C++ opencv曲线拟合

简介:此问题是在做旋转模板匹配的时候,选择最好的匹配结果时产生的。查找资料发现多项式拟合问题可以变成一个超定方程的求解问题,而opencv中本身有一个cv::solve()函数可以求解线性方程组,因此对于大多数用到opencv又要进行曲线拟合的地方都可以参考此处的求解过程来解决。

文章目录

  • 1. 问题:
  • 2. 分析
  • 3. 超定方程:
    • 超定方程定义:
  • 4. 二次曲线拟合:
  • 5. python 实现:
  • 6. C++实现:

1. 问题:

原始数据是一些离散的散点,下图是用matplotlib的plot方法画出来的,我想得到下图中最高处附近的近似的曲线方程,以得到一个最大值和最大值对应的横坐标。从下图看,在最高处附近很像一条抛物线,那就用2次函数去拟合最高处附近的曲线看看效果
C++ opencv曲线拟合_第1张图片

2. 分析

二次函数的一般形式为 f ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 f(x)=a0+a1x+a2x2,二次函数由 a 0 , a 1 , a 2 a_0,a_1,a_2 a0,a1,a2完全决定,这样只需要三组 ( x , f ( x ) ) (x,f(x)) (x,f(x))的数据我们就可以求出 f ( x ) f(x) f(x)的表达式。例如现在我们获得了三组数据, ( 1 , 6 ) , ( 2 , 11 ) , ( 3 , 18 ) (1,6),(2,11),(3,18) (1,6),(2,11),(3,18),写成方程组的形式就是
a 0 + a 1 + a 2 = 6 a 0 + 2 a 1 + 4 a 2 = 11 a 0 + 3 a 1 + 9 a 2 = 18 a_0 + a_1 + a2 = 6\\ a_0 + 2a_1 + 4a_2 = 11\\ a_0 + 3a_1 + 9a_2 = 18\\ a0+a1+a2=6a0+2a1+4a2=11a0+3a1+9a2=18
求解这个线性方程组就可以得到我们需要的二次方程,很容易求出来 a 0 = 3 , a 1 = 2 , a 2 = 1 , 即 : f ( x ) = 3 + 2 x + x 2 a_0=3,a_1=2,a_2=1,即:f(x) = 3+2x+x^2 a0=3,a1=2,a2=1,f(x)=3+2x+x2
在实际的情况下我们观测获得的数据并不是绝对准确的,也就是存在偏差,当数据足够多时就可以去除很大一部分随机误差,但是当方程数超过未知数的个数时,怎么求解呢?这就要引入下面超定方程的知识了。

3. 超定方程:

设方程Ax = b.根据有效的方程个数和未知数的个数,可以分为以下3种情况:

  1. rank(A) < n,也就是说方程个数小于未知数的个数,约束不够,方程存在无数组解,

  2. rank(A) = n 方程个数等于未知数的个数, 方程存在唯一的精确解,解法通常有消元法,LU分解法

  3. rank(A) > n,方程个数多于未知数个数,这个时候约束过于严格,没有精确解,这种方程又称之为超定方程。通常工程应用都会遇到这种情况,找不到精确解的情况下,选取最优解,这个最优解,又称之为最小二乘解。

超定方程定义:

设方程组 A x = b Ax=b Ax=b 中, A = ( a i j ) m × n A = (a_{ij})_{m \times n} A=(aij)m×n , b b b m m m维已知向量, x x x是n维解向量,当 m > n m> n m>n,即方程个数大于自变量个数时,称此方程组为超定方程组。

  • 最小二乘解的定义:

r = b − A x r=b-Ax r=bAx,称使 ∣ ∣ r ∣ ∣ 2 2 ||r||_2^2 r22 最小的解 x ∗ x^* x 为方程组 A x = b Ax=b Ax=b 的最小二乘解。

  • 定理:

x ∗ x^* x A x = b Ax=b Ax=b 的最小二乘解的充要条件是: x ∗ x^* x A T A x = A T b A^TAx=A^Tb ATAx=ATb的解。

4. 二次曲线拟合:

