数学建模算法与应用 整数规划（cvxpy包）

习题

习题2.1

   试将下述非线性的0-1规划问题转换成线性的0-1规划问题
$$\begin{gathered} maxz=x_1+x_1{x}_2-x_3 \\ s.t.=\{\begin{array}{l}-2x_1+3x_2+x_3\le 3\\ x_j=0\text{或}1,j=1,2,3\end{array} \end{gathered}$$

算法设计

  做变量替换$y=x_1{x}_2$，则有如下关系：
$$\begin{gathered} x_1+x_2-1\le y\le x_1 \\ {x}_1+x_2-1\le y\le x_2 \end{gathered}$$
  从而得到如下的线性0-1规划
$$\begin{gathered} maxz=x_1+y-x_3 \\ s.t.=\{\begin{array}{l}-2x_1+3x_2+x_3\le 3\\ x_1+x_2-1\le y\le x_1\\ x_1+x_2-1\le y\le x_2\\ x_j=0或1,j=1,2,3\\ y=0或1\end{array} \end{gathered}$$

习题2.2

  某市为方便小学生上学，拟在新建的8个居民小区$A_1,A_2,...,A_8$增设若干所小学，经过论证知备选校址有$B_1,B_2,...,B_6$，它们能够覆盖的居民小区如下表所示。

$B_1$	$B_2$	$B_3$	$B_4$	$B_5$	$B_6$
$A_1,A_5,A_7$	$A_1,A_2,A_5,A_8$	$A_1,A_3,A_5$	$A_2,A_4,A_8$	$A_3,A_6$	$A_4,A_6,A_8$

  试建立一个数学模型，确定出最小个数的建校地址，使其能够覆盖所有的居民小区

算法设计

  令
$$x_i=\{\begin{array}{l}1,在备选校址B_i建学校\\ 0,在备选校址B_i不建学校\end{array}$$
  小区$A_1$可以被备选校址B_1、B_2、B_3处所建的学校覆盖，则有约束条件
$$x_1+x_2+x_3\ge 1$$
  依次类推，建立如下0-1整数规划模型：
$$\begin{gathered} min\sum _{i=1}^6{x}_i \\ s.t.=\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3\ge 1\\ x_2+x_4\ge 1\\ x_3+x_5\ge 1\\ x_4+x_6\ge 1\\ x_5+x_6\ge 1\\ x_1\ge 1\\ x_2+x_4+x_6\ge 1\\ x_i=0或1,i=1,2,...,8\end{array} \end{gathered}$$

# 决策变量
n = 8
# nonneg参数，变量是否为非负
x = cp.Variable(n,nonneg = True)

# 约束1
A1 = np.array([[1,1,1,0,0,0,0,0],
              [0,1,0,1,0,0,0,0],
              [0,0,1,0,1,0,0,0],
              [0,0,0,1,0,1,0,0],
              [0,0,0,0,1,1,0,0],
              [1,0,0,0,0,0,0,0],
              [0,1,0,1,0,1,0,0]])
b1 = np.array([1,1,1,1,1,1,1])

# 约束2
A2 = np.ones((8, 8))
for i in range(A2.shape[0]):
    for j in range(A2.shape[1]):
        if i == j:
            pass
        else:
            A2[i, j] = A2[i, j]*0

b2 = np.array([0,0,0,0,0,0,0,0])
# 约束3
A3 = np.ones((8, 8))
for i in range(A3.shape[0]):
    for j in range(A3.shape[1]):
        if i == j:
            pass
        else:
            A3[i, j] = A3[i, j]*0
b3 = np.array([1,1,1,1,1,1,1,1])

# 目标函数
c = np.array([1,1,1,1,1,1,1,1])

# 定义问题，添加约束条件
prob = cp.Problem(cp.Minimize(c.T @ x),
                  [A1 @ x >= b1,
                  A2 @ x >= b2,
                  A3 @ x <= b3])

# 求解
ans = prob.solve(solver=cp.GLOP)
# 输出结果
print("目标函数最小值:", ans)
# 对x向量各元素取整数后再输出
print(x.value)

输出

目标函数最小值: 3.0
[ 1. -0.  0.  1.  1. -0. -0. -0.]

