Harris角点检测

转载自:http://www.cnblogs.com/ronny/p/4009425.html

1. 不同类型的角点

在现实世界中,角点对应于物体的拐角,道路的十字路口、丁字路口等。从图像分析的角度来定义角点可以有以下两种定义:

  1. 角点可以是两个边缘的角点;
  2. 角点是邻域内具有两个主方向的特征点;

前者往往需要对图像边缘进行编码,这在很大程度上依赖于图像的分割与边缘提取,具有相当大的难度和计算量,且一旦待检测目标局部发生变化,很可能导致操作的失败。早期主要有Rosenfeld和Freeman等人的方法,后期有CSS等方法。

基于图像灰度的方法通过计算点的曲率及梯度来检测角点,避免了第一类方法存在的缺陷,此类方法主要有Moravec算子、Forstner算子、Harris算子、SUSAN算子等。

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这篇文章主要介绍的Harris角点检测的算法原理,比较著名的角点检测方法还有jianbo Shi和Carlo Tomasi提出的Shi-Tomasi算法,这个算法开始主要是为了解决跟踪问题,用来衡量两幅图像的相似度,我们也可以把它看为Harris算法的改进。OpenCV中已经对它进行了实现,接口函数名为GoodFeaturesToTrack()。另外还有一个著名的角点检测算子即SUSAN算子,SUSAN是Smallest Univalue Segment Assimilating Nucleus(最小核值相似区)的缩写。SUSAN使用一个圆形模板和一个圆的中心点,通过圆中心点像素与模板圆内其他像素值的比较,统计出与圆中心像素近似的像元数量,当这样的像元数量小于某一个阈值时,就被认为是要检测的角点。我觉得可以把SUSAN算子看为Harris算法的一个简化。这个算法原理非常简单,算法效率也高,所以在OpenCV中,它的接口函数名称为:FAST() 。

2. Harris角点

2.1 基本原理

人眼对角点的识别通常是在一个局部的小区域或小窗口完成的。如果在各个方向上移动这个特征的小窗口,窗口内区域的灰度发生了较大的变化,那么就认为在窗口内遇到了角点。如果这个特定的窗口在图像各个方向上移动时,窗口内图像的灰度没有发生变化,那么窗口内就不存在角点;如果窗口在某一个方向移动时,窗口内图像的灰度发生了较大的变化,而在另一些方向上没有发生变化,那么,窗口内的图像可能就是一条直线的线段。

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对于图像 I(x,y) I(x,y),当在点 (x,y) (x,y)处平移 (Δx,Δy) (Δx,Δy)后的自相似性,可以通过自相关函数给出:

c(x,y;Δx,Δy)=(u,v)W(x,y)w(u,v)(I(u,v)I(u+Δx,v+Δy))2 c(x,y;Δx,Δy)=∑(u,v)∈W(x,y)w(u,v)(I(u,v)–I(u+Δx,v+Δy))2

其中, W(x,y) W(x,y)是以点 (x,y) (x,y)为中心的窗口, w(u,v) w(u,v)为加权函数,它既可是常数,也可以是高斯加权函数。

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根据泰勒展开,对图像 I(x,y) I(x,y)在平移 (Δx,Δy) (Δx,Δy)后进行一阶近似:

I(u+Δx,v+Δy)=I(u,v)+Ix(u,v)Δx+Iy(u,v)Δy+O(Δx2,Δy2)I(u,v)+Ix(u,v)Δx+Iy(u,v)Δy I(u+Δx,v+Δy)=I(u,v)+Ix(u,v)Δx+Iy(u,v)Δy+O(Δx2,Δy2)≈I(u,v)+Ix(u,v)Δx+Iy(u,v)Δy

其中, Ix,Iy Ix,Iy是图像 I(x,y) I(x,y)的偏导数,这样的话,自相关函数则可以简化为:

c(x,y;Δx,Δy)w(Ix(u,v)Δx+Iy(u,v)Δy)2=[Δx,Δy]M(x,y)[ΔxΔy] c(x,y;Δx,Δy)≈∑w(Ix(u,v)Δx+Iy(u,v)Δy)2=[Δx,Δy]M(x,y)[ΔxΔy]

其中

M(x,y)=w[Ix(x,y)2Ix(x,y)Iy(x,y)Ix(x,y)Iy(x,y)Iy(x,y)2]=[wIx(x,y)2wIx(x,y)Iy(x,y)wIx(x,y)Iy(x,y)wIy(x,y)2]=[ACCB] M(x,y)=∑w[Ix(x,y)2Ix(x,y)Iy(x,y)Ix(x,y)Iy(x,y)Iy(x,y)2]=[∑wIx(x,y)2∑wIx(x,y)Iy(x,y)∑wIx(x,y)Iy(x,y)∑wIy(x,y)2]=[ACCB]