  • 待拟合点:angle为横坐标,matchVal为纵坐标。
angle = { -10.,  -9.,  -8.,  -7.,  -6.,  -5.,  -4.,  -3.,  -2.,  -1.,   0.,
		 1.,   2.,   3.,   4.,   5.,   6.,   7.,   8.,   9. };
matchVal = { 0.890928, 0.904723, 0.921421, 0.935007, 0.94281 , 0.949828,
		   0.966265, 0.975411, 0.978693, 0.97662 , 0.974468, 0.967101,
		   0.957691, 0.958369, 0.949841, 0.932791, 0.9213  , 0.901874,
		   0.879374, 0.868257 };
  • 散点图:

C++ opencv曲线拟合_第2张图片

  • 数学过程:
    f ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 f(x) = a_0+a_1x+a_2x^2 f(x)=a0+a1x+a2x2,则 A x = b Ax=b Ax=b

A = ( 1 − 10 100 1 − 9 81 1 − 8 64 1 − 7 49 1 − 6 36 1 − 5 25 1 − 4 16 1 − 3 9 1 − 2 4 1 − 1 1 1 0 0 1 1 1 1 2 4 1 3 9 1 4 16 1 5 25 1 6 36 1 7 49 1 8 64 1 9 81 ) A=\begin{pmatrix} 1& -10& 100\\ 1& -9& 81\\ 1& -8& 64\\ 1& -7& 49\\ 1& -6& 36\\ 1& -5& 25\\ 1& -4& 16\\ 1& -3& 9\\ 1& -2& 4\\ 1& -1& 1\\ 1& 0& 0\\ 1& 1& 1\\ 1& 2& 4\\ 1& 3& 9\\ 1& 4& 16\\ 1& 5& 25\\ 1& 6& 36\\ 1& 7& 49\\ 1& 8& 64\\ 1& 9& 81 \end{pmatrix} A=111111111111111111111098765432101234567891008164493625169410149162536496481, x = ( a 0 a 1 a 2 ) x=\begin{pmatrix} a_0\\ a_1\\ a_2 \end{pmatrix} x=a0a1a2, b = ( 0.890928 0.904723 0.921421 0.935007 0.94281 0.949828 0.966265 0.975411 0.978693 0.97662 0.974468 0.967101 0.957691 0.958369 0.949841 0.932791 0.9213 0.901874 0.879374 0.868256 ) b=\begin{pmatrix} 0.890928\\ 0.904723\\ 0.921421\\ 0.935007\\ 0.94281\\ 0.949828\\ 0.966265\\ 0.975411\\ 0.978693\\ 0.97662\\ 0.974468\\ 0.967101\\ 0.957691\\ 0.958369\\ 0.949841\\ 0.932791\\ 0.9213\\ 0.901874\\ 0.879374\\ 0.868256 \end{pmatrix} b=0.8909280.9047230.9214210.9350070.942810.9498280.9662650.9754110.9786930.976620.9744680.9671010.9576910.9583690.9498410.9327910.92130.9018740.8793740.868256
构造 A T A x = A T b A^TAx=A^Tb ATAx=ATb,求解此线性方程组就可以得到最小二乘解,也就得到我们需要的二次方程了。

5. python 实现:

import cv2 as cv
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
#%matplotlib
x = np.array([-10.,  -9.,  -8.,  -7.,  -6.,  -5.,  -4.,  -3.,  -2.,  -1.,   0.,
         1.,   2.,   3.,   4.,   5.,   6.,   7.,   8.,   9.], np.float)
y = np.array([0.890928, 0.904723, 0.921421, 0.935007, 0.94281 , 0.949828,
       0.966265, 0.975411, 0.978693, 0.97662 , 0.974468, 0.967101,
       0.957691, 0.958369, 0.949841, 0.932791, 0.9213  , 0.901874,
       0.879374, 0.868257], np.float)

A = np.zeros((len(x), 3)) #构造一个范德蒙德矩阵
A[:,0] = 1
A[:,1] = x
A[:,2] = x**2

c = np.matmul(A.T, A)
d = np.matmul(A.T, y)