习题2.3

  某公司新购置了某种设备6台，欲分配给下属的4个企业，每个企业至少获订一台设备，已知各企业获得这种设备后年创利润如下表所示，单位为千万元。问应如何分配这些设备能使年创利润最大，最大利润是多少？

设备	甲	乙	丙	丁
1	4	2	3	4
2	6	4	5	5
3	7	6	7	6
4	7	8	8	6
5	7	9	8	6
6	7	10	8	6

算法设计

  用$j=1,2,3,4$分别表示甲、乙、丙、丁4个企业，$c_{ij}$表示第$i(i=1,2,...,6)$台设备分配给第j个企业创造的利润，引进0-1变量：
$$x_{ij}=\{\begin{array}{l}1,第i台设备分配给第j个企业\\ 0,第i台设备不分配给第j个企业\end{array}$$
  数学模型为：
$$\begin{gathered} max\sum _{i=1}^6\sum _{j=1}^4{c}_{ij}{x}_{ij} \\ s.t.=\{\begin{array}{l}\sum _{i=1}^6\ge 1,j=1,2,3,4\\ \sum _{j=1}^4\ge 1,i=1,2,...,6\\ x_{ij}=0或1,i=1,2,...6;j=1,2,3,4\end{array} \end{gathered}$$

• 这里用到了矩阵的点乘，需要用函数multiply，不能直接用python内置的矩阵乘法c * x会报维度错误。函数说明参考

# 决策变量
n = (6,4)
# nonneg参数，变量是否为非负
x = cp.Variable(n,nonneg = True)

# 约束1
b1 = np.ones((6,4))
c = np.array([[4,2,3,4],
              [6,4,5,5],
              [7,6,7,6],
              [7,8,8,6],
              [7,9,8,6],
              [7,10,8,6]])

# 定义问题，添加约束条件
prob = cp.Problem(cp.Maximize(cp.sum(cp.sum(cp.multiply(c,x),axis = 1),axis = 0)),
                 [cp.sum(x,axis = 0) >= 1,
                  cp.sum(x,axis = 1) == 1,
                  x <= b1])

# 求解
ans = prob.solve(solver=cp.GLOP)
# 输出结果
print("目标函数最大值:", ans)
# 对x向量各元素取整数后再输出
print(x.value)

输出：

目标函数最大值: 44.0
[[ 0. -0. -0.  1.]
 [ 1. -0. -0. -0.]
 [ 0. -0.  1. -0.]
 [-0. -0.  1. -0.]
 [-0.  1. -0. -0.]
 [-0.  1. -0. -0.]]

习题2.4

  有一场由4个项目（高低杠、平衡木、跳马、自由体操）组成的女子体操团体赛，赛程规定：每个队最多允许10名运动员参赛，每一个项目可以有6名选手参加。每个选手参赛的成绩评分从高到低依次为10、9.9、9.8、…、0.1、0。每个代表队的总分是参赛选手所得总分之和，总分最多的代表队为优胜者。此外，还规定每个运动员只能参加全能比赛（4项全参加）与单项比赛这两类中的一类，参加单项比赛的每个运动员至多只能参加3个单项。每个队应有4人参加全能比赛，其余运动员参加单项比赛。
  现某代表队的教练已经对其所带领的10名运动员参加各个项目的成绩进行了大量测试，教练发现每个运动员在每个单项上的成绩稳定在4个得分上，她们得到这些成绩的相应概率也由统计得出，试解答以下问题：
  （1）每个选手的各单项得分按最悲观估算，在此前提下，请为该队排出一个出场阵容，使该队团体总分尽可能高；每个选手的各单项得分按均值估算，在此前提下，请为该队排出一个出场阵容，使该队团队总分尽可能高。
  （2）若对以往的资料及近期各种信息进行分析得到：本次夺冠的团体总分估计不少于236.2分，该队为了夺冠应排出怎样的阵容？以该阵容出战，其夺冠的前景如何？得分前景又如何？它有90%的把握战胜怎样水平的对手？

