中国剩余定理及python实现

$keywords:$ CRT

$Formula$

设正整数$m_1,m_2,\cdots ,m_k$两两互素，则
$$\{\begin{array}{l}x\equiv a_1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_1)\\ x\equiv a_2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_2)\\ x\equiv a_3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_3)\\ ⋮\\ x\equiv a_k(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_k)\end{array}\Rightarrow x\equiv a_1\cdot M_1\cdot M_1^{-1}+a_2\cdot M_2\cdot M_2^{-1}+\cdots +a_k\cdot M_k\cdot M_k^{-1}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}M)$$

其中$M=m_1\cdot m_2\cdots m_k$；$M_i=\frac{M}{m_i}$； $M_i^{-1}$满足$M_i^{-1}\cdot Mi\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i)$；

此时$x$是该同余式方程组在模$M$下的解（是唯一的）

$Pythonapplication$

from functools import reduce
def CRT(moudle,a):
    M = reduce((lambda x,y : x * y),moudle)
    result = 0
    for mi in moudle:
        Mi = M // mi
        inv_Mi = gmpy2.invert(Mi,mi)
        result = (result + a[moudle.index(mi)] * Mi * inv_Mi) % M
    return result % M

传入的module是由各个同余式的模数构成的列表

a是同余式右侧（实际上左右都一样）的已知数值

整个函数求得的结果即是上文公式提到的x=result，该x是涉及的所有同余式的根且唯一

$Extension$

实际上应用时，还可能遇到模数不互素的情况，也即是公式中的$m_1,m_2,m_3\cdots$两两不互素的这个条件不成立，此时也可以使用中国剩余定理（CRT）

(11条消息) 中国剩余定理模数不互素的情况_M3ng@L的博客-CSDN博客

$Reference$

中国剩余定理学习笔记 - MashiroSky - 博客园 (cnblogs.com)