也就是说图像 I(x,y) I(x,y)在点 (x,y) (x,y)处平移 (Δx,Δy) (Δx,Δy)后的自相关函数可以近似为二项函数:

c(x,y;Δx,Δy)AΔx2+2CΔxΔy+BΔy2 c(x,y;Δx,Δy)≈AΔx2+2CΔxΔy+BΔy2

其中

A=wI2x,B=wI2y,C=wIxIy A=∑wIx2,B=∑wIy2,C=∑wIxIy

二次项函数本质上就是一个椭圆函数。椭圆的扁率和尺寸是由 M(x,y) M(x,y)的特征值 λ1λ2 λ1、λ2决定的,椭贺的方向是由 M(x,y) M(x,y)的特征矢量决定的,如下图所示,椭圆方程为:

[Δx,Δy]M(x,y)[ΔxΔy]=1 [Δx,Δy]M(x,y)[ΔxΔy]=1

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椭圆函数特征值与图像中的角点、直线(边缘)和平面之间的关系如下图所示。共可分为三种情况:

  • 图像中的直线。一个特征值大,另一个特征值小, λ1λ2 λ1≫λ2 λ2λ1 λ2≫λ1。自相关函数值在某一方向上大,在其他方向上小。
  • 图像中的平面。两个特征值都小,且近似相等;自相关函数数值在各个方向上都小。
  • 图像中的角点。两个特征值都大,且近似相等,自相关函数在所有方向都增大。

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根据二次项函数特征值的计算公式,我们可以求 M(x,y) M(x,y)矩阵的特征值。但是Harris给出的角点差别方法并不需要计算具体的特征值,而是计算一个角点响应值 R R来判断角点。 R R的计算公式为:

R=detMα(traceM)2 R=detM−α(traceM)2

式中, detM detM为矩阵 M=[ABBC] M=[ABBC]的行列式; traceM traceM为矩阵 M M的直迹; α α为经常常数,取值范围为0.04~0.06。事实上,特征是隐含在 detM detM traceM traceM中,因为,

detM=λ1λ2=ACB2 detM=λ1λ2=AC−B2

traceM=λ2+λ2=A+C traceM=λ2+λ2=A+C

2.2 Harris角点算法实现

根据上述讨论,可以将Harris图像角点检测算法归纳如下,共分以下五步:

1. 计算图像 I(x,y) I(x,y) X X Y Y两个方向的梯度 IxIy Ix、Iy

Ix=Ix=I(1 0 1)Iy=Ix=I(1 0 1)T Ix=∂I∂x=I⊗(−1 0 1),Iy=∂I∂x=I⊗(−1 0 1)T

2. 计算图像两个方向梯度的乘积。

I2x=IxIyI2y=IyIyIxy=IxIy Ix2=Ix⋅Iy,Iy2=Iy⋅Iy,Ixy=Ix⋅Iy

3. 使用高斯函数对 I2xI2yIxy Ix2、Iy2和Ixy进行高斯加权(取 σ=1 σ=1),生成矩阵 M M的元素 AB A、B C C

A=g(I2x)=I2xwC=g(I2y)=I2ywB=g(Ix,y)=Ixyw A=g(Ix2)=Ix2⊗w,C=g(Iy2)=Iy2⊗w,B=g(Ix,y)=Ixy⊗w

4. 计算每个像素的Harris响应值 R R,并对小于某一阈值 t t R R置为零。

R={R:detMα(traceM)2<t} R={R:detM−α(traceM)2

5. 在 3×3 3×3 5×5 5×5的邻域内进行非最大值抑制,局部最大值点即为图像中的角点。

Harris角点检测的C++实现代码:https://github.com/RonnyYoung/ImageFeatures/blob/master/source/harris.cpp

2.3 Harris角点的性质

1. 参数 α α对角点检测的影响

假设已经得到了矩阵 M M的特征值 λ1λ20 λ1≥λ2≥0,令 λ2=kλ1,0k1 λ2=kλ1,0≤k≤1。由特征值与矩阵 M M的直迹和行列式的关系可得:

detM=iλi      traceM=iλi detM=∏iλi      traceM=∑iλi

从而可以得到角点的响应

R=λ2λ2=α(λ2+λ2)2=λ2(kα(1+k)2) R=λ2λ2=α(λ2+λ2)2=λ2(k−α(1+k)2)

假设 R0 R≥0,则有:

0αk(1+k)20.25 0≤α≤k(1+k)2≤0.25

对于较小的 k k值, Rλ2(kα),α<k R≈λ2(k−α),α

由此,可以得出这样的结论:增大 α α的值,将减小角点响应值 R R,降低角点检测的灵性,减少被检测角点的数量;减小 α α值,将增大角点响应值 R R,增加角点检测的灵敏性,增加被检测角点的数量。

