PT@多维随机变量独立性@条件分布

独立性

• $$\begin{gathered} 对于任意实数x,y;随机事件X⩽x,和Y⩽y相互独立 \\ F(x,y)=F_X(x)F_Y(y) \\ 称,随机比那辆X,Y相互独立 \\ 其中,F_X(x),F_Y(y)分别为边缘分布函数(分布律) \end{gathered}$$

• $$\begin{gathered} 如果X,Y是独立变量,h(x),g(x)均为连续/单调函数 \\ 则h(x),g(x)也是相互独立的 \end{gathered}$$

• 当随机变量相互独立时,联合分布函数(密度)于边缘分布函数(密度)可以相互地唯一确定

二维离散型变量的独立性

• 设二维随机变量$(X,Y)$所有可能的取值为$(x_i,y_j),i,j=1,2,\cdots$

• 随机变量X,Y相互独立的充分必要条件为

  • 对任何$i,j=1,2,\cdots$,均有:

    • $$\begin{gathered} P(X=x_i,Y=y_i)=P(X=x_i)P(Y=y_i) \\ 记P(X=x_i)=p_{i\cdot } \\ P(Y=y_i)=p_{\cdot j} \\ P(X=x_i,Y=y_j)=p_{ij} \\ 则:p_{ij}=p_{i\cdot }{p}_{\cdot j} \end{gathered}$$

二维连续型随机变量的独立性

• 设二维连续型随机变量$(X,Y)$的来联合概率密度为$f(x,y)$关于随机变量X和Y的边缘概率密度分别为$f_X(x)和f_Y(y)$

• 关于随机变量X和Y的边缘概率密度分别为$f_X(x)和f_Y(y)$,则

• X和Y相互独立的充分必要条件是:

  • 对于任意实数x,y均有

  • $$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$$

例

• th-col:Y th-row:X	1	2	3
  1	a	1/9	1/18
  2	1/3	b	1/9

  • 由规范性得到:$a+1/9+1/18+1/3+b+1/9=1$

    • a+b=7/18

  • 由于X,Y相互独立,

    • $P(X=1,Y=3)=P(X=1)P(Y=3)$
    • $\frac{1}{18}=(a+1/9+1/18)(1/18+1/9)$
    • 解得a=1/6;b=2/9
    • 其余单元格利用独立性也可以求解,但是计算量不同

例

• 5件产品中有3件正品,2件次品

• 从中抽取量次

• 记

  • $$X_i=\{\begin{array}{l}1,第i次取到正品\\ 0,第i次取到次品\end{array}(i=1,2)$$

  • 其中,$X_1,X_2$分别表示一个随机变量

• 对于有放回抽样$X_1,X_2$之间是相互独立的

• 对于无放回抽样$X_1,X_2$之间是有关联的

  • $X_2将受到X_1的取值影响$

例

• 设随机变量X和Y相互独立且服从相同分布

  • 密度函数为

  • $$f(x)=\{\begin{array}{l}2x,0⩽x⩽1\\ 0,else\end{array}$$

  • $求P(X+Y⩽1)$

• 由于X,Y独立同分布

  • $$\begin{gathered} g(x,y)=f_X(x)f_Y(y)=f(x)\cdot f(y) \\ =\{\begin{array}{l}4xy,0⩽x⩽1,0⩽y⩽1\\ 0,else\end{array} \end{gathered}$$

  • $$\begin{gathered} P(X+Y⩽1)=\underset{x+y⩽1}{\iint }g(x,y)dxdy={\int }_0^{1}dx{\int }_0^{1-x}4xydxdy \\ =4{\int }_0^{1}x\left({\int }_0^{1-x}ydy\right)dx=4{\int }_0^1(x\frac{1}{2}{y}^2{|}_0^{1-x})dx=4({\int }_0^{1}x\frac{1}{2}(1-x{)}^{2}dx) \\ =2{\int }_0^{1}x(1-x{)}^{2}dx=2({\int }_0^1(x^3-2x^2+x)dx)=\frac{1}{6} \end{gathered}$$