算法设计1

• 记$i=1,2,3,4$分别表示高低杠、平衡木、跳马、自由体操4项运动。引进决策变量：
  $$x_{ij}=\{\begin{array}{l}1,第j个人参加第i个项目\\ 0,第j个人不参加第i个项目\end{array}$$
  建立如下的非线性整数规划模型：
  $$\begin{gathered} min\sum _{i=1}^4\sum _{j=1}^6{c}_{ij}{x}_{ij} \\ s.t.=\{\begin{array}{l}\sum _{j=1}^{10}{x}_{ij}=6,i=1,2,3,4\\ \sum _{j=1}^{10}\prod _{i=1}^4{x}_{i}j=4\end{array} \end{gathered}$$
  引入0-1变量：
  $$y_j=\{\begin{array}{l}1,第j个人参加全能比赛\\ 0,第j个人不参加全能比赛\end{array}$$
  将非线性整数规划模型转换为0-1整数线性规划模型：
  $$\begin{gathered} min\sum _{i=1}^4\sum _{j=1}^6{c}_{ij}{x}_{ij} \\ s.t.=\{\begin{array}{l}\sum _{j=1}^{10}{x}_{ij}=6,i=1,2,3,4\\ 4y_j\le \sum _{i=1}^4{x}_{ij}\le 3+y_j,j=1,2,...,10\\ \sum _{j=1}^{10}{y}_j=4\end{array} \end{gathered}$$
• 变量约束条件改为布尔变量boolean = True，或整数变量integer = True，但是需要注意的是如果使用整数变量，最后需要添加条件x >= 0,x <= 1
• 更换求解器，以前的GLOP求解器无法解决有布尔变量的线性规划，所以将求解器换成GLPK_MI
• 如果提示求解器未安装，请使用pip install cvxopt，然后再使用cp.installed_solvers() ，查看已安装的求解器
• 以前使用GLOP时语法是prob.solve(solver=cp.GLOP)，现在使用GLPK_MI，语法变为prob.solve(solver='GLPK_MI')
• 数据下载

data = np.loadtxt("../input/math-modeling/data2_4.txt")
fen = data[:,0:20:2]
gai = data[:,1:20:2]
low = np.zeros([4,10])
zhun = np.zeros([4,10])
for i in range(0,4):
    for j in range(0,10):
        low[i,j] = fen[4*i,j]
        zhun[i,j] = fen[4*i:4*(i+1),j] @ gai[4*i:4*(i+1),j]
# 决策变量
n = (4,10)
z = 10
# nonneg参数，变量是否为非负
x = cp.Variable(n,boolean = True)
y = cp.Variable(z,boolean = True)

# 定义问题，添加约束条件
prob = cp.Problem(cp.Maximize(cp.sum(cp.sum(cp.multiply(low,x)))),
                 [cp.sum(x,axis = 1) == 6,
                  cp.sum(y,axis = 0) == 4,
                  4 * y <= cp.sum(x,axis = 0),
                  cp.sum(x,axis = 0) <= 3+y])
# 求解
ans = prob.solve(solver='GLPK_MI')
# 输出结果
print("目标函数最大值:", ans)
# 对x向量各元素取整数后再输出
print(x.value)

输出：

目标函数最大值: 212.3
[[0. 1. 0. 0. 1. 1. 1. 0. 1. 1.]
 [0. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 0.]
 [1. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 0.]
 [0. 1. 1. 0. 1. 1. 0. 0. 1. 1.]]

