协方差矩阵与相关系数矩阵
文章目录
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- 前言
- 1. 方差、协方差与相关系数
- 2. 协方差矩阵
- 3. 相关系数矩阵
前言
本篇博客主要介绍一下方差、协方差及相关系数的相关知识，进而引入了协方差矩阵与相关系数矩阵，并结合相关实例进行说明。
1. 方差、协方差与相关系数
在《概率论与数理统计》中，方差用来度量单个随机变量 X X X的离散程度，记为 D X DX DX，计算公式如下：
D X = E ( X − E X ) 2 = E X 2 − E 2 X \begin{aligned} DX &= E(X-EX)^2 \\[3pt] &= EX^2 - E^2X \end{aligned} DX=E(X−EX)2=EX2−E2X 数学表达式为： σ 2 ( x ) = 1 n − 1 ∑ i = 1 N ( x i − x ˉ ) 2 \sigma ^2(x) = \frac {1} {n-1}\sum _{i=1} ^N (x_i - \bar x)^2 σ2(x)=n−11i=1∑N(xi−xˉ)2
即
方差 = 平方的期望 - 期望的平方
协方差用来度量两个随机变量 X X X和 Y Y Y间的相似程度，记为 C o v ( X , Y ) Cov(X,Y) Cov(X,Y)，计算公式为：
C o v ( X , Y ) = E [ ( X − E X ) ⋅ ( Y − E Y ) ] = E ( X Y ) − E X ⋅ E Y \begin{aligned} Cov(X,Y) &= E[(X - EX) \cdot (Y - EY)] \\[3pt] &= E(XY) - EX \cdot EY \end{aligned} Cov(X,Y)=E[(X−EX)⋅(Y−EY)]=E(XY)−EX⋅EY 数学表达式为： σ ( x , y ) = 1 n − 1 ∑ i = 1 N ( x i − x ˉ ) ( y i − y ˉ ) \sigma (x, y) = \frac {1} {n-1}\sum _{i=1} ^N (x_i - \bar x) (y_i - \bar y) σ(x,y)=n−11i=1∑N(xi−xˉ)(yi−yˉ)
从公式上来看，协方差是两个变量与自身期望做差再相乘，然后对乘积取期望。也就是说，当其中一个变量的取值大于自身期望，另一个变量的取值也大于自身期望时，即两个变量的变化趋势相同，此时，两个变量之间的协方差取正值。反之，即其中一个变量大于自身期望时，另外一个变量小于自身期望，那么这两个变量之间的协方差取负值。
相关系数，也叫皮尔逊(Pearson)相关系数，用来度量两个随机变量 X X X和 Y Y Y间的相关程度，记为 ρ X Y \rho_{XY} ρXY，计算公式为：
ρ X Y = C o v ( X , Y ) D X D Y \rho_{XY} = \frac {Cov(X,Y)} {\sqrt {DX} \sqrt {DY}} ρXY=DXDYCov(X,Y) 若 ρ X Y > 0 \rho_{XY} > 0 ρXY>0，表示随机变量 X X X和 Y Y Y呈正相关；
若 ρ X Y < 0 \rho_{XY} < 0 ρXY<0，表示随机变量 X X X和 Y Y Y呈负相关；
若 ρ X Y = 0 \rho_{XY} = 0 ρXY=0，表示随机变量 X X X和 Y Y Y不相关，即相互独立；
若 ρ X Y = ± 1 \rho_{XY} = \pm1 ρXY=±1，表示随机变量 X X X和 Y Y Y呈线性相关；
相关系数也可以看成协方差：一种剔除了两个变量量纲影响、标准化后的特殊协方差，它消除了两个变量变化幅度的影响，而只是单纯反应两个变量每单位变化时的相似程度。
2. 协方差矩阵
在实际场景中，我们在描述一个物体时，并不会单单从一个或两个维度去描述，比如说，在描述一个神经网络模型的性能时，需要从模型的大小，精度，推理时间等多个维度来衡量。在进行多维数据分析时，不同维度之间的相关程度就需要协方差矩阵(covariance matrix)来描述，维度之间的两两相关程度就构成了协方差矩阵，而协方差矩阵主对角线上的元素即为每个维度上的数据方差。
协方差矩阵的表达式为： ∑ = [ σ ( x 1 , x 1 ) … σ ( x 1 , x n ) ⋮ ⋱ ⋮ σ ( x n , x 1 ) … σ ( x n , x n ) ] \sum = \begin{bmatrix} \sigma (x_1, x_1) & \dots & \sigma (x_1, x_n) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \sigma (x_n, x_1) & \dots & \sigma (x_n, x_n) \\ \end{bmatrix} ∑= σ(x1,x1)⋮σ(xn,x1)…⋱…σ(x1,xn)⋮σ(xn,xn)
3. 相关系数矩阵
顾名思义，就是由相关系数组成的矩阵(correlation matrix)，也叫系数矩阵，矩阵中的每个元素的取值范围为[-1, 1]。
相关系数矩阵的表达式为： C = [ ρ ( x 1 , x 1 ) … ρ ( x 1 , x n ) ⋮ ⋱ ⋮ ρ ( x n , x 1 ) … ρ ( x n , x n ) ] = [ 1 … ρ ( x 1 , x n ) ⋮ ⋱ ⋮ ρ ( x n , x 1 ) … 1 ] \begin{aligned} C &= \begin{bmatrix} \rho(x_1, x_1) & \dots & \rho(x_1, x_n) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \rho(x_n, x_1) & \dots & \rho(x_n, x_n) \\ \end{bmatrix}\\[5pt] &= \begin{bmatrix} 1 & \dots & \rho(x_1, x_n) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \rho(x_n, x_1) & \dots & 1 \\ \end{bmatrix} \end{aligned} C= ρ(x1,x1)⋮ρ(xn,x1)…⋱…ρ(x1,xn)⋮ρ(xn,xn) = 1⋮ρ(xn,x1)…⋱…ρ(x1,xn)⋮1