随机变量的函数的独立性

• 独立随机变量的函数仍然是独立的
• X和Y是相互独立的随机变量
• h(x)和g(x)均为连续或单调函数,则随机变量$H=h(X),G=g(Y)$也是相互独立的

对严格递增的情况证明

• $设h(x),g(y)严格单调,则他们的反函数都存在$

  • $分别记为h^{-1}(x),g^{-1}(y)$,也都为严格单调递增的

  • 根据反函数的性质

    • $$\begin{gathered} H=h(X),X=h^{-1}(H) \\ G=g(Y),Y=g^{-1}(G) \end{gathered}$$

    • 由于$h(x),g(x)$单调增加,则$h^{-1}(x),g^{-1}(y)$也都单调增加

    • $$\begin{gathered} 假设f(x)的反函数存在,记为f^{-1}(x),则: \\ f(f^{-1}(x))=f^{-1}(f(x))=x \end{gathered}$$

  • $$\begin{gathered} T(H,G)=P(H⩽x,G⩽y)=P(h(X)⩽x,g(Y)⩽y) \\ 对H⩽x两边取(带入h^{-1}(x)),得到h^{-1}(H)⩽h^{-1}(x) \\ 即X⩽h^{-1}(x) \\ 同理,得到Y⩽g^{-1}(y) \\ T=T(H,G)=P(X⩽h^{-1}(x),Y⩽g^{-1}(y)) \\ 由X,Y的独立性: \\ T=P(X⩽h^{-1}(x))P(Y⩽g^{-1}(y))=P(h(X)⩽x)P(g(Y)⩽y) \end{gathered}$$

  • 所以

  • $$\begin{gathered} P(h(X)⩽x,g(Y)⩽y)=P(h(X)⩽x)P(g(Y)⩽Y) \\ 由定义,h(X)和g(Y)相互独立 \end{gathered}$$

ref

• PT_随机变量函数的分布_随机变量线性函数的正态分布_xuchaoxin1375的博客-CSDN博客

条件分布

• 对于不独立(相依)的随机随机变量间,如果一个随机变量的取值会影响另一个随机变量的取值
• 为了考察这种相互影响,可固定某个随机变量的取值,研究另一个随机变量的概率分布,这种概率称为条件分布

离散型

• $给定条件Y=y_i下随机变量X的分布律$

  • $$\begin{gathered} 记P(X=x_i,Y=y_j)=p_{ij}(i,j=1,2,\cdots ) \\ 为二维随机变量(X,Y)的联合分布分布律 \end{gathered}$$

条件分布律

• $$\begin{gathered} P(X=x_i|Y=y_j)=\frac{P(X=x_i,Y=y_j)}{P(Y=y_i)}=\frac{p_{ij}}{p_{\ast j}} \\ (i=1,2,\cdots ) \\ 该分布律称为:在给定Y=y_j条件下,随机变量X的条件分布律 \end{gathered}$$

• $类似可得到X=x_i下的概率分布$

例

• 射手单发射中目标的概率为p

  • 射中两次目标后停止

  • 记:

    • $X为第一次集中目标所耗费的射击次数i$

    • $Y为射中2次耗费的射击总次数j$

    • $$\{\begin{array}{llc}i& =& 1,\cdots ,j-1;\\ j& =& 2,\cdots \end{array}$$

      或者说:
      $$\{\begin{array}{llc}i& =& 1,\cdots ;\\ j& =& i+1,\cdots \end{array}$$

    • 最好的情况下:

      • i=1,j=2

    • 最坏的情况下:

      • $i\to \infty$
      • $j\to \infty$

  • (X,Y)的分布律

    • $$P(X=i,Y=j)=(1-p{)}^{i-1}{p}^1(1-p{)}^{j-1-i}{p}^1=p^2(1-p{)}^{j-2}$$

      • $\{\begin{array}{llc}i& =& 1,\cdots ,j-1;\\ j& =& 2,\cdots \end{array}$
      • $记q=1-p;则:P(X=i,Y=j)=p^2{q}^{j-2}$