# 定义问题，添加约束条件
prob = cp.Problem(cp.Maximize(cp.sum(cp.sum(cp.multiply(zhun,x)))),
                 [cp.sum(x,axis = 1) == 6,
                  cp.sum(y,axis = 0) == 4,
                  4 * y <= cp.sum(x,axis = 0),
                  cp.sum(x,axis = 0) <= 3+y,
                  x>=0,x<=1,y>=0,y<=1])
# 求解
ans = prob.solve(solver='GLPK_MI')
# 输出结果
print("目标函数最大值:", ans)
# 对x向量各元素取整数后再输出
print(x.value)

输出：

目标函数最大值: 225.1
[[0. 1. 1. 0. 0. 1. 1. 0. 1. 1.]
 [0. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 1. 1. 1.]
 [1. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 1.]
 [0. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 1. 1. 1.]]

算法设计2

  将团体总分236.2作为一个约束条件，得分的概率作为目标函数，建立0-1整数规划模型。用$k=1,2,3,4$记运动员参加项目得到了第$K$种得分，$a_{ijk}$和$b_{ijk}$分别表示第$j$个运动员参加第$i$个项目得到的第$k$种得分值及概率。记$p_{ij}$为运动员$j$参加第$i$个项目的某种得分的概率。
  引入0-1变量：
$$z_{ijk}=\{\begin{array}{l}1,运动员j参加项目i得到a_{ijk}分\\ 0,运动员j参加i项目没得到a_{ijk}分\end{array}$$
  建立如下的整数规划模型：
$$\begin{gathered} max\prod _{i=1}^4\prod _{j=1}^{10}{p}_{ij}^{x_{ij}} \\ s.t.=\{\begin{array}{l}\sum _{j=1}^{10}{x}_{ij}=6,i=1,2,3,4\\ 4y_j\le \sum _{i=1}^4{x}_{ij}\le 3+y_j\\ \sum _{j=1}^{10}{y}_j=4\\ p_{ij}=\sum _{k=1}^4{b}_{ijk}{z}_{ijk},i=1,2,3,4;j=1,2,\cdots ,10\\ c_{ij}=\sum _{k=1}^4{a}_{ijk}{z}_{ijk},i=1,2,3,4;j=1,2,\cdots ,10\\ \sum _{i=1}^4\sum _{j=1}^{10}{c}_{ij}{x}_{ij}\ge 236.2\\ \sum _{j=1}^4{z}_{ijk}\le 1,i=1,2,3,4;j=1,2,\cdots ,10\\ x_{ij}=\sum _{k=1}^4{z}_{ijk},i=1,2,3,4;j=1,2,\cdots ,10\end{array} \end{gathered}$$

习题2.5

  某单位需要加工制作$100$套钢架，每套用长为$2.9m$、$2.1m$和$1m$的圆钢各一根。已知原料长$6.9m$。（1）如何下料，使用原材料最省？（2）若下料方式不超过三种，则应如何下料，使用的原材料最省？

算法设计1

• 使用枚举法列出所有可行的套裁方案。

目标	A	B	C	D	E	F	G
2.9	1	2	0	0	0	0	1
2.1	0	0	3	2	1	0	1
1	4	1	0	2	4	6	1
合计	6.9	6.8	6.3	6.2	6.1	6	6
料头	0	0.1	0.6	0.7	0.8	0.9	0.9

• 为了保证完成100套钢架，所使用原材料最省，可以混合使用各种下料方案。设按方案A、B、C、D、E、F、G下料的原材料根数分别为$x_i(i=1,2,...,7)$，根据上表的数据建立如下线性规划模型：
  $$\begin{gathered} min\sum _{i=1}^7{x}_i \\ s.t.=\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2+x_7\ge 100\\ 3x_3+2x_4+x_5+x_7\ge 100\\ 4x_1+x_2+2x_4+4x_5+6x_6+x_7\ge 100,\\ x_i\ge 0且为整数,i=1,2,...,7\end{array} \end{gathered}$$
• 这题需要对自变量约束，其为整型

