小波变换(Wavelet Transform)

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傅里叶变换

傅里叶变换将周期性信号从时域 t t t转换到频域 ω \omega ω
F ( ω ) = ∫ f ( t ) e − j ω t d t F(\omega) = \int f(t)e^{-j{\omega}t}dt F(ω)=f(t)ejωtdt小波变换(Wavelet Transform)_第1张图片小波变换(Wavelet Transform)_第2张图片
时域信号中不包括频率信息,而转到频域后又丢失了时间信息,也就是在频域中不知道某个频率是在时域中哪个时间出现的,例如以下两个非平稳信号的傅里叶变换结果,无法体现每个频率的信号在原时域中出现的位置(时间):


为了克服这个缺点,就需要变换结果同时包含时间频率信息——时频域(time-frequency domain)

短时傅里叶变换

短时傅里叶变换(STFT)通过加窗口( w ( t − τ ) w(t-\tau) w(tτ), 将信号切为固定长度的信号)来为变换结果提供时间信息:
F ( τ , w ) = ∫ f ( t ) w ( t − τ ) e − j ω t d t F(\tau, w) = \int f(t)w(t-\tau)e^{-j\omega t}dt F(τ,w)=f(t)w(tτ)etdt
如上图的转换结果,在时频域中,时间轴上相同位置的频率有了对应关系。但STFT的缺点在于难以在时间和频率的精度上达到平衡。由于频率信号具有一些规律,例如低频信息一般占据更长的时间周期,高频信号多占用很短的时间周期。小波变换就很好的利用了这些信息。

连续小波变换

Continuous wavelet transform(CWT)将函数 f ( t ) f(t) f(t)分解为一些列基函数 Ψ s , τ ( t ) \Psi_{s,\tau}(t) Ψs,τ(t), 即 the wavelets
ψ ( s , τ ) = ∫ f ( t ) Ψ s , τ ( t ) d t \psi(s, \tau) = \int f(t)\Psi_{s,\tau}(t)dt ψ(s,τ)=f(t)Ψs,τ(t)dt其中, s s s表示scale(尺度), τ \tau τ表示translation(平移)。直观来讲,和傅里叶变换只转到频率域一个维度相比,小波变换则转换到尺度和平移两个维度。小波 Ψ s , τ ( t ) \Psi_{s,\tau}(t) Ψs,τ(t)都是从mother wavelet(母小波)函数 Ψ ( t ) \Psi(t) Ψ(t)通过平移和缩放产生的:
Ψ s , τ ( t ) = 1 s Ψ ( t − τ s ) \Psi_{s, \tau}(t) = \frac{1}{\sqrt s}\Psi \left(\frac{t-\tau}{s}\right) Ψs,τ(t)=s 1Ψ(stτ) s s s是尺度因子, τ \tau τ是平移因子, s \sqrt s s 是为了在不同尺度下energy normalization(能量归一化)。

从上述几个公式可以看出,与傅里叶变换确定的基函数不同的是,小波变换仅仅是给了基函数集。平方可积函数 Ψ ( t ) \Psi(t) Ψ(t)需要积分为0:
∫ Ψ ( t ) d t = 0 \int \Psi(t)dt = 0 Ψ(t)dt=0

Morlet Wavelets

Ψ ( t ) = k   e i ω t ⋅ e − t 2 2 \Psi(t) = k\ e^{i\omega t}\cdot e^{-\frac{t^2}{2}} Ψ(t)=k ete2t2

小波变换(Wavelet Transform)_第3张图片

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