小波变换(Wavelet Transform)

建议直接观看YouTube时频Wavelets: a mathematical microscope

傅里叶变换

傅里叶变换将周期性信号从时域$t$转换到频域$\omega$：
$$F(\omega )=\int f(t)e^{-j\omega t}dt$$
时域信号中不包括频率信息，而转到频域后又丢失了时间信息，也就是在频域中不知道某个频率是在时域中哪个时间出现的，例如以下两个非平稳信号的傅里叶变换结果，无法体现每个频率的信号在原时域中出现的位置(时间)：


为了克服这个缺点，就需要变换结果同时包含时间和频率信息——时频域(time-frequency domain)。

短时傅里叶变换

短时傅里叶变换(STFT)通过加窗口($w(t-\tau )$, 将信号切为固定长度的信号)来为变换结果提供时间信息:
$$F(\tau ,w)=\int f(t)w(t-\tau )e^{-j\omega t}dt$$
如上图的转换结果，在时频域中，时间轴上相同位置的频率有了对应关系。但STFT的缺点在于难以在时间和频率的精度上达到平衡。由于频率信号具有一些规律，例如低频信息一般占据更长的时间周期，高频信号多占用很短的时间周期。小波变换就很好的利用了这些信息。

连续小波变换

Continuous wavelet transform(CWT)将函数$f(t)$分解为一些列基函数${\Psi }_{s,\tau }(t)$, 即 the wavelets：
$$\psi (s,\tau )=\int f(t){\Psi }_{s,\tau }(t)dt$$其中，$s$表示scale(尺度)， $\tau$表示translation(平移)。直观来讲，和傅里叶变换只转到频率域一个维度相比，小波变换则转换到尺度和平移两个维度。小波${\Psi }_{s,\tau }(t)$都是从mother wavelet(母小波)函数$\Psi (t)$通过平移和缩放产生的：
$${\Psi }_{s,\tau }(t)=\frac{1}{\sqrt{s}}\Psi \left(\frac{t-\tau }{s}\right)$$ $s$是尺度因子，$\tau$是平移因子，$\sqrt{s}$是为了在不同尺度下energy normalization(能量归一化)。

从上述几个公式可以看出，与傅里叶变换确定的基函数不同的是，小波变换仅仅是给了基函数集。平方可积函数$\Psi (t)$需要积分为0：
$$\int \Psi (t)dt=0$$

Morlet Wavelets

$$\Psi (t)=k{e}^{i\omega t}\cdot e^{-\frac{t^2}{2}}$$