_,result = cv.solve(c,d)

y2 = result[0] + result[1]*x + result[2] * (x**2)

plt.grid(True)
plt.xlabel("angle")
plt.ylabel("matchVal")
plt.scatter(x,y)
plt.plot(x,y2)
plt.plot( (-result[1]/result[2]/2,-result[1]/result[2]/2), (0.9,1))
print("拟合方程:f(x) = {} + ({}*x) + ({}*x^2)".format(result[0],result[1],result[2]))

  • 输出结果:
拟合方程:f(x) = [0.97301156] + ([-0.00231144]*x) + ([-0.00109041]*x^2)
  • 拟合结果:
    C++ opencv曲线拟合_第3张图片

6. C++实现:

#include 
int fitCurve(std::vector<double> x, std::vector<double> y)
{
	//columns is 3, rows is x.size()
	cv::Mat A = cv::Mat::zeros(cv::Size(3, x.size()), CV_64FC1);
	for (int i = 0; i < x.size(); i++)
	{
		A.at<double>(i, 0) = 1;
		A.at<double>(i, 1) = x[i];
		A.at<double>(i, 2) = x[i] * x[i];
	}
	
	cv::Mat b = cv::Mat::zeros(cv::Size(1, y.size()), CV_64FC1);
	for (int i = 0; i < y.size(); i++)
	{
		b.at<double>(i, 0) = y[i];
	}

	cv::Mat c;
	c = A.t() * A;
	cv::Mat d;
	d = A.t() * b;

	cv::Mat result = cv::Mat::zeros(cv::Size(1, 3), CV_64FC1);
	cv::solve(c, d, result);
	std::cout << "A = " << A << std::endl;
	std::cout << "b = " << b << std::endl;
	std::cout << "result = " << result << std::endl;
	double a0 = result.at<double>(0, 0);
	double a1 = result.at<double>(1, 0);
	double a2 = result.at<double>(2, 0);
	std::cout << "对称轴:" << -a1 / a2 / 2 << std::endl;
	std::cout << "拟合方程:" << a0 << " + (" << a1 << "x) + (" << a2 << "x^2)";
	return 0;
}
int main()
{
	double a[] = { -10.,  -9.,  -8.,  -7.,  -6.,  -5.,  -4.,  -3.,  -2.,  -1.,   0.,
		 1.,   2.,   3.,   4.,   5.,   6.,   7.,   8.,   9. };
	double b[] = { 0.890928, 0.904723, 0.921421, 0.935007, 0.94281 , 0.949828,
		   0.966265, 0.975411, 0.978693, 0.97662 , 0.974468, 0.967101,
		   0.957691, 0.958369, 0.949841, 0.932791, 0.9213  , 0.901874,
		   0.879374, 0.868257 };
	std::vector<double> x;
	std::vector<double> y;
	for (int i = 0; i < (sizeof(a) / sizeof(a[0])); i++)
	{
		x.push_back(a[i]);
		y.push_back(b[i]);
	}

	fitCurve(x, y);
	return 0;
}
  • 输出:
A = [1, -10, 100;
 1, -9, 81;
 1, -8, 64;
 1, -7, 49;
 1, -6, 36;
 1, -5, 25;
 1, -4, 16;
 1, -3, 9;
 1, -2, 4;
 1, -1, 1;
 1, 0, 0;
 1, 1, 1;
 1, 2, 4;
 1, 3, 9;
 1, 4, 16;
 1, 5, 25;
 1, 6, 36;
 1, 7, 49;
 1, 8, 64;
 1, 9, 81]
b = [0.8909280000000001;
 0.9047230000000001;
 0.921421;
 0.935007;
 0.94281;
 0.949828;
 0.966265;
 0.975411;
 0.978693;
 0.97662;
 0.974468;
 0.967101;
 0.957691;
 0.958369;
 0.949841;
 0.932791;
 0.9213;
 0.901874;
 0.879374;
 0.8682569999999999]
result = [0.9730115624060149;
 -0.002311438482570065;
 -0.001090408407382091]
对称轴:-1.0599
拟合方程:0.973012 + (-0.00231144x) + (-0.00109041x^2)

可以和python实现版对照着看最后拟合的方程是一样的!完美!

参考:
超定方程理论参考:https://blog.csdn.net/u014652390/article/details/52789591

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