拉普拉斯算子

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    拉普拉斯算子是二阶微分算子。

    我们知道，一维离散信号一阶微分公式如下：

    相应的，一维离散信号二阶微分公式如下：

    由于图像有ｘ和ｙ两个方向，因此图像信号属于二维离散信号。其在ｘ,ｙ两个方向的离散二阶微分公式如下：

    转换成卷积核表示如下：

                   （１）

    这个卷积核（１）及其对应的离散二阶微分公式表示的是，图像特征变化的剧烈程度。这个变化程度与图像特征变化方向是相反的（可以从二阶微分图像分析得到），即如果图像特征变化程度先变大，再变小，则一阶微分有最大值，二阶微分由正值，过零后变为负值。此时，用该二阶微分卷积核同图像卷积后，并非锐化图像，而是模糊图像。同理，如果图像特征值变化程度先变小再变大，二阶微分由负值，过零后变为正值。同样卷积后，并非锐化图像，而是模糊图像。

    要想锐化图像，我们可以将卷积核（１）取反，得到如下卷积核（２）：

            （２）

    这样，将卷积核（２）在图像上滑动卷积后，特征值低的像素更加变低，特征值高的像素更加变高，从而使图像边缘更明显，图像锐化更好，图像更加清晰。

    卷积核（２）就是图像的基础拉普拉斯算子。该算子在ｘ，ｙ方向上同性（即，图像旋转90度，180度和270度，结果无关），如果要使得算子在45度方向上无关，可以使用如下更加精确的拉普拉斯算子：

    拉普拉斯算子卷积后得到的是图像特征的变化程度，应用中可以将卷积后的结果同原始图像相加，得到锐化后的结果图像。也可以直接使用如下卷积核同原始图像卷积，直接得到锐化后的结果图像：

    Opencv提供了拉普拉斯变换函数cv::Laplacian()，可以方便的进行拉普拉斯变换。

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