  • 边缘分布律:

    • $$\begin{gathered} F_X(x)=\sum _{j=i+1}^{\infty }P(X=i,Y=j)=\sum _{j=i+1}^{\infty }{q}^{j-2}=p^2\sum _{j=i+1}^{\infty }{p}^2{q}^{j-2} \\ \stackrel{无穷级数}{}{p}^2\cdot \frac{q^{i-1}}{1-q}=p^2\cdot \frac{p^{i-1}}{p} \\ =p^1{q}^{i-1} \\ 其中(i=1,2,\cdots ) \end{gathered}$$

    • $$\begin{gathered} F_Y(y)=\sum _{i=1}^{j-1}P(X=i,Y=j)=\sum _{i=1}^{j-1}{p}^2{q}^{j-2}=p^2\sum _{i=1}^{j-1}{q}^{j-2} \\ =p^2\cdot (j-1)\cdot q^{j-1}=(j-1)p^2{q}^{j-2},(j=2,\cdots ) \end{gathered}$$

  • 条件分布:

    • $$\begin{gathered} 当j=2,\cdots , \\ P(X=i|Y=j)=\frac{P(X=i,Y=j)}{P(Y=j)} \\ =\frac{p^2{q}^{j-2}}{(j-1)p^2{q}^{j-2}}=\frac{1}{j-1},i=1,2,\cdots ,j-1 \\ P(Y=j|X=i)=\frac{P(X=i,Y=j)}{P(X=i)} \\ =\frac{p^2{q}^{j-2}}{p{q}^{i-1}}=p{q}^{j-i-1} \end{gathered}$$

连续型

• 连续型和离散型不同在于,不可以用条件概率的公式来直接求连续型的条件分布
  • $因为,连续型中,P(X=x)=P(Y=y)=0$

条件密度函数

• 为了解决上述问题,使用微分和极限的思想来定义条件密度

  • $将P(X=x)用P(x⩽X⩽x+\Delta x)$
  • $将P(Y=y)用P(y⩽Y⩽y+\Delta y)$

连续型条件分布

• 设$f_X(y)>0$在给定Y=y条件下随机变量X的条件分布函数$F_{X|Y}(x|y)$定义为:

  • $F_{X|Y}(x|y)=P(X⩽x|Y=y)$

• $$\begin{gathered} F_{X|Y}(x|y)=P(X⩽x|Y=y) \\ =\underset{\Delta y\to 0^{+}}{\lim }\frac{P(X⩽x,y⩽Y⩽y+\Delta y)}{P(y⩽Y⩽y+\Delta y)} \\ =\underset{\Delta y\to 0^{+}}{\lim }\frac{F(x,y+\Delta y)-F(x,y)}{F_Y(y+\Delta y)-F_Y(y)} \\ =\underset{\Delta y\to 0^{+}}{\lim }\frac{\frac{1}{\Delta y}(F(x,y+\Delta y)-F(x,y))}{\frac{1}{\Delta y}(F_Y(y+\Delta y)-F_Y(y))} \\ =\frac{\frac{\partial F(x,y)}{\partial y}}{\frac{\mathrm{d}{F}_Y(y)}{\mathrm{d}y}}=\frac{\frac{\partial }{\partial y}({\int }_{-\infty }^x{\int }_{-\infty }^{y}f(u,v)\mathrm{d}u\mathrm{d}v)}{f_Y(y)} \\ =\frac{{\int }_{-\infty }^{x}f(u,y)du}{f_Y(y)}={\int }_{-\infty }^x\frac{f(u,y)}{f_Y(y)}\mathrm{d}u \end{gathered}$$

补充:

• 推导中用到的常识

• $$\begin{gathered} F(x)=P(x⩽X) \\ P(\{x_1<x⩽x_2\})=F(x_2)-F(x_1) \\ F(x,y)=P(\{X⩽x\}\cap \{Y⩽y\})=P(X⩽x,Y⩽y) \\ F(x,y)={\int }_{-\infty }^x{\int }_{-\infty }^{y}f(u,v)\mathrm{d}u\mathrm{d}v \\ {F}_Y(y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)\mathrm{d}x \\ \frac{{\partial }^{2}F(x,y)}{\partial x\partial y}=f(x,y) \\ \frac{\partial }{\partial y}({\int }_{-\infty }^x{\int }_{-\infty }^{y}f(u,v)\mathrm{d}u\mathrm{d}v)={\int }_{-\infty }^{x}f(u,y)du \end{gathered}$$

概率和分布函数

• 从区域的角度有不等式

• $$\begin{gathered} 一般的,设x_0⩽x_1,y_0⩽y_1; \\ P(x_0<X⩽x_1,y_0<Y⩽y_1)⩽F(x_1,y_1)-F(x_0,y_0) \end{gathered}$$

• 从几何意义上可以看出等式:
  $$\begin{gathered} P(x_1<X⩽x_2,y_1<Y⩽y_2) \\ \begin{array}{rl}& =F(x_2,y_2)-F(x_1,y_2)-F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1)\\ & =\sum _{i=1}^{2}F(x_i,y_i)-\sum _{i=1}^{2}F(x_i,y_{3-i})\end{array} \end{gathered}$$

• 有等式:
  $$\begin{gathered} P(X⩽x,y_0<Y⩽y_1)=F(x,y_1)-F(x,y_0) \\ 或者 \\ P(x_0<X⩽x_1,Y⩽y)=F(x_1,y)-F(x_0,y) \end{gathered}$$

• $$P(X⩽x,y_0⩽Y⩽y_1)=F(x,y_1)-F(x,y_0)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{y_0}^{y_1}f(x,y)dydx$$

连续型条件密度

• $$\begin{gathered} 有条件分布函数: \\ {F}_{X|Y}(x|y)=P(X⩽x|Y=y)={\int }_{-\infty }^x\frac{f(u,y)}{f_Y(y)}\mathrm{d}u \end{gathered}$$

  $$\begin{gathered} f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)} \\ 其中,f(x,y)为联合密度函数; \\ {f}_Y(y)为边缘分布函数 \end{gathered}$$

小结

• 有上面的公式可以看出,求解条件概率密度前,也是先求解

  • 非条件联合分布密度
  • 边缘分布密度

• 另一个定义域

  • $$例如:f_{X|Y}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)},还要计算y的区间$$

examples

例

• 设二维随机变量$(X,Y)$服从区域$D=\{(x,y)|x^2+y^2⩽1\}$上的均匀分布

• 求$f_X(x),f_Y(y)$

• 分析:

  • $$\begin{gathered} 区域D的面积为\pi , \\ f(x,y)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{S_D}=\frac{1}{\pi },x^2+y^2⩽1\\ 0,else\end{array} \\ {f}_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy=\{\begin{array}{l}{\int }_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\frac{1}{\pi }dy,|x|<1\\ 0,else\end{array}=\{\begin{array}{l}\frac{2}{\pi }\sqrt{1-x^2},|x|<1\\ 0,else\end{array} \\ 有对称性 \\ {f}_Y(y)=\{\begin{array}{l}\frac{2}{\pi }\sqrt{1-y^2},|y|<1\\ 0,else\end{array} \end{gathered}$$

  • $$\begin{gathered} 当|x|<1时, \\ \begin{array}{rl}{f}_{Y|X}(y|x)& =\frac{f(x,y)}{f_X(x)}\\ & =\{\begin{array}{ll}\frac{1/\pi }{\frac{2}{\pi }\sqrt{1-x^2}},& (x,y)\in \{x,y:|x|<1,x^2+y^2⩽1\}\\ 0,& else\end{array}\\ & =\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}},& |x|<1,|y|⩽\sqrt{1-x^2}\\ 0,& else\end{array}\end{array} \\ 在给定X=x的条件下,随机变量Y服从D_1=[-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-y^2}]上的均匀分布 \\ Y\sim U(D_1) \end{gathered}$$