2. Harris角点检测算子对亮度和对比度的变化不敏感

这是因为在进行Harris角点检测时,使用了微分算子对图像进行微分运算,而微分运算对图像密度的拉升或收缩和对亮度的抬高或下降不敏感。换言之,对亮度和对比度的仿射变换并不改变Harris响应的极值点出现的位置,但是,由于阈值的选择,可能会影响角点检测的数量。

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3. Harris角点检测算子具有旋转不变性

Harris角点检测算子使用的是角点附近的区域灰度二阶矩矩阵。而二阶矩矩阵可以表示成一个椭圆,椭圆的长短轴正是二阶矩矩阵特征值平方根的倒数。当特征椭圆转动时,特征值并不发生变化,所以判断角点响应值 R R也不发生变化,由此说明Harris角点检测算子具有旋转不变性。

4. Harris角点检测算子不具有尺度不变性

如下图所示,当右图被缩小时,在检测窗口尺寸不变的前提下,在窗口内所包含图像的内容是完全不同的。左侧的图像可能被检测为边缘或曲线,而右侧的图像则可能被检测为一个角点。

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2.4 Harris的OpenCV接口

OpenCV的Hairrs角点检测的函数为cornerHairrs(),但是它的输出是一幅浮点值图像,浮点值越高,表明越可能是特征角点,我们需要对图像进行阈值化。

C++: void cornerHarris(InputArray src, OutputArray dst, int blockSize, int apertureSize, double k, int borderType = BORDER_DEFAULT);
  • src – 输入的单通道8-bit或浮点图像。
  • dst – 存储着Harris角点响应的图像矩阵,大小与输入图像大小相同,是一个浮点型矩阵。
  • blockSize – 邻域大小。
  • apertureSize – 扩展的微分算子大。
  • k – 响应公式中的,参数 α α
  • boderType – 边界处理的类型。
int main()
{
    Mat image = imread("../buliding.png");
    Mat gray;
    cvtColor(image, gray, CV_BGR2GRAY);

    Mat cornerStrength;
    cornerHarris(gray, cornerStrength, 3, 3, 0.01);
    threshold(cornerStrength, cornerStrength, 0.001, 255, THRESH_BINARY);
    return 0;
}

 

  image     image   image

从上面上间一幅图像我们可以看到,有很多角点都是粘连在一起的,我们下面通过加入非极大值抑制来进一步去除一些粘在一起的角点。

非极大值抑制原理是,在一个窗口内,如果有多个角点则用值最大的那个角点,其他的角点都删除,窗口大小这里我们用3*3,程序中通过图像的膨胀运算来达到检测极大值的目的,因为默认参数的膨胀运算就是用窗口内的最大值替代当前的灰度值。

int main()
{
    Mat image = imread("buliding.png");
    Mat gray;
    cvtColor(image, gray, CV_BGR2GRAY);

    Mat cornerStrength;
    cornerHarris(gray, cornerStrength, 3, 3, 0.01);

    double maxStrength;
    double minStrength;
    // 找到图像中的最大、最小值
    minMaxLoc(cornerStrength, &minStrength, &maxStrength);

    Mat dilated;
    Mat locaMax;
    // 膨胀图像,最找出图像中全部的局部最大值点
    dilate(cornerStrength, dilated, Mat());
    // compare是一个逻辑比较函数,返回两幅图像中对应点相同的二值图像
    compare(cornerStrength, dilated, locaMax, CMP_EQ);

    Mat cornerMap;
    double qualityLevel = 0.01;
    double th = qualityLevel*maxStrength; // 阈值计算
    threshold(cornerStrength, cornerMap, th, 255, THRESH_BINARY);
    cornerMap.convertTo(cornerMap, CV_8U);
    // 逐点的位运算
    bitwise_and(cornerMap, locaMax, cornerMap);

    drawCornerOnImage(image, cornerMap);
    namedWindow("result");
    imshow("result", image);
    waitKey();

    return 0;
}
void drawCornerOnImage(Mat& image, const Mat&binary)
{
    Mat_::const_iterator it = binary.begin();
    Mat_::const_iterator itd = binary.end();
    for (int i = 0; it != itd; it++, i++)
    {
        if (*it)
            circle(image, Point(i%image.cols, i / image.cols), 3, Scalar(0, 255, 0), 1);
    }
}

现在我们得到的效果就比默认的函数得到的结果有相当的改善,如上面最右边效果图。

3. 多尺度Harris角点

3.1 多尺度Harris角点的原理

虽然Harris角点检测算子具有部分图像灰度变化的不变性和旋转不变性,但它不具有尺度不变性。但是尺度不变性对图像特征来说至关重要。人们在使用肉眼识别物体时,不管物体远近,尺寸的变化都能认识物体,这是因为人的眼睛在辨识物体时具有较强的尺度不变性。在图像特征提取:尺度空间理论这篇文章里就已经讲到了高斯尺度空间的概念。下面将Harris角点检测算子与高斯尺度空间表示相结合,使用Harris角点检测算子具有尺度的不变性。

