$

3.5 圆轴扭转时的变形

扭转角$d\phi =\frac{T}{G{I}_p}dx$

$\phi =\frac{Tl}{G{I}_p}$

单位长度扭转角${\phi }^{\prime }=\frac{T}{G{I}_p}=\frac{\phi }{l}$

${\phi }_{max}^{\prime }=\frac{T_{max}}{G{I}_p}\times \frac{180°}{\pi }\le [{\phi }^{\prime }]$

3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形

3.7 非圆截面杆扭转的概述

翘曲：变形后杆的横截面已不再保持为平面

非圆截面杆件的扭转可分为自由扭转和约束扭转

3.8 薄壁杆件的自由扭转

第4章 弯曲内力

4.1 弯曲的概念和实例

作用于杆件上的外力垂直于传杆件的轴线，使原为直线的轴线变形为曲线

对称弯曲：作用于杆件上的所有外力都在纵向对称面内时，弯曲变形轴线也将是位于这个对称面内的一条曲线

4.2 受弯杆件的简化

支座的几种基本形式：
铰支座：可动铰支座、固定铰支座



载荷简化：集中力、均布载荷

静定梁的基本形式：
简支梁：一端固定铰一端可动铰
外伸梁：一端伸出支座外
悬臂梁：一端固定一端自由

4.3 剪力和弯矩

剪力：左上右下为正
弯矩：上凹下凸为正

4.4 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图

4.5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系

梁上分布载荷的集度$q(x)$是$x$的连续函数，且规定$q(x)$向上为正

$q(x)=\frac{d{F}_S(x)}{dx},F_S(x)=\frac{dM(x)}{dx}$

（1）梁中若无载荷分布，$\frac{d{F}_S(x)}{dx}=q(x)=0$，$F_S(x)=C$，剪力图是平行于x轴的直线，弯矩图是斜直线

（2）在梁的某段内，若作用均布载荷，即$q(x)=C$，则剪力图是斜直线，弯矩图是抛物线

（3）在梁的某一截面上，若$F_S(x)=\frac{dM(x)}{dx}=0$，则在这一截面上弯矩有一极值，在剪力为0的截面上

4.6 平面曲杆的弯曲内力

第5章 弯曲应力

5.1 纯弯曲

弯矩只与横截面上的正应力$\sigma$相关，剪力与切应力$\tau$相关

梁上既有弯矩又有剪力，称为横力弯曲或剪切弯曲

纯弯曲：只有正应力而无切应力，剪力为零，弯矩为常量

弯曲的平面假设：变形前原为平面的梁横截面变形后仍保持为平面

中性层：弯曲后纤维长度不变的层

纯弯曲两个假设：（1）平面假设；（2）纵向纤维间无正应力

5.2 纯弯曲时的正应力

变形的几何关系：变形前相距为$dx$的两个横截面，变形后绕各自的中性轴转运，两横截面的相对转角$d\theta$，并保持为平面

$\rho$为中性层的曲率半径，$bb$的应变为$\epsilon =\frac{y}{\rho }$，可见，纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比

物理关系：因为纵向纤维之间无正应力，每一线段都是单向拉伸或压缩，得$\sigma =E\frac{y}{\rho }$

静力关系：中性轴通过截面形心又包含在中性层内，所以梁截面的形心连线也在中性层内，变形后其长度不变，$I_z=\int y^{2}dA$，$M=\frac{E}{\rho }{\int }_A{y}^{2}dA$，曲率$\frac{1}{\rho }=\frac{M}{E{I}_z}$，将$E{I}_z$称为抗弯刚度，$\sigma =\frac{My}{I_z}$

要确定横截面上的分布内力系对梁变形的影响，最简单的方法是将内力系向横截面的形心主惯性轴简化

5.3 横力弯曲时的正应力

$W=\frac{I_z}{y_{max}}$

${\sigma }_{max}=\frac{M_{max}}{W}$，$W$为抗弯截面系数，单位$m^3$
若高为h，宽为b的矩形，则$W=\frac{I_z}{h/2}=\frac{b{h}^2}{6}$
若截面是直径为d的圆形，则$W=\frac{\pi d^3}{32}$

${\sigma }_{max}=\frac{M_{max}}{W}\le [\sigma ]$

5.4 弯曲切应力

矩形截面梁：
假设
（1）横截面上各点的切应力的方向都平行于剪力$F_S$
（2）切应力沿截面宽度均匀分布

$F_{N2}={\int }_{A1}\sigma dA=\frac{(M+dM)}{I_z}{S}_z^{\ast }$

$S_z^{\ast }={\int }_{A_1}{y}_{1}dA$，为截面上距中性轴为$y$的横线以外部分面积对中性轴的静矩

$F_{N1}=\frac{M}{I_z}{S}_z^{\ast }$

$d{F}_S^{\prime }={\tau }^{\prime }bdx$

$F_{N2}-F_{N1}-d{F}_S^{\prime }=0$

$\tau ={\tau }^{\prime }=\frac{F_S{S}_z^{\ast }}{I_{z}b}$

矩形截面$S_z^{\ast }=\frac{b}{2}(\frac{h^2}{4}-y^2)$，$\tau =\frac{F_S}{2I_z}(\frac{h^2}{4}-y^2)$

${\tau }_{max}=\frac{F_S{h}^2}{8I_z}=\frac{3}{2}\frac{F_S}{bh}$，说明矩形截面梁的最大切应力为平均切应力$\frac{F_S}{bh}$的1.5倍

工字形截面梁：
$\tau =\frac{F_S}{I_z{b}_0}[\frac{b}{8}(h^2-h_0^2)+\frac{b_0}{2}(\frac{h^2}{4}-y^2)]$

${\tau }_{max}=\frac{F_S}{I_z{b}_0}[\frac{b{h}^2}{8}-(b-b_0)\frac{h_0^2}{8}]$

${\tau }_{min}=\frac{F_S}{I_z{b}_0}[\frac{b{h}^2}{8}-\frac{b{h}_0^2}{8}]$

两者相差不大，可以认为是受力均匀，近似得$\tau =\frac{F_S}{b_0{h}_0}$

圆形截面：
假设弦AB上各点切应力的垂直分量${\tau }_y=\frac{F_S{S}_z^{\ast }}{I_{z}b}$是相等的

$S_z^{\ast }=\frac{\pi R^2}{2}\cdot \frac{4R}{3\pi }$，$I_z=\frac{\pi R^4}{4}$

${\tau }_{max}=\frac{4}{3}\frac{F_S}{\pi R^2}$，平均应力为$\frac{F_S}{\pi R^2}$，最大应力为平均应力的4/3

5.5 关于弯曲理论的基本假设

平面假设
纵向纤维间无正应力
材料是线弹性的

当截面高度远小于跨度$h\ll l$，由平面假设引起的误差非常小，这正是杆的几何特征

一般情况下${\sigma }_y$是可以省略的，这是假设纵向纤维间无正应力的依据

5.6 提高弯曲强度的措施

改善梁的受力情况：支座和弯矩

选择梁截面的合理形状：截面面积小且抗弯截面系数越大越有利

$\frac{{\sigma }_{tmax}}{{\sigma }_{cmax}}=\frac{y_1}{y_2}=\frac{[{\sigma }_t]}{[{\sigma }_c]}$

变截面梁：截面尺寸沿轴线变化的梁
等强度梁：变截面梁各横截面上的最大正应力都相等，且都等于许用应力

${\sigma }_{max}=\frac{M(x)}{W(x)}=[\sigma ]$，代入$h=C$，得$b(x)$，${\tau }_{max}=[\tau ]$，得$b_{min}$，或者是$b=C$最后求出$h_{min}$

第6章 弯曲变形

6.1 工程中的弯曲变形问题

机床主轴发生弯曲，影响精度

6.2 挠曲线的微分方程

挠曲线：在对称弯曲的情况下，变形后梁的轴线将变成平面内的一条曲线

用$w$来表示挠度，表示坐标为$x$的横截面的形心沿$y$方向的位移，$w=f(x)$

截面转角：弯曲变形中，梁的横截面对其原来位置转过的角度$\theta$，$\tan \theta =\frac{dw}{dx}\approx \theta$

向上的挠度和逆时针方向的转角为正，反之为负
$\frac{1}{\rho }=\frac{M}{EI}$

推导过程略，最终得挠曲线的近似微分方程$\frac{d^{2}w}{d{x}^2}=\frac{M}{EI}$

6.3 用积分法求弯曲变形

$w=\iint (\frac{M}{EI}dx)dx+Cx+D$

挠曲线的任意点上，有唯一确定的挠度和转角，这个是连续性条件，可确定积分常数

$|w{|}_{max}\le [w]$，$|\theta {|}_{max}\le [\theta ]$

6.4 用叠加法求弯曲变形

$M=M_F+M_q$，集中载荷和均布载荷产生的弯矩

$EI\frac{d^{2}w}{d{x}^2}=EI\frac{d^2(w_F+w_q)}{d{x}^2}$

6.5 简单超静定梁

增加变形协调方程

6.6 减小弯曲变形的一些措施

改善结构形式和载荷作用方式，减小弯矩

选择合理的截面形状：起重机大梁使用工字形或箱形截面；机器箱体采用加筋而不是增加壁厚

第7章 应力和应变分析、强度理论

7.1 应力状态概述

主平面：切应力为零的面
主应力：主平面上的正应力
任意点都可以找到三个相互垂直的主平面，因面每一点都有三个主应力

简单的拉压，三个主应力中只有一个不为零，称为单向应力状态或简单应力状态

若三个主应力中有两个不为零，称为二向平面应力状态

三个皆不为零，称为三向或空间应力状态

二向和三向称为复杂应力状态

二向和三向应力状态实例

薄壁圆筒：壁厚$\delta$远小于直径D时（如$\delta <\frac{D}{20}$）

轴向：${\sigma }^{\prime }=\frac{pD}{4\delta }$
径向：${\sigma }^{\prime \prime }=\frac{pD}{2\delta }$
${\sigma }^{\prime }$与${\sigma }^{\prime \prime }$皆为主应力