  • $$\begin{gathered} 同理,当|y|<1时, \\ {f}_{X|Y}(x|y)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{2\sqrt{1-y^2}},|x|⩽\sqrt{1-y^2}\\ 0,else\end{array} \\ 在给定Y=y的条件下,随机变量X服从D_2=[-\sqrt{1-y^2},\sqrt{1-y^2}]上的均匀分布 \\ X\sim U(D_2) \end{gathered}$$

例

• 已知二维随机变量(X,Y)的联合分布密度函数为

  • $$\begin{gathered} f(x,y)=\{\begin{array}{ll}x{e}^{-y},& D=\{0<x<y<+\infty \}\\ 0,& else\end{array} \\ 积分区间D是直线y=x和y轴在第一象限内的所围成的开放区域 \\ {f}_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy={\int }_x^{+\infty }x{e}^{-y}dy \\ =x(-e^{-y}{|}_x^{+\infty })=-x(e^{-\infty }-e^{-x})=x{e}^{-x},x>0 \\ {f}_X(x)=\{\begin{array}{ll}x{e}^{-x},& x>0\\ 0,& x⩽0\end{array} \\ {f}_Y(y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dx={\int }_0^{y}x{e}^{-y}dx \\ =e^{-y}{\int }_0^{y}xdx=e^{-y}\frac{1}{2}{x}^2{|}_0^y=\frac{1}{2}{y}^2{e}^{-y},y>0 \\ {f}_Y(y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}{y}^2{e}^{-y},& y>0\\ 0,& else\end{array} \end{gathered}$$

  • $$\begin{gathered} f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}=\{\begin{array}{ll}\frac{x{e}^{-y}}{\frac{1}{2}{y}^2{e}^{-y}},& 0<x<y<+\infty ,x>0\\ 0,& else\end{array} \\ =\{\begin{array}{ll}2x{y}^{-2},& 0<x<y\\ 0,& else\end{array} \\ {f}_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}=\{\begin{array}{ll}\frac{x{e}^{-y}}{x{e}^{-x}},& 0<x<y<+\infty ,y>0\\ 0,& else\end{array} \\ =\{\begin{array}{ll}{e}^{x-y},& 0<x<y\\ 0,& else\end{array} \end{gathered}$$

  • 求$P(X>1|Y=y)$

    • $$\begin{gathered} S=P(X⩾x|Y=y)=1-P(X⩽x|Y=y)=1-F_{X|Y}(x|y) \\ =1-{\int }_{-\infty }^x{f}_{X|Y}(x|y)dx \\ 由于:{\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_{X|Y}(x|y)=1 \\ S={\int }_x^{+\infty }{f}_{X|Y}(x|y)dx \\ T=P(X⩾1|Y=y)={\int }_1^{+\infty }{f}_{X|Y}(x|y)dx \\ 又由于f_{X|Y}(x|y)=\{\begin{array}{ll}2x{y}^{-2},& 0<x<y\\ 0,& else\end{array} \\ 当1⩽x<y时(y>1), \\ T={\int }_1^{+\infty }{f}_{X|Y}(x|y)dx={\int }_1^y{f}_{X|Y}(x|y)dx \\ =2y^{-2}\frac{1}{2}{x}^2{|}_1^y=1-y^{-2} \\ 当0<y⩽1 \\ y⩽x,f_{X|Y}(x|y)=0 \\ T={\int }_1^{+\infty }0\cdot dx=0 \end{gathered}$$

例

• 设随机变量$X\sim U(0,1)$

• 在$X=x(0<x<1)$的条件下,随即变量$Y\sim U(0,x)$

• 求二维随机变量(X,Y)的联合密度函数

• $$\begin{gathered} f(x,y)=f_{Y|X}(y|x)f_X(x) \\ {f}_{Y|X}(y|x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x},& 0<y<x\\ 0,& else\end{array} \\ {f}_X(x)=\{\begin{array}{ll}1,& 0<x<1\\ 0,& else\end{array} \\ f(x,y)=f_{Y|X}(y|x)f_X(x)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{x},0<y<x<1\\ 0,else\end{array} \end{gathered}$$

