从全微分说起

一:        线性、切线、近似和微分：

        1.过原点的直线称为线性，切线不一定过原点，不过在切点建立一个坐标系就可以表示为线性了。 假设以x0, dx, dy建立新的坐标系。假设曲线在xy坐标系中函数表示为f(x),  在dxdy坐标系中函数为F(dx) = f(x) - f(x0);令x = x - x0；那么F(dx) = f(x0 +  x) - f(x0);  x的曲线增长量常常表示为 y， 所以F(dx) =   y =  f(x0 +  x) - f(x0); 这个式子即代表曲线的增量，又代表该曲线在dxdy坐标系下的函数。

 

在dxdy坐标系中，切线方程：dy = f‘(x0)dx; 可见这个坐标系是经过原点的直线，符合线性的要求。

F(dx) - dy 的差值，即曲线和切线的差值，为o( x ) =  F(dx) - dy =  y - dy

当 x无限小就满足了近似，差值近似等于0，切线在dxdy坐标系下的方程：dy = f'(x0)dx, 满足“线性”和“近似”这两点，所以特别地称作微分。微分和切线是一回事，只是所处坐标系不同：

                                     

同理在三维中，在（x0,y0,z0）对应的切点处建立一个三维直角坐标系, 即dxdydz坐标系。

在dxdydz坐标系，过切点的平面方程可以写作： dz = Adx+Bdy. 和一元函数类似，建立这个坐标系的目的是保证该平面的方程为“线性”的. 曲面和平面差值:  z - dz = o(p) =  e1*x +  e2*y

二: