MATLAB中如何提取符号表达式的系数(附实例代码)

一、问题引入

  在算法开发与公式推导过程中，利用MATLAB的符号计算功能，可以大大提高效率，且大大降低公式推导错误的可能性。那么，如何提取符号表达式中某一子表达式的系数呢？比如符号表达式$f=a{x}^3+ecos(y^2)x^2+bx+c+dsin(x)y$，如何提取$sin(x),cos(y^2)$等子表达式的系数？

二、解决方案

  MATLAB自带的函数coeffs，可以提取符号多项式各次幂的系数。下面的例子为提取上述关于x的符号多项式各次幂的系数：

clc
clear

syms a b c d e x y real
expr = a*x^3 + e*cos(y^2)*x^2 + b*x + c + d*sin(x)*y;
coeff = coeffs(expr, x, 'all')

  那么，问题来了，如何提取$sin(x),cos(y^2)$等子表达式的系数？假设我们有办法将子表达式$sin(x)$代换成另一个变量，例如$M$。那么，关于符号变量$M$的表达式变为$f(M)=a{x}^3+ecos(y^2)x^2+bx+c+dyM$，为符号一次多项式，利用函数coeffs便可以提取符号变量$M$的系数，为$dy$。
  MATLAB自带的函数subs可以实现表达式的代换，注意是“代换”而非简单的字符替换(字符替换需要字符完全相同才能实现替换)。函数subs实例：

clc
clear

syms a b c d e x y M  real
expr = a*x^3 + e*cos(y^2)*x^2 + b*x + c + d*sin(x)*y;
newExpr = subs(expr, a*x^3 + b*x, M)  %把a*x^3 + b*x代换成M
newExpr2 = subs(expr, x*b + x^3*a, M)  %把a*x^3 + b*x代换成M

  MATLAB的subs函数的功能还不是很完善，下面的例子会出现代换失败的情况：

  注意：用subs函数做子表达式代换时，子表达式最好仅有一项，否则有可能出现代换失败的情况，而且，目标表达式最好先用expand函数展开！

三、实例代码

%{
Function: expr_coeff
Description: 提取任意符号表达式中，任意子表达式的系数
Input: 任意符号表达式expr(一维矩阵，元素个数可以大于1)；任意符号子表达式subExpr(一维矩阵，元素个数可以大于1)
Output: 任意符号表达式中，任意子表达式的系数coeff
Author: Marc Pony(marc_pony@163.com)
%}
function coeff = expr_coeff(expr, subExpr)

if size(expr, 1) > 1 && size(expr, 2) > 1
    error('符号表达式必须为一维矩阵')
end
if ~isa(expr, 'sym')
    error('输入表达式必须为符号表达式')
end

if size(subExpr, 1) > 1 && size(subExpr, 2) > 1
    error('符号表达式必须为一维矩阵')
end
if ~isa(subExpr, 'sym')
    error('输入表达式必须为符号表达式')
end

syms nnn_ real
coeff = sym(zeros(length(expr), length(subExpr)));
for i = 1 : length(expr)
    for j = 1 : length(subExpr)
        res = coeffs(subs(expand(expr(i)), subExpr(j), nnn_), nnn_);  %用符号变量nnn_将表达式expr(i)中的子表达式subExpr(j)代换(不是简单的字符串替换,当表达式expr = x + 1 + a, 子表达式subExpr = x + a时，也能代换)
        if length(res) <= 1
            coeff(i, j) = 0;
        else
            coeff(i, j) = res(2);
            coeff(i, j) = subs(expand(coeff(i, j)), nnn_, subExpr(j)); %回代
        end
    end
end

end

clc
clear

syms a b c d e x y p real

%% (1)
expr1 = sym(0);
coeff1 = expr_coeff(expr1, x)

%% (2)
expr2 = a*x^3 + b*x + c + d*x*sin(x) + e*y*cos(y);
coeff2 = expr_coeff(expr2, [a, b, c, d, e, x, y, p])

%% (3)
expr3 = a*x^3 + e*cos(y^2)*x^2 + b*x + c + d*sin(x)*y;
coeff3 = expr_coeff(expr3, [x^2, x^3, sin(x), cos(x), sin(y), cos(y), y^2])

%% (4)
coeff4 = expr_coeff([expr1, expr2, expr3], [x^3, sin(x), cos(y)])