仿照Harris角点检测中二阶矩的表示方法,使用 M=μ(x,σI,σD) M=μ(x,σI,σD)为尺度自适应的二阶矩:

M=μ(x,σI,σD)=σ2Dg(σI)[L2x(x,σD)LxLy(x,σD)LxLy(x,σD)L2y(x,σD)] M=μ(x,σI,σD)=σD2g(σI)⊗[Lx2(x,σD)LxLy(x,σD)LxLy(x,σD)Ly2(x,σD)]

其中, g(σI) g(σI)表示尺度为 sigmaI sigmaI的高斯卷积核, x x表示图像的位置。与高斯测度空间类似,使用 L(x) L(x)表示经过高斯平滑后的图像,符号 表示卷积, Lx(x,σD) Lx(x,σD) Ly(x,σD) Ly(x,σD)表示对图像使用高斯 g(σD) g(σD)函数进行平滑后,在 x x y y方向取其微分的结果,即 Lx=xL Lx=∂xL Ly=yL Ly=∂yL。通常将 σI σI称为积分尺度,它是决定Harris角点当前尺度的变量, σD σD为微分尺度或局部尺度,它是决定角点附近微分值变化的变量。显然,积分尺度 σI σI应该大于微分尺度 σD σD

3.2 多尺度Harris角点实现

首先,检测算法从预先定义的一组尺度中进行积分尺度搜索,这一组尺度定义为

σ1σn=σ0knσ0 σ1…σn=σ0…knσ0

一般情况下使用k=1.4。为了减少搜索的复杂性,对于微分尺度 σD σD的选择,我们采用在积分尺度的基础上,乘以一个比例常数,即 σD=sσI σD=sσI,一般取s=0.7。这样,通常使用积分和微分的尺度,便可以生成 μ(x,σI,σD) μ(x,σI,σD),再利用Harris角点判断准则,对角点进行搜索,具体可以分两步进行。

1. 与Harris角点搜索类似,对于给定的尺度空间值 σD σD,进行如下角点响应值计算和判断:

cornerness=det(μ(x,σn)αtrace2(μ(x,σn)))>thresholdH cornerness=det(μ(x,σn)−αtrace2(μ(x,σn)))>thresholdH

2. 对于满足1中条件的点,在点的8邻域内进行角点响应最大值搜索(即非最大值抑制)出在8邻域内角点响应最大值的点。对于每个尺度 σn(1,2,,n) σn(1,2,…,n)都进行如上搜索。

由于位置空间的候选点并不一定在尺度空间上也能成为候选点,所以,我们还要在尺度空间上进行搜索,找到该点的所谓特征尺度值。搜索特征尺度值也分两步。

1. 对于位置空间搜索到的每个候选点,进行拉普拉斯响应计算,并满足其绝对值大于给定的阈值条件:

F(x,σn)=σ2n|Lxx(x,σn)+Lyy(x,σn)|thresholdL F(x,σn)=σn2|Lxx(x,σn)+Lyy(x,σn)|≥thresholdL

2. 与邻近的两个尺度空间的拉普拉斯响应值进行比较,使其满足:

F(x,σn)>F(x,σl),   l{n1.n+1} F(x,σn)>F(x,σl),   l∈{n−1.n+1}

满足上述条件的尺度值就是该点的特征尺度值。这样,我们就找到了在位置空间和尺度空间都满足条件的Harris角点。

多尺度Harris角点检测C++实现:https://github.com/RonnyYoung/ImageFeatures/blob/master/source/harrisLaplace.cpp

4. 更多的讨论

在上面描述的Harris角点具有光照不变性、旋转不变性、尺度不变性,但是严格意义上来说并不具备仿射不变性。Harris-Affine是一种新颖的检测仿射不变特征点的方法,可以处理明显的仿射变换,包括大尺度变化和明显的视角变化。Harris-Affine主要是依据了以下三个思路:

  1. 特征点周围的二阶矩的计算对区域进行的归一化,具有仿射不变性;
  2. 通过在尺度空间上归一化微分的局部极大值求解来精化对应尺度;
  3. 自适应仿射Harris检测器能够精确定位牲点;

这篇文章不对Harris-Affine作进一步的描述,有时间会对这一算法做专门的分析,有兴趣的可以参考原论文:Scale & Affine Invariant Interest Point Detectors.

5. 参考资料

[1] 《图像局部不变特征与描述》王永明,王贵锦。

[2] Harris角点及Shi-Tomasi角点检测

[3] 图像特征提取PPT

[4] Harris角点检测算法 1

[5] OpenCV Harris角点检测

[6] Opencv学习笔记(五)Harris角点检测


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