高数 | 【一元函数微分学】一元函数微分的本质 导数与微分的区别

一、微分的本质

微分本质是一个微小的线性变化量，是用一个线性函数作为原函数变化的逼近（或者叫近似）。

现在我们将 定义为dy。而 表示的是函数值的变化，显然dy的真正含义是对这种变化的逼近。也就是说我们定义微分，就是想借助微分这个工具来研究函数的变化趋势。

从上面你可以明白两件事：

第一：微分，即dy，不是一个符号哦，是真的有具体值的，它的值为

第二：观察下 ，显然是一个关于 的线性函数，因此微分是其实在一点处，用一个线性函数的变化来逼近函数的变化，线性的东西，其规律好掌握。

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那么我们根据 还可以推导出更多东西

比如令里面的y为x，则可以得到 那么x的微分也就出来了。

说白了，dy和dx表示的就是y和x的变化量，是一种具体的量，跟我们通常理解的变化差额没什么本质区别，只不过因为 趋近0这种极限的性质，让他变得特殊一点而已。因此我们在数学上给他起个牛逼的代号，微分！以后用到微分的地方太多了，所以要起名字。

好，那么根据我们的定义，导数和微分的关系自然而然就出来了，由 ，自然就得到 。

是不是觉得导数和微分的关系其实也没有那么神秘，这一切都只源于那些数学大家的定义而已。所谓定义，肯定是人为的了，没什么道理可讲。

从上面微分的提出过程我们可以到，是沿着极限、导数、微分这个次序来架构的。因此可以说极限是导数和微分的基石。然后在历史上，可不是这样子的，甚至因此而引发了第二次数学危机呢！

这就得联系到开头我提到的那个例子，它的做法到底是对的还是错的呢？好像大多数同学都喜欢这么做。其实是按照目前的微积分体系来看，是错误的。为什么呢？这就要从微分的发展历史来说了。

 二、导数和微分的区别

导数:是指函数在某一点处变化的快慢,是一种变化率。
微分：是指函数在某一点处（趋近于无穷小）的变化量，是一种变化的量。

 

而对于多元函数而言，全微分就是指在各个自变量处的微分的和。也就是说总的变化量指各个分变化量的和，这样子就比较容易理解了。比如三元函数，所以dz=zxdx+zydy。

导数和微分的关系类似于速度和路程。也就是说两个变化量之间的比值为衡量变化快慢的变化率。比如速度就是路程的变化量和时间的变化量的比值。而对于一元导数就为y的变化量dy与x的变化量dx之间的比值。

摘录于

一元函数微分的本质 - 知乎