s = np.zeros((4,7))
temp = 0
for i in range(3):
    for j in range(4):
        for k in range(7):
            if (2.9 * i + 2.1 * j + k > 5.9) and (2.9 * i + 2.1 * j + k <= 6.9):
                s[:,temp] = np.array([i,j,k,6.9-(2.9 * i + 2.1 * j +k)]).T
                temp = temp + 1
ss = s[3,:][np.argsort(s[3,:])]
idx = np.argsort(s[3,:])
s = s[:,idx]
a = s[0:3,:]

# 决策变量
n = 7
# integer,变量为整型
x = cp.Variable(n,integer = True)

# 定义问题，添加约束条件
prob = cp.Problem(cp.Minimize(cp.sum(x)),
                 [a @ x >= 100,x >= 0])
# 求解
ans = prob.solve(solver='GLPK_MI')
# 输出结果
print("目标函数最小值:", ans)
print(x.value)

输出：

目标函数最小值: 91.0
[14. 43. 33.  1.  0.  0.  0.]

算法设计2

• 用$i=1,2,...,7$分别表示套裁方案A、B、C、D、E、F、G，引进0-1变量：
  $$y_i=\{\begin{array}{l}1,采用第i种套裁方法\\ 0,不采用第i种套裁方法\end{array}$$
• 设$x_i(i=1,2,...,7)$表示采用第$i$种套裁方案下料的原材料根数。建立如下整数规划模型：
  $$\begin{gathered} min\sum _{i=1}^7{x}_i \\ s.t.=\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2+x_7\ge 100\\ 3x_3+2x_4+x_5+x_7\ge 100\\ 4x_1+x_2+2x_4+4x_5+6x_6+x_7\ge 100,\\ x_i\ge 0且为整数,i=1,2,...,7\\ x_i\le My,i=1,2,...,7\\ \sum _{i=1}^7{y}_i=3\\ y_i=0或1,i=1,2,...,7\end{array} \end{gathered}$$

# 决策变量
n = 7
k = 7
# integer,变量为整型
x = cp.Variable(n,integer = True)
# boolean，变量为布尔类型
y = cp.Variable(n,boolean = True)

# 定义问题，添加约束条件
prob = cp.Problem(cp.Minimize(cp.sum(x)),
                 [a @ x >= 100,
                  x >= 0,
                  x <= 10000 * y,
                  cp.sum(y) == 3])
# 求解
ans = prob.solve(solver='GLPK_MI')
# 输出结果
print("目标函数最小值:", ans)
print(x.value)

输出：

目标函数最小值: 92.0
[15. 43. 34.  0.  0.  0.  0.]

习题2.6

  求解整数线性规划问题
$$\begin{gathered} minz=20x_1+90x_2+80x_3+70x_4+30x_5 \\ s.t.=\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_5\ge 30\\ x_3+x_4\ge 30\\ 3x_1+2x_3\le 120\\ 3x_2+2x_4+x_5\le 48\\ x_j\ge 0且为整数,j=1,2,....,5\end{array} \end{gathered}$$

算法设计

# 决策变量
n = 5
# integer,变量为整型
x = cp.Variable(n,integer = True)
# 约束1
A1 = np.array([[1,1,0,0,1],
               [0,0,1,1,0]])
b1 = np.array([30,30])
# 约束2
A2 = np.array([[3,0,2,0,0],
               [0,3,0,2,1]])
b2 = np.array([120,48])
# 定义问题，添加约束条件
c = np.array([20,90,80,70,30])
prob = cp.Problem(cp.Minimize(c.T @ x),
                 [A1 @ x >= b1,
                  A2 @ x <= b2,
                  x >= 0])
# 求解
ans = prob.solve(solver='GLPK_MI')
# 输出结果
print("目标函数最小值:", ans)
print(x.value)

输出：

目标函数最小值: 2760.0
[30.  0.  6. 24.  0.]

