用matlab做单摆,用Matlab软件求单摆的运动

用M atlab 软件求单摆的运动

!

罗

颖，罗兴垅

(赣南师范学院物理与电子信息科学系，江西赣州341000)

摘

要：直接从单摆的运动微分方程出发，应用M atlab 软件，

求出了线性单摆阻尼振动的解析解和非线性单摆无阻尼振动、阻尼振动的数值解；画出了单摆的振动曲线和相图.

关键词：单摆；阻尼；非线性；数值解；M atlab 软件中图分类号：0439

文献标识码：A

文章编号：1004-8332(2005)03-0090-03

1

线性单摆的无阻尼振动

一根不会伸缩、长度为l 的细线，

上端固定(或一根刚性轻杠，上端与无摩擦的铰链相连)，下端悬挂一质量为m 的小球就构成一单摆.当摆角 很小时，si n "0，

单摆作简谐振动，令s =l ，其运动方程为s =A cos ( 0t + 0)(1)式中 0=g ／#

l ，称为单摆的固有圆频率，其周期为T 0=2 ／ 0=2 l ／#

g (2)式(1)

对时间t 求一阶导数，得小球的速度O =-A 0si n ( 0t + 0)(3)

由式(1)与式(3)

得s ()A 2

+O A ()

2

=1(4)

上式表明单摆的速度-位移曲线图

(通常称为相图)为一椭圆.2线性单摆的阻尼振动

当小球摆动的速度较小时，小球受到一个与速度方向相反的阻力f =- d s ／d t ， 为阻力系数，

它与物体的形状以及周围媒质的性质有关.根据牛顿第二定律有

d 2s d t

2+2 d s d t + 20s =0(5)式中 = ／2m ，称为阻尼因数.对于一定振动系统，根据比值( I 0)小于、等于、大于1，则称单摆处于欠阻尼、临界阻尼和过阻尼振动状态.设振动系统的周期T 0=2s ，初始条件s (0)=0.10 ，O (0)=0.用M atlab 软件中的函数“dso lve ”与“ez p lot ”

可求出单摆阻尼振动方程并描绘振动曲线：(!)当 I 0=0.3I 时，

单摆作欠阻尼振动.仅需运行以下程序：clear ；clf ；s y s s t ；s =dso lve (*D 2s +p i^2$s =0*，*s (0)=0.10，D s (0)=0*)

，v =diff (s ，t ，l )，ez p lot (s ，［0，6，-0.1，0.1］，1)，ez p lot (s ，v ［0，6］，2)

即可得到单摆的阻尼振动(见图1)和相图(见图2)，振动方程(略).

从图1、图2可以看出，线性单摆的阻尼振动周期T 大于无阻尼的振动周期(T 0=2s )，随着振幅的指数衰减，相轨迹向内卷缩，呈螺旋状，最后趋于中心的不动点(稳定平衡位置).该点是动力学系统的一个吸引子(attractor ).

(")当 I 0=1时，

单摆作临界阻尼振动.运行程序：2005年赣南师范学院学报N.3

第三期

Journal o f g annan t eachers C o lle g e

June.2005

!收稿日期：2004-05-21

修回日期：2005-04-12作者简介：罗颖(1980—)

，女，江西信丰人，赣南师范学院物理与电子信息科学系教师，主要从事物理实验的教学与研究.