二维正态分布的条件分布

• 二维正太分布的两个条件分布仍然是正太分布

• 设$(X,Y)\sim N({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,\rho )$

• 在$Y=y$条件下,X的条件分布为正太分布$N({\mu }_3,{\sigma }_3^2)$

  • $$\begin{gathered} u=u(x)=\frac{x-{\mu }_1}{{\sigma }_1}; \\ v=v(y)=\frac{y-{\mu }_2}{{\sigma }_2} \end{gathered}$$

  • $$\begin{gathered} f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(x)}=\frac{\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2\tau }\exp (-\frac{1}{2}(\frac{1}{{\tau }^2})(u^2-2\rho uv+v^2))}{\frac{1}{\sqrt{2\pi }\cdot {\sigma }_2}\exp (-\frac{1}{2}{v}^2)} \\ =\frac{\sqrt{2\pi }{\sigma }_2}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2\tau }\exp [(-\frac{1}{2})(\frac{1}{{\tau }^2}(u^2-2\rho uv+v^2)-\frac{1}{{\tau }^2}{\tau }^2{v}^2))] \\ =\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_1\tau }\exp (-\frac{1}{2}\frac{1}{1-{\rho }^2}(u^2-2\rho uv+v^2-(1-{\rho }^2)v^2)) \\ =\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_1\tau }\exp (-\frac{1}{2}\frac{1}{1-{\rho }^2}(u^2-2\rho uv+{\rho }^2{v}^2)) \\ 记B=u^2-2\rho uv+{\rho }^2{v}^2,恰好是完全平方式的展开(u-\rho v{)}^2 \\ B=(u-\rho v{)}^2=(\frac{x-{\mu }_1}{{\sigma }_1}-\rho \frac{(y-{\mu }_2)}{{\sigma }_2}{)}^2 \\ =(\frac{1}{{\sigma }_1}[(x-{\mu }_1)+\rho \frac{y-{\mu }_2}{{\sigma }_2}({\sigma }_1)]{)}^2=(\frac{1}{{\sigma }_1}(x-{\mu }_1-\rho \frac{{\sigma }_1}{{\sigma }_2}(y-{\mu }_2)){)}^2 \\ =\frac{1}{{\sigma }_1^2}(x-{\mu }_1-\rho \frac{{\sigma }_1}{{\sigma }_2}(y-{\mu }_2){)}^2 \\ {f}_{X|Y}(x|y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_1\tau }\exp (-\frac{1}{2}\frac{1}{1-{\rho }^2}(\frac{1}{{\sigma }_1^2}(x-({\mu }_1+\rho \frac{{\sigma }_1}{{\sigma }_2}(y-{\mu }_2)){)}^2) \\ =\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_1\sqrt{1-{\rho }^2}}\exp (-\frac{1}{2}\frac{1}{{\sigma }_1^2(1-{\rho }^2)}((x-({\mu }_1+\rho \frac{{\sigma }_1}{{\sigma }_2}(y-{\mu }_2)){)}^2) \end{gathered}$$

    • 可见
      $$\begin{gathered} {\mu }_3={\mu }_1+\rho \frac{{\sigma }_1}{{\sigma }_2}(y-{\mu }_2) \\ {\sigma }_3^2={\sigma }_1^2(1-{\rho }^2) \end{gathered}$$

    • 同理有

    • $$f_{Y|X}(y|x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}}\exp (-\frac{1}{2}\frac{1}{{\sigma }_2^2(1-{\rho }^2)}((y-({\mu }_2+\rho \frac{{\sigma }_2}{{\sigma }_1}(x-{\mu }_1)){)}^2)$$

    • $$\begin{gathered} {\mu }_4={\mu }_2+\rho \frac{{\sigma }_2}{{\sigma }_1}(x-{\mu }_1) \\ {\sigma }_4^2={\sigma }_2^2(1-{\rho }^2) \end{gathered}$$