习题2.7

  美佳公司计划制造Ⅰ、Ⅱ两种家电产品。已知各制造一件家电时分别占用的设备A和设备B的台时，调试工序时间，每天可用于这两种家电的能力，各销售一件家电的获利情况，如表所示。问该公司应制造两种家电各多少件，使获取的利润为最大。

项目	Ⅰ	Ⅱ	每天可用能力
设备A/h	0	5	15
设备B/h	6	2	24
调试工序/h	1	1	5
利润/元	2	1

算法设计

• 设$x_1,x_2$分别表示美佳公司每天制造家电Ⅰ、Ⅱ的产量，建立整数规划：
  $$\begin{gathered} maxz=2x_1+x_2 \\ s.t.=\{\begin{array}{l}5x_2\le 15\\ 6x_1+2x_2\le 24\\ x_1+x_2\le 5\\ x_1,x_2\ge 0且为整数\end{array} \end{gathered}$$

# 决策变量
n = 2
# integer,变量为整型
x = cp.Variable(n,integer = True)
# 约束1
A1 = np.array([[0,5],
               [6,2],
               [1,1]])
b1 = np.array([15,24,5])
# 约束2
A2 = np.array([[1,0],
               [0,1]])
b2 = np.array([0,0])
# 定义问题，添加约束条件
c = np.array([2,1])
prob = cp.Problem(cp.Maximize(c.T @ x),
                 [A1 @ x <= b1,
                  A2 @ x >= b2])
# 求解
ans = prob.solve(solver='GLPK_MI')
# 输出结果
print("目标函数最大值:", ans)
print(x.value)

输出：

目标函数最大值: 8.0
[4. 0.]

习题2.8

  求解标准的指派问题，其中指派矩阵
$$C=\left[\begin{array}{cccccc}6& 7& 5& 8& 9& 10\\ 6& 3& 7& 9& 3& 8\\ 8& 11& 12& 6& 7& 9\\ 9& 7& 5& 4& 7& 6\\ 5& 8& 9& 6& 10& 7\\ 9& 8& 7& 6& 5& 9\end{array}\right]$$

算法设计

• 记$C=(c_{ij}{)}_{6\times 6}$，引进0-1变量：
  $$x_{ij}=\{\begin{array}{l}1,第i个人干第j项工作\\ 0,第i个人不干第j项工作\end{array}$$
• 指派问题的0-1数学模型为：
  $$\begin{gathered} minz=\sum _{i=1}^6\sum _{j=1}^6{c}_{ij}{x}_{ij} \\ s.t.=\{\begin{array}{l}\sum _{i=1}^6{x}_{ij}=1,i=1,2,...,6\\ \sum _{i=1}^6{x}_{ij}=1,j=1,2,...,6\\ x_{ij}=0或1.i,j=1,2,...,6\end{array} \end{gathered}$$

# 决策变量
n = (6,6)
# integer,变量为整型
x = cp.Variable(n,boolean = True)

c = np.array([[6,7,5,8,9,10],
              [6,3,7,9,3,8],
              [8,11,12,6,7,9],
              [9,7,5,4,7,6],
              [5,8,9,6,10,7],
              [9,8,7,6,5,9]])
prob = cp.Problem(cp.Minimize(cp.sum(cp.sum(cp.multiply(c,x)))),
                  [cp.sum(x,axis = 0) == 1,
                   cp.sum(x,axis = 1) == 1])
# 求解
ans = prob.solve(solver='GLPK_MI')
# 输出结果
print("目标函数最大值:", ans)
print(x.value)

输出：

目标函数最大值: 30.0
[[0. 0. 1. 0. 0. 0.]
 [0. 1. 0. 0. 0. 0.]
 [0. 0. 0. 1. 0. 0.]
 [0. 0. 0. 0. 0. 1.]
 [1. 0. 0. 0. 0. 0.]
 [0. 0. 0. 0. 1. 0.]]

