【概率论基础进阶】多维随机变量及其分布-随机变量的独立性

定义：如果对任意$x,y$都有
$$P\left\{X\le x,Y\le y\right\}=P\left\{X\le x\right\}P\left\{Y\le y\right\}$$
即
$$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$$
则称随机变量$X$与$Y$相互独立

离散型随机变量$X$和$Y$相互独立的充要条件：对任意$i,j=1,2,\cdots$成立
$$P\left\{X=x_i,Y=y_j\right\}=P\left\{X=x_i\right\}P\left\{Y=y_j\right\}$$
即$p_{ij}=p_{i\cdot }{p}_{\cdot j}$

连续型随机变量$X$和$Y$相互独立的充要条件：对任意$x,y$，成立
$$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$$

从这里可以看出来，边缘概率密度对应的边缘概率

可将两个随机变量的独立性推广到两个以上随机变量的情形

例1：设随机变量$X$和$Y$相互独立，已知$(X,Y)$的联合分布部分数值

$XY$	$1$	$2$
$1$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$
$2$

由题目条件$p_{11}=\frac{1}{6},p_{12}=\frac{1}{2}$，故$p_{i\cdot }=p_{11}+p_{12}=\frac{2}{3}$
又根据$X$和$Y$相互独立，可知$p_{11}=p_{1\cdot }\cdot p_{\cdot 1}$，即$p_{\cdot 1}=\frac{1}{4}$
现要求$P\left\{X=2,Y=1\right\}=p_{21}=p_{2\cdot }{p}_{\cdot 1}=(1-p_{1\cdot })\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$

考虑联合分布和边缘分布关系，有，凡是边缘分布均不为$0$，而联合分布的某个$p_{ij}=0$，则必可断定联合分布所对应的两个随机变量是不相互独立的
一般给定边缘分布均不为$0$，所以看到联合分布律中有一个$p_{ij}=0$，则$X$和$Y$就一定不独立，反之，如果所有的$p_{ij}\ne 0$，并不能保证$X$和$Y$相互独立