《A Sub-Pixel Edge Detector: an Implementation of the Canny/Devernay Algorithm》

论文《A Sub-Pixel Edge Detector: an Implementation of theCanny/Devernay Algorithm》提出了一种基于canny算法进行亚像素级边缘提取的算法，并给出了网页测试demo，可以在上面载入图像进行边缘提取测试，效果不错。这里简要翻译一下论文的方法：

Canny算法

针对边缘检测算法的研究有很多，其中Canny算法在这方面具有开创性的贡献，我在之前的博客里总结过canny的原理，这里简要说明一下：

Canny算子求边缘点具体算法步骤如下：
1. 用高斯滤波器平滑图像．
2. 计算梯度幅值和方向

3. 对梯度幅值进行非极大值抑制

非极大值抑制（Non-Maxima Suppression method）主要是为了更精确的定位某种特征，比如用梯度变化表征边缘时，梯度变化较大的区域通常比较宽，所以利用x和y方向的梯度确定一个法向arctan(y/x)，然后在法向上判断当前梯度测量是否是一个峰值（或局部极大值），如果是就保留，不是极大值就抑制（如设置为0）。这样的话就能将边缘定位在1-2像素宽（相邻像素有时候求极大值的方向恰好互不干扰）。

4. 用双阈值算法检测和连接边缘．

5.通过滞后跟踪边缘，抑制所有弱而不强的边缘。

Devernay亚像素校正算法

Canny检测出的边缘是像素级别的，而有时需要精度低于一个像素，即亚像素边缘提取，Devernay【3】在Canny算法的基础上进行了拓展：将新的边缘点定义为相邻几个梯度模值差值的最大值，可以通过计算梯度方向上相邻的三点处的梯度模值的二次函数插补。如下图所示：

上图中，||g(A,B,C)||为三个垂直于边缘方向上的梯度模值，canny算法会选择模值最大的B点作为边缘点。但是，也可能在A和C之间存在点η ，在η 点处的梯度模值大于B点及AC之间的其他点，此时，η 点能更好地表示边缘。论文[3]给出了估计η 点以及计算η 点偏移量的方法，并给出η 的亚像素位置。

为了减少计算量，论文中只用了三点来进行二次方程拟合，并求出相对于BC向量的补偿 η ：

Devernay亚像素算法准确性

影响Devernay算法准确性的四个误差来源：

1.假设梯度满足二次曲线规律带来的误差；

2.使用有限项计算梯度值带来的误差；

3.插补计算时有些点的梯度并没有通过canny运算计算出来所带来的误差；（个人理解这里应该是说在非水平和垂直方向上）

4.数据误差；

以高斯边缘为例，公式：，其中是高斯核函数，Y是阶梯函数，即：

   (1)

α 是阶梯函数的系数，下图中左是带亚像素偏移 γ 的高斯边缘特性，右图是使用抛物线估计的边缘点位置，例如途中三点abc,:(−1, a), (0, b) 和(1, c) ，边缘估计点的位置为：

          (2)

把带偏移 γ 的高斯边缘函数带入，可以得到：

   (3)

带入（2）式得到：

            (4)

右图中，高斯梯度与二次方程梯度极大值点偏差为：

 ,

文中给出了该误差的分布图5：

当γ=0时，误差为0，因为此时边缘在网格中间位置；当γ=0.5时，误差也为0，因为此时a=b或b=c，二次曲线插补值可以给出正确的偏移；σ越小，边缘越锐利，而σ越大，边缘越模糊，误差反而越小。

公式（4）也说明了第二种误差来源，即有限差分计算带来的误差。

亚像素边缘算法改进

在上面说的四种误差来源中，其中简单地使用水平和垂直方向插补可以有效去除第三种误差。Deverary使用三个点中间的插补值作为边缘， 这里进行修正：当点（x，y）处梯度满足以下条件，此时该点为水平方向的边缘点：

, 

,

类似的，垂直方向的边缘点也是可以定义出来的。当x和y方向的梯度相等时，默认为还是水平边缘点，这个影响不大。修正方法的误差分布见下图6：

对比图5，修正方法的误差有了明显的减弱。另外，论文还对比了边缘是倾斜角度时的提取结果，见下图7：

边缘点链（Edge Point Chaining）

此前检测边缘点是一个独立过程，每个边缘点并不相关。后续需要将属于同一个边缘轮廓的点集归到一起--链，形成轮廓。每个边缘点对应的应是一个像素点，而不是一个5*5的区域。

首先，被归为同一链路的像素点应该具有近似的梯度方向，以像素点A和B为例，它们的夹角应小于90度，数学表示为：g(A).g(B)>0。 另外，图像轮廓可以将亮区域和暗区域分开，所以连续的链路需要将暗区域划分到曲线的同一侧，一个简单的方法是验证从边缘点A到点B的向量与点A两个可能的梯度方向中的一个是否近似正交。有两个概念需要介绍一下：前向链路（forward chaining）和后向链路(back chaining)。当 ,其中表示向量v旋转90度，此时成为A-B的前向链路，记为:，反方向称为反向链路。

一个边缘点至多有一个前向链路，也至多有一个后向链路，而不用有类似 Y 形状的链路。所以在确定AB是否成链前，需要检查A是否已经有前向链路和B是否已经有后向链路。此时可以通过距离来判断，如果新的链路比之前的距离短，那么之前链路就会被斩断，而增加这新的链路，经过这个步骤，边缘点的链接关系就能确定下来了。以下图8为例：

A,B,C,D四点的距离关系满足：||A-B||>||B-C||>||C-D||,假定链路搜索顺序为：A-B-C,你会发现当我们想时,存在，而且根据CB距离小于AB，所以会被切断；同样地，由于D的存在，也会被切断，所以最后的结果只剩下：。 再假定链路搜索顺序为C-B-A，经过判断过程，剩下这条链路。 所以，最后的链路结果为：和。

算法实现

Canny/Devernay算法主要分为四部分：图像求梯度，计算边缘点，边缘点链路编码，应用canny双阈值等方法，如下图9所示：

计算图像梯度的方法为算法2，如下图10所示，主要在水平和垂直两个方向上求取梯度：

求取边缘点及亚像素校正过程，算法3的伪代码如下图11所示：

可以发现，当某一点的水平方向和垂直方向梯度值相等时，该点可以被归为任意方向上的边缘，不影响结果。最后，边缘点链路编码过程算法4，如下图12所示：

算法4中的是指边缘点的邻域集合，取5*5，括号里的数字2应该是说邻域集中上下左右不超过2个像素，最后的边缘点取其邻域水平或垂直方向上的局部最大值。当然，过程中包含前向链路和后向链路，算是的子集。

最后，算法5描述了canny算法的应用，如下图13所示：

测试结果

算法中的输入参数除了被检测图像外，还有高斯函数的标准差S，canny算法的双阈值H和L，在线测试网址请点击

可见，当S取不同值是，边缘的粗细间隔是不一样的。S越大，边缘越粗些。

后记：第一次把英文文献翻译在CSDN上面，感慨大略看懂到能够翻译出来还是有一段距离的。

整个项目，我重新用opencv包装了，项目地址：https://github.com/fcqing/sub-pixel-edge-detect

参考

https://en.wikipedia.org/wiki/Canny_edge_detector

http://blog.csdn.net/qq_14845119/article/details/52064928

《A non-maxima suppression method for edge detection with sub-pixel accuracy》

http://ipolcore.ipol.im/demo/clientApp/demo.html?id=216