习题2.9

  已知某物质有8个配送中心可以供货，有15个部队用户需要该物资，配送中心和部队用户之间单位物质的运费、15个部队用户的物质需求量和8个配送中心的物质储备量数据。
  （1）根据题目给定的数据，求最小运费调用计划。
  （2）若每个配送中心，可以对某个用户配送物资，也可以不对某个用户配送物资；若配送物资，配送量要大于等于1000且小于等于2000，求此时的费用最小调用计划。

算法设计1

• 根据题意，建立如下的夏新规划模型：
  $$\begin{gathered} minz=\sum _{i=1}^{15}\sum _{j=1}^8{c}_{ij}{x}_{ij} \\ s.t.=\{\begin{array}{l}\sum _{i=1}^{15}{x}_{ij}\le b_j,i=1,2,...,8\\ \sum _{i=1}^8{x}_{ij}=a_i,j=1,2,...,15\\ x_{ij}\ge 0,i=1,2,...,15j=1,2,...,6\end{array} \end{gathered}$$

d = np.loadtxt("../input/math-modeling/data2_9_1.txt")
a = d[0:-1,-1]
b = d[-1,0:-1]
c = d[0:-1,0:-1]
# 决策变量
n = (15,8)
# integer,变量为整型
x = cp.Variable(n,integer = True)
prob = cp.Problem(cp.Minimize(cp.sum(cp.sum(cp.multiply(c,x)))),
                  [cp.sum(x,axis = 0) <= b,
                   cp.sum(x,axis = 1) == a,
                   x >= 0])
# 求解
ans = prob.solve(solver='GLPK_MI')
# 输出结果
print("目标函数最小值:", ans)
print(x.value)

输出：

目标函数最小值: 9244730.0
[[   0.    0.    0.    0.    0. 3000.    0.    0.]
 [   0.    0.    0.    0. 3100.    0.    0.    0.]
 [   0.    0.    0.    0.    0.    0.    0. 2900.]
 [   0.    0. 3100.    0.    0.    0.    0.    0.]
 [3100.    0.    0.    0.    0.    0.    0.    0.]
 [   0.    0.    0. 3400.    0.    0.    0.    0.]
 [   0. 3500.    0.    0.    0.    0.    0.    0.]
 [   0.    0.    0. 3200.    0.    0.    0.    0.]
 [   0. 3000.    0.    0.    0.    0.    0.    0.]
 [   0.    0.    0.    0.    0.    0.    0. 3100.]
 [   0.    0.    0.    0.    0.    0. 3300.    0.]
 [   0.    0.    0.    0.    0.    0. 3200.    0.]
 [   0.    0.    0.    0.    0.    0. 3300.    0.]
 [   0.    0.    0.    0.    0.    0.    0. 2900.]
 [   0.    0.    0.    0.    0.    0.    0. 3100.]]

算法设计2

• 引入0-1变量：
  $$y_{ij}=\{\begin{array}{l}1,第j个配送中心供应第i个用户\\ 0,第j个配送中心不供应第i个用户\end{array}$$
• 建立如下的混合整数线性规划模型：
  $$\begin{gathered} minz=\sum _{i=1}^{15}\sum _{j=1}^8{c}_{ij}{x}_{ij} \\ s.t.=\{\begin{array}{l}\sum _{i=1}^{15}{x}_{ij}\le b_j,i=1,2,...,8\\ \sum _{i=1}^8{x}_{ij}=a_i,j=1,2,...,15\\ 1000y_{ij}\le x_{ij}\le 2000y_{ij},i=1,2,...,15j=1,2,...,6\\ y_{ij}=0或1,i=1,2,...,15j=1,2,...,6\end{array} \end{gathered}$$
  输出：

目标函数最小值: 12682750.0
[[   0.    0.    0.    0. 1000. 2000.    0.    0.]
 [   0.    0.    0.    0. 2000. 1100.    0.    0.]
 [   0.    0. 1000.    0.    0.    0.    0. 1900.]
 [   0.    0. 2000.    0. 1100.    0.    0.    0.]
 [2000.    0.    0. 1100.    0.    0.    0.    0.]
 [1400.    0.    0. 2000.    0.    0.    0.    0.]
 [1500. 2000.    0.    0.    0.    0.    0.    0.]
 [   0.    0.    0. 2000. 1200.    0.    0.    0.]
 [1000. 2000.    0.    0.    0.    0.    0.    0.]
 [   0.    0. 1100.    0.    0.    0.    0. 2000.]
 [   0.    0.    0.    0.    0.    0. 2000. 1300.]
 [   0.    0.    0. 1200.    0.    0. 2000.    0.]
 [   0.    0.    0. 1300.    0.    0. 2000.    0.]
 [   0.    0. 1000.    0.    0.    0.    0. 1900.]
 [   0.    0.    0. 1100.    0.    0.    0. 2000.]]

习题2.10

  有4名同学到一家公司参加3个阶段的面试：公司要求每个同学都必须首先找公司秘书初试，然后到部门主管处复试，最后到经理处参加面试，并且不允许插队（即任何一个阶段4名同学的顺序是一样的）。由于4名同学的专业背景不同，所以每人在3个阶段的面试时间也不同，如下表所示。这4名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司。假定现在时间是早餐8:00，请问他们最早何时能离开公司？

同学	秘书初试	主管复试	经理面试
同学甲	14	16	21
同学乙	19	17	10
同学丙	10	15	12
同学丁	9	12	13

算法设计

• 记$t_{ij}$为第$i$名同学参加第$j$阶段面试需要的时间，令$x_{ij}$表示第$i$名同学参加第$j$阶段面试的开始时间，$T$为完成全部面试所花费的时间。引进0-1变量：
  $$y_{ik}=\{\begin{array}{l}1,第i名同学在第k名同学前面面试\\ 0,第k名同学在第i名同学前面面试\end{array}$$
• 由此建立如下的混合整数规划模型：
  $$\begin{gathered} minT \\ s.t.=\{\begin{array}{l}T\ge x_{i3}+t_{i3},i=1,2,3,4\\ x_{ij}+t_{ij}\le x_{i,j+1},i=1,2,3,4;j=1,2\\ x_{ij}+t_{ij}\le x_{kj}+10000(1-y_{ik}),1\le i<k\le 4;j=1,2,3\\ x_{kj}+t_{kj}\le x_{ij}+10000y_{ik},1\le i<k\le 4;j=1,2,3\\ y_{ik}=0或1,1\le i<k\le 4\end{array} \end{gathered}$$
• 对于大量有循环约束，可以在Python中定义一个列表，然后使用for循环来追加或扩展约束

t = np.array([[14,16,21],
             [19,17,10],
             [10,15,12],
             [9,12,13]])
x = cp.Variable((4,3),nonneg = True)
y = cp.Variable((4,4),boolean = True)
T = cp.Variable(1)
constraints = [x[:,2] + t[:,2] <= T]
for i in range(4):
    for j in range(2):
         constraints += [x[i,j] + t[i,j] <= x[i,j+1]]
for i in range(3):
    for j in range(3):
        for k in range(i+1,4):
            constraints += [x[i,j] + t[i,j] <= x[k,j] + 10000 * (1-y[i,k]),
                            x[k,j] + t[k,j] <= x[i,j] + 10000 * y[i,k]]
prob = cp.Problem(cp.Minimize(T),constraints)
# 求解
ans = prob.solve(solver='GLPK_MI')
# 输出结果
print("目标函数最小值:", ans)
print(x.value)

输出：

目标函数最小值: 82.0
[[ 9. 23. 39.]
 [33. 54. 72.]
 [23. 39. 60.]
 [-